微积分下册知识点.

1、微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数一向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设万=代，叭，冬，方=侏厶,那么 ab=ax bx,ay bx.a: bjf Aa = Aax,Xay,Aa_.5、向量的模、方向角、投影：D向量的模：|可=2+歹a d = hi 刁丄b O云 b = 0+分;2两点间的距离公式：I AB | = J花刀+ 力X +Z$3方向角：非寥向量与三个坐标轴的正向的夹角兀 yz4方向余弦：心同，COS0 =用cos厂同

2、cos2 a + cos2 p + cos2 y = 15投影：Prj.a=acosp，其中0为向量N与帀的夹角。二数量积，向量积数量积:cos &a-b= axbx 4- ayby 4- azbz2、向量积：c =axb 大小：0|p|sin&,方向：N方,乙符合右手规那么1) axa = 02) a II b O axb =0axb =bykaz2运算律：反交换律b xa = a xb三曲面及其方程仁曲面方程的概念：S:/x,y，z = 2、旋转曲面：yoz 面上曲线 c ：/y,z = o,绕y轴旋转一周：/土+ /= 0绕 z 轴旋转一周：/土 J/ + y2,z =3、柱面：Fx,y

3、 = OFx,y = O表示母线平行于z轴，准线为1的柱面z = 04、二次曲面不考2 2X I y =1D椭圆锥面：/十匕22椭球面:旋转椭球面:X2a2=13)单叶双曲面:S=14)双叶双曲面:5)椭圆抛物面:6)2 2x y=7双曲抛物面马鞍面：q2 b2 7)椭圆柱面:2 2 % y b -2 7 2a b=18)双曲柱面:=19)抛物柱面:a:2 = ay四空间曲线及其方程一般方程:y,z) = 0G(x,y,z) = 02、参数方程：乙=2片X = Cl cos t 如螺旋线：p = sinrZ = bt3、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z) = 0G(x,z) = 0，消去

4、z ,得到曲线在面xoy上的投影=0五平面及其方程仁点法式方程：Ax-%0 + By-y0 + Cz-z0 = 0 法向量：方= A,5C,过点勺，旳，勺2、一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0 截距式方程： + f+ f = 1 3、两平面的夹角： = (AiBiCJ , H2 = (A2,B2,C2),COS0 二|AjA2 +B,B2 +CtC2|拥 + 3： + 口2 Ja + bT + c：LIj 丄 II9 AA + BB + C&2 = 0巧/口2 0牛眷专4、点口不，X,勺到平面Ax + By + Cz + D = G的距离: |缶+3儿+心0 +刃六空间直线及

5、其方程Ax + 3 y + Cz + D = 0一般式方程:2、X Xo y-Vo Z Zo 对称式点向式方程：r=r=r方向向量： =,过点Oodo，%x = x+ mt3.参数式方程:y = y + nt4.两直线的夹角：=/l，Pl,云2=加2畑卩2,W=厂刁27厂刁2二 m +3 +门寸加 2 + n2 + 2厶丄厶 u+ nn2 + pp2 =0m.厶厶O_ H1 _ Pl 斤2 Pl5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,Am + Bn + CpA，+肝 +c? .J加2 +肝 + #2厶/noAm+ Bn-Cp = 0ABC厶丄nom n p第二章多元函数微分法及其应

6、用一根本概念1. 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：z =图形:3、极限：心旣新34、连续：爲/3=几心为5、偏导数：Ax0,y0=lim/观+心,y。/观，儿fyxQ9y0 =limAy-0/Oo，yo + Ay /Xo,儿36、方向导数：df dfSf n1= a7C0S+y7C0S/?其中0为的方向角。梯度：Z = fx,y,贝!|g血妙兀，为=力兀0，为亍+人兀o，yo7。 全微分：设Z = /Cx,y,那么文=杰血+石3817、8、二性质1. 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:偏导数连续函数连续

7、2、闭区域上连续函数的性质有界性定理，最大最小值定理，介值定理u x3、微分法D定义：2复合函数求导：链式法那么假设 Z = /M, v, u = ux. y, v =心 y,那么& du dv 8z 8u dv 3 + = + dx du dx 8v dx，By 8u 8y 8v dy3隐函数求导：两边求偏导，然后解方程组三应用仁极值1无条件极值：求函数z = 的极值人=0解方程组0,函数有极小值, 假设AC-肝0, A0,函数有极大值; 假设AC-B209函数没有极值； 假设AC宀0,不定。2条件极值:求函数z = /匕刃在条件eg y = 0下的极值令：Lx, y = fx, y + A

