附录 截面几何性质

1、附录 截面的几何性质 计算构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到计算构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到与构件截面形状和尺寸有关的几何量。本章主要介绍这些与构件截面形状和尺寸有关的几何量。本章主要介绍这些几何量的定义、性质及计算方法。几何量的定义、性质及计算方法。 .1 静矩和形心静矩和形心 .2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 .3 平行移轴公式平行移轴公式 .4 转轴公式转轴公式 .5 形心主惯性轴和形心主惯性矩形心主惯性轴和形心主惯性矩返回返回附录 截面的几何性质返回返回 【学习要求】【学习要求】 1. 理解静矩、形心，惯性矩、惯性半径、极惯性矩、理解静矩、形心，惯性矩、惯性半径

2、、极惯性矩、惯性积，形心主惯性轴和形心主惯性矩等概念。惯性积，形心主惯性轴和形心主惯性矩等概念。 2. 掌握组合截面的静矩和形心的计算。掌握组合截面的静矩和形心的计算。 3. 掌握简单截面的惯性矩和极惯性矩的计算。掌握简单截面的惯性矩和极惯性矩的计算。 4. 了解平行移轴公式。会计算组合截面的惯性矩和惯了解平行移轴公式。会计算组合截面的惯性矩和惯性积。性积。 5. 了解转轴公式。会计算组合截面的形心主惯性轴和了解转轴公式。会计算组合截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩。形心主惯性矩。.1 静矩和形心静矩和形心 目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心 设有一代表任意截面的平面图形，其面积为A，在图形

3、平面内建立直角坐标系oxy（如图）。在该截面上任取一微面积dA，设微面积dA的坐标为x、y，则把乘积ydA和xdA分别称为微面积dA对x轴和y轴的静距（或面积 AAyd矩）。而把积分 和 分别定义为该截面对x轴和y轴的静矩静矩，分别用Sx和Sy表示，即 AAxdAyAxAxSAySd,d.1.1 静矩静矩 目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心 由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为零。静矩的单位为mm3或m3。 .1.2 形心形心 1. 形心坐标形心坐标 对于平面图形（以下都称为截面），如取截面所在的平面为Oxy坐标面

4、（如图），则截面的形心C的坐标为 AAyyAAxxACACd,d式中：A截面面积。 利用上式容易证明：若截面对称于某轴若截面对称于某轴，则形心必在该对称轴则形心必在该对称轴上上；若截面有两个对称轴若截面有两个对称轴，则形心必为该两对称轴的交点则形心必为该两对称轴的交点。在确定形心位置时，常常利用这个性质，以减少计算工作量。 目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心 【例【例.1】 如图所示截面OAB是由顶点在坐标原点O的抛物线与x轴围成，设抛物线的方程为x = ，试求其形心位置。 22yba目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心axxabxxabxAAxxaaAAC53dddd00bxxabxx

5、abxxabxxabyAAyyaaaaAAC83dd21dd21dd00200 【解】【解】 将截面分成许多宽为dx，高为y的微面积，如图所示，dA = ydx = bax xd形心坐标为 yx21,， 。 由形心坐标公式，截面OAB的形心坐标为 目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心2. 形心坐标和静矩的关系形心坐标和静矩的关系 ，可得到截面的形心坐标与静矩间的代入公式将公式AyAxAxSAySd,dAAyyAAxxACACd,d关系为 C,AxSAySyCx 若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。 由上式可以看出，若截面对某轴（

6、例如若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零轴）的静矩为零（Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心的轴称为截面的形心轴形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零截面对其形心轴的静矩一定为零。 目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心.1.3 组合截面的静矩和形心组合截面的静矩和形心 在工程中经常遇到这样的一些截面，它们是由若干个简单截面（例如矩形、三角形、半圆形等）所组成，称为组合截面组合截面。根据静矩的定义，组合截面对某轴的静矩应等于其各组成部分对该轴静矩之和，即 CiiyiyCiixixxASSyASS, 由截面的形心坐标与静矩间的关系，组合截

7、面形心的计算公式为 iCiixCiCiiyCAyAASyAxAASx,上两式中：Ai、xCi、yCi各个简单截面的面积及形心坐标。 目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心【例【例.2】 试求图示直角梯形截面的形心位置。 目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心【解】【解】 解法一。 将截面看作由矩形和三角形组成的组合截面，它们的面积及形心C1、C2的坐标分别为 矩形 A1=60000mm2， xC1=100mm， yC1=150mm 三角形 A2=22500mm2， xC2=250mm， yC2=100mm截面形心C的坐标为136.4mmmm225006000010022500150600001

8、40.9mmmm22500600002502250010060000212211212211AAyAyAyAAxAxAxCCCCCC目录目录附录 截面的几何性质静矩与形心解法二。 将截面看作由大矩形减去三角形组成的组合截面，被减去部分的面积应取负值，这种方法称为负面负面积法积法。矩形和三角形的面积及形心C1、C2的坐标分别为 矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm 三角形 A2=22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm截面形心C的坐标为136.4mmmm2250010500020022500150105000140.9mmmm225001

9、0500030022500175105000212211212211AAyAyAyAAxAxAxCCCCCC目录目录附录 截面的几何性质惯性矩与惯性积.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 .2.1惯性矩惯性矩 设截面的面积为A，在截面所在平面内建立直角坐标系Oxy（如图）。在截面上任取一微面积dA，设微面积dA的坐标分别为x和y，则把乘积y2dA和x2dA分别称为微面积dA对x轴和y轴的惯性矩。而把积分 和 分别定义为截面对x轴和y轴的惯性矩惯性矩，分别用Ix与Iy表示，即 AAy d2AAx d2AyAxAxIAyIdd22由定义可知，惯性矩恒为正值，其单位为mm4或m4。目录目录附录 截面的

10、几何性质惯性矩与惯性积 【例例.3】 试求图示矩形截面对其形心轴x、y的惯性矩Ix和Iy。 【解】【解】 取平行于x轴的狭长条(图中阴影线部分)作为微面积dA，则有dA=bdy。由式 ，得AyAxAxIAyId,d222232212ddhhAxbhybyAyI同理有2232212ddbbAyhbxhxAxI目录目录附录 截面的几何性质惯性矩与惯性积【例【例.4】 试求图示圆截面对于其形心轴x、y的惯性矩Ix和Iy。 【解】【解】 建立坐标系Oxy如图所示。取平行于x轴的狭长条（图中阴影线部分）为微面积dA，则 yyRAd2d22AyAxAxIAyId,d22得由式644d2d442222DRy

11、yRyAyIRRAx根据对称性，截面对x和y轴的惯性矩相等，即464DIIxy目录目录附录 截面的几何性质惯性矩与惯性积.2.2 惯性半径惯性半径 在工程实际应用中，为方便起见，有时也将惯性矩表示成某一长度平方与截面面积A的乘积，即AiIAiIyyxx22或 AIiAIiyyyy式中：ix 、iy 截面对x、y轴的惯性半径惯性半径。其单位为mm或m。目录目录附录 截面的几何性质惯性矩与惯性积.2.3 极惯性矩极惯性矩 在图中，若以表示微面积dA到坐标原点O的距离，则把2 dA称为微面积dA对O点的极惯性矩。而把积分 定义为截面对O点的极惯性矩极惯性矩，用Ip表示，即 AAd2AAId2p 由定

12、义可知，极惯性矩恒为正值，其单位为mm4或m4。由图可知，2x2y2，代入上式，得 AAAAAyAxAyxAIddd )(d22222p即惯性矩与极惯性矩的关系为 yxIIIp目录目录附录 截面的几何性质惯性矩与惯性积 上式表明，截面对某点的极惯性矩等于截面对通过该点的两个截面对某点的极惯性矩等于截面对通过该点的两个正交轴的惯性矩之和正交轴的惯性矩之和。有时，利用上式计算截面的极惯性矩或惯性矩比较方便。 【例【例.5】 试求图示圆形截面对圆心的极惯性矩Ip。 【解】【解】 建立直角坐标系Oxy如图所示。选取图示环形微面积dA(图中阴影线部分)，则dA2d。 32d2d42022pDAIDA 若

13、利用式Ip IxIy，则同样可得 3264244pDDIIIyx目录目录附录 截面的几何性质惯性矩与惯性积.2.4 惯性积惯性积 在图中，我们把微面积dA与其坐标x、y的乘积xydA称为微面积dA对x、y两轴的惯性积。而把积分 定义为截面对x、y两轴的惯性积惯性积，用Ix y表示，即 AAxydAxyAxyId 由定义可知，惯性积可为正、为负、或为零，其单位为mm4或m4。 由上式可知，截面的惯性积有如下重要性质：若截面具有一个若截面具有一个对称轴对称轴，则截面对包括该对称轴在内的一对正交轴的惯性积恒等于则截面对包括该对称轴在内的一对正交轴的惯性积恒等于零零。目录目录附录 截面的几何性质惯性矩

14、与惯性积 由此性质可知，图示各截面对坐标轴x、y的惯性积Ix y均等于零。 .3 平行移轴公式平行移轴公式 目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式.3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 图示截面的面积为A，xC、yC轴为其形心轴，x、y轴为一对与形心轴平行的正交坐标轴，微面积dA在两个坐标系OxCyC和Oxy中的坐标分别为xC、yC和x、y。截面对x轴的惯性矩为 AaaSIAaAyaAyxCxcAACAC2222dd2dACAxAayAyId)(d22式中：SxC截面对形心轴xC的静矩，其值为零。 目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式因此有 AaIICxx2a

15、bAIIAbIICCCyxxyyy,2同理 式中：Ix、Iy、Ixy截面对x、y轴的惯性矩和惯性积； IxC、IyC、IxCyC 截面对形心轴xC、yC的惯性矩和惯性积； a、b 截面形心C在Oxy坐标系中的坐标。 上式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式。利用它可以计算截面对与形心轴平行的轴之惯性矩和惯性积。 目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式.3.2 组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 设组合截面由n个简单截面组成，根据惯性矩和惯性积的定义，组合截面对x、y轴的惯性矩和惯性积为 xyixyyiyxixIIIIII,式中：Ixi、Iyi、Ixyi各个简单截面对x、

16、y轴的惯性矩和惯性积。 对于工程中常用的截面，其主要的几何性质列于表.1中，以备查用。 目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式表表.1 常用截面的几何性质常用截面的几何性质 目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式续表1目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式续表1目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式续表1目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式续表1目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式 【例【例.6】 图示截面是在工字钢上下加焊两块钢板形成的截面，试求该组合截面对其形心轴x的惯性矩。 目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式 【解】【解】 在求上下两个矩形对x轴的惯性矩时，先求它们

17、对各自形心轴的惯性矩，然后再利用平行移轴公式求对x轴的惯性矩。 查型钢规格表，22a号工字钢的有关几何参数为 44mm103400 xI,h = 220 mm 整个截面对形心轴x的惯性矩为 444234mm106576mm10120)5110(1210120103400 xI 上述计算结果表明，在工字钢截面上下增加很小的面积却能使整个组合截面对形心轴的惯性矩增大将近一倍。工程中常常采用这样的组合截面，来增大截面的惯性矩，达到提高构件承载能力的目的。 目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式 【例例.7】 在半径为R的圆截面中，有一半径为r的偏心圆孔，偏心距为e，如图所示。试求该组合截面对x、y

18、轴的惯性矩和惯性积。 目录目录附录 截面的几何性质平行移轴公式 【解】【解】 在计算组合截面的惯性矩和惯性积时也可使用负面积法。此时，被挖去部分的惯性矩和惯性积冠以负号。 组合截面对x轴的惯性矩为 )(4444444rRrRIIIxxx 圆孔部分对自身形心轴y1的惯性矩为 441rIy圆孔部分对y轴的惯性矩为 224241rerAbIIyy 故组合截面对y轴的惯性矩为 )4(4）4（422442244rerRrerRIIIyyy 组合截面对x、y轴的惯性积为 0 xyxyxyIII.4 转轴公式转轴公式 目录目录附录 截面的几何性质转轴公式.4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴

19、公式 在图中，设截面的面积为A，对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为Ix、Iy和Ixy。当坐标轴x、y绕O点逆时针转过角后，得到一新的坐标系Ox1y1，截面对x1、y1轴的惯性矩和惯性积分别为Ix1、Iy1和Ix1y1 、和。取微面积dA，其在两坐标系Oxy和Ox1y1中的坐标分别为(x，y)与(x1，y1)，则此两坐标间存在如下变换关系： cossinsincos11yxyyxx目录目录附录 截面的几何性质转轴公式222222211coscossinsindcosdcossin2dsindcossindxxyyAAAAAxIIIAyAxyAxAyxAyI由公式得目录目录附录 截面的几何性质转轴公

20、式2sincossin2,22cos1sin,22cos1cos22将三角公式 代入上式，整理后得 2cos2sin22sin2cos22111xyyxyxxyyxyxyIIIIIIIIII2sin2cos221xyyxyxxIIIIII同理 目录目录附录 截面的几何性质转轴公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII 上式称为惯性矩和惯性积的转轴公式转轴公式。它表示当坐标轴绕原点旋转时，截面对具有不同转角的各坐标轴的惯性矩或惯性积之间的关系。yxIIIp 若将上式 中的前两式相加，并利用式，则有

21、 p11IIIIIyxyx 上式表明，截面对通过一点的任意两正交轴的惯性矩之和为常截面对通过一点的任意两正交轴的惯性矩之和为常数数，且等于截面对该点的极惯性矩且等于截面对该点的极惯性矩。 目录目录附录 截面的几何性质转轴公式.4.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩由转轴公式可知，当坐标轴绕O点转动时，惯性积将随着角度的改变而变化，且有正有负。因此，总可以找到一个角度 0，以及相应的x0、y0轴（如图），使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴就称为O点处的主主惯性轴惯性轴。截面对一点处主惯性轴的惯性矩称为该点处的主惯性矩主惯性矩。为了确定 0 ，可令式 为零，即 2cos2si

22、n211xyyxyxIIII02cos2sin211xyyxyxIIII目录目录附录 截面的几何性质转轴公式于是可得 yxxyIII2tan20 由此可解出相差90的两个角度 0和 0 = 0 90（如图），从而确定主惯性轴的位置。 分别对求一阶导数，设=0时，能使导数，2sin2cos22,2sin2cos2211xyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIII若将转轴公式中前两式0dd0dd11yxII和同样可以得到yxxyIII2tan20目录目录附录 截面的几何性质转轴公式 可见，截面对通过任一点的主惯性轴的惯性矩（即主惯性矩）截面对通过任一点的主惯性轴的惯性矩（即主惯性矩），是截

23、面对通过该点的所有轴的惯性矩中的最大值和最小值是截面对通过该点的所有轴的惯性矩中的最大值和最小值。 利用公式 求出0，然后代入转轴公式中前两式，经化简后可得主惯性矩的计算公式为yxxyIII2tan2022minmax)2(2xyyxyxIIIIIII 下面说明主惯性矩和主惯性轴之间的对应关系。可以证明，若限定求出的两个主惯性轴的位置角 0和 0 = 0 90为正的或负的锐角，则当主惯性轴的位置角的符号与截面的惯性积当主惯性轴的位置角的符号与截面的惯性积Ixy