东北大学数值分析总复习优秀课件

1、2021/3/291总总 复复 习习一、绪论一、绪论 1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。 2.了解数值计算中应注意的一些问题. 一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。 定义定义1 1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字有效数字，也 称用x近似x*时具有具有n n位有效数字位有效数字。2021/3/292二、解线性方程组的直接法二、解线性方程组的直接法 1

2、.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 2.掌握矩阵的直接三角分解法。 顺序Gauss消元法:矩阵A A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A A的行列式不为零. 定理定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU . 会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。 了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。 2021/3/293 3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算

3、几个常用的向量和矩阵的范数； 了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。 4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。三、解线性方程组的迭代法三、解线性方程组的迭代法 1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。 （1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1. （2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1. （3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(01)收敛. （4）A对称正定,则GS法,SOR法(02)收敛.2021/3/294 2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。四、解非线性方程的迭代法四、解非线性方程的迭代法 1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(

4、k+1)(b-a).)0()1(*)(1xxMMxxkk 2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。 定理定理 若(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点. 推论推论 若1.a(x)b; 2.|(x)| L1, xa,b.则xk+1=(xk),x0a,b都收敛于方程的唯一根.2021/3/295 3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速技巧. 4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形. (1) xkp阶收敛于是指: 推论推论 若(x)在附近具

5、有一阶连续导数,且|()|1, 则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛.Cxxpkkk1lim (2) 若()0,则迭代法线性收敛.)()(1kkkkxfxfxx 局部平方收敛.2021/3/296五、矩阵特征值问题五、矩阵特征值问题 1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 1.了解差商的概念和性质. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.六、插值与逼近六、插值与逼近 Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待定系数法。 2.会建立插值多项式并导出插值余项. 3.了解分段

6、插值及三次样条插值的概念及构造思想。2021/3/297 4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。 1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。 5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方误差. 2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求积公式。七、数值积分七、数值积分 )(12)()()(2)(3fabbfafabdxxfba )(2880)()()2(4)(6)()4(5fabbfbafafabdxxfba2021/3/298 3. 了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。 5.了解微分公式建立形式，会

7、求简单的微分公式。 4. 了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。 1.了解构造数值解法的基本思想及概念。八、常微分方程数值解法八、常微分方程数值解法 2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，会求差分公式的局部截断误差。 3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。2021/3/299一、填空题（每空3分,共30分)考试题解析考试题解析 解解 由于得特征值: 又A-1= 2.设矩阵A= ,当a取_值时,A可以唯一分解为GGT,其中G为下三角矩阵. 1.设矩阵A= ,则(A)=_,Cond(A)1=_.32213221EA0742ii32,32217122371 ,所以A1=5

8、,A-11=5/7.7/2510011aaaa2021/3/2910 解解 令 解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 5.设(x)=x3+x2-3,则差商3,32,33,34=_. 3.向量x x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向量范数_,而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数_., 02110011, 011122aaaaaaaa2121a得： 是 不是 4.求 的Newton迭代格式为_.3a212313323kkkkkkkxaxxxaxxx或 1 6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3

9、为互异节点的三次插值基函数,则 =_. 303)2)(jjjxxl (x-2)3 7.设S(x)= 是以0,1,2为节 2112102323xcxbxxxxx2021/3/2911 解解 (1)因为0 x1时,(x)0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1x0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.点的三次样条函数,则b=_c=_. 解解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,计算精度为=10-2

10、的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之. -2 3 (2)构造迭代格式:,.2 , 1 , 0sin11kxxkk由于|(x)|=| |1,故此迭代法收敛.xxsin12/cos2021/3/2912 (3)因为0/2,所以() 取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值x2=1.40983.sin12/cos 0故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).三、(14分)设线性方程组 (1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=

11、(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时,预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).36225124321321321xxxxxxxxx2021/3/2913 (2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当01时收敛. 解解 (1)(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为 216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)

12、1(1kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx (3)由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有113. 05 . 075. 0175. 0110)0()1()10(*xxBBxxk2021/3/2914四、(13分)已知(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5, 解解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得 H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x) 令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(

13、x-2),于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2 0.5x(x-1)(x-2) (1)试建立一个三次插值多项式H3(x),使满足插值条件: H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5; (2)设y=(x)在0,2上四次连续可微,试确定插值余项R(x)=(x)-H3(x). 令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2; 令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2), 令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2), =x3-2.5x2 +2.5x+22021

14、/3/2915 由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可设五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式? 解解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)构造函数(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2)于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0)2() 1(! 4)()(2)4(xxxfxRx22)()0()()(CfBfAfdxxf64

15、/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/22021/3/2916容易验证公式对(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。六、(12分)设初值问题 (1)试证单步法 解解 (1)由于)(),(aybxayxfy021411323221,.2 , 1 , 0)3(),(, ),(ynKKyyhKyhxfKyxfKhnnnnnn是二阶方法. (2)以此法求解y=-10y, y(0)=1时,取步长h=0.25,所得数值解yn是否稳定?为什么?2021/3/2917于是有而),(132322hKyhxfKnn222222232222331484()2

16、999nnnnnnnnnfffhhfxyfffhh fh fO hxx yy )(261)(214222222321hOfyffyxfxfhfyfxfhhfyynnnnnnnnnnn)()(6121)()(61)(21)()()(4324321hOxyhfyfxfhhfyhOxyhxyhxyhxyxynnnnnnnnnnn 2021/3/2918所以有当h=0.25时,有)()(311hOyxynn)320(301041nnnnnhyyyhyy所以此单步方法为二阶方法. (2)此单步方法用于方程y=-10y,则有nyhh50101 21625. 1125. 35 . 21501012hh所以,所得数值解是不稳定的.七、(6分)设n阶矩阵A A=(aij)nn