8、pX, y Lagrange 函数厶 解方程组厶=卩兀,y = 2、几何应用1曲线的切线与法平面X = xf曲线厂那么厂上一点m,儿,z对应参数为口处的Z = zf切线方程为:y - Vo 二 Z - Zo 如 一 77法平面方程为：o兀一兀。+ yoXy -歹。+ zaz -z0= 2曲面的切平面与法线曲面工:Fg y,z = O,贝!上一点Mmdz处的切平面方程为： 耳兀0，儿皿0兀一兀0+耳勺,儿援0丁 儿+耳Xo，dZoZ Zo= O 兀_兀。二二Z_Z法线方程为：竹仏儿皿。FyOW% 也0，儿,勺 第三章重积分一二重积分一般换元法不考 仁定义：卩= p巳工/$，久人5DRT2、性质：

9、6条3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：D直角坐标(pMy(p.(x) a xbm，y)dycydJJ7(x, y)dxdy = f dyj；：)/g)d D2极坐标D =(ppe)pp2(e)aepJay)drdy 叮呵;：D/(/?cos sin 0) pdp二三重积分1、定义：血/d，zd2 巴2/,%,JA 叫k=2、性质：3、计算：1直角坐标JJV3，z = JJ 严叽：； /x,y,zciz “先一后二卩/(兀y, )dxdy“先二后一2)柱面坐标x pcos 0) = Qsin& ,y zyv- f(pcos 9,psin 0. z)pdpd0dz3)球面坐标x =厂sin

10、0cos&v y =厂sin sin 6 z = rcos(p/(rsin 0cos 0sin。，厂 cos0)/2 sin 徂 rd 徂 8(三) 应用曲面s: z = /(兀,y),(兀,y) e D的面积:A=llj1+(H)2+(H)2 dxdy第五章 曲线积分与曲面积分(一) 对弧长的曲线积分1、定义：(x，y)ds = limA-Z = 12、性质：1) 。于(兀,y) + 0(兀,y)ds = af(x,y)ds + 0J g(x, y)ds.2) jL /(x，刃比=二 f(x, y)ds + J / y)ds.(厶=厶 + 厶).3) 在厶上，假设/(x,y)Wg(x,y),

11、那么/ay)dswg(x,y)ds.4) Ld5 = / (，为曲线弧z的长度)3、计算:(at P)设f(y)在曲线弧厶上有定义且连续，厶的参数方程为 其中0(F),0(0在阪0上具有一阶连续导数，且0七)+厂(/)工0,那么J /(X，y)ds =710(0, W3 +a)dr , (a P(x,y)dx + 0(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分(四) 对面积的曲面积分仁定义:设丫为光滑曲面，函数Y，歹是定义在力上的一个有界函数, 定义 JL门“Z)dS = lim立0,GA5,f=l2、计算：“一投二换三代入E ： z = z(x, y),(兀,y) e ,那么JJjE

12、，z)ds =221 + Zx (兀,y) + Zy (x.y)dxdy(五) 对坐标的曲面积分1. 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设Z为有向光滑曲面，函数P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)是定义在Z上的有界函数, 定义 ffy 尺(兀儿 & dxdy = lim /?(&, 7, yny+ pxyxn =qx)(心0,1) 令严,那么竺=(1“)尸空,厂空=丄.如， 于是U的通解豹dx 血i必“ TZq( _咖曲山+ C)。5、全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程yo,) = /(x)型的微分方程8、线性微分方程解的结构(1) 函数组

13、的线性无关和线性相关(2) 线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线 性组合是其通解(3) 刘维尔公式儿(x) = X (x) J - d X 1(4) 二阶非齐线性微分方程解的结构y = X(X)+，* (A)特解的求解过程主要是通过常数变异法，求解联立方程的解：C；(x)x(x) + C；(x)y2(x) = 0,C；(x)y；(x) + C；(x)y；(x) = /(x)。y * (x) = C、(x)y (x)+C2(x)y2(x)9、二阶常系数线性微分方程(1)齐次线性微分方程的通解特征方程：+ 2p + q= 0o1) 特征方程有两个不同的 实根人工入，那么 儿=0,比=严其通解为：y = Cj + C2y2 =+ C2e 2) 特征方程有实重根人=入，那么兄 _丄/=_, - 2 2此时，是方程(1)的一个解。再利用刘维尔公式求出另外一个线性无关的解即可3) 特征方程有一对共馳复根 人=a + i0, A2=tz-i/?那么y = Cyx + C2y2 = C/ax + C?严巴 或y = eaCx cos卩x + C2 sin 0x) 二阶常系数非齐线性微分方程的特解1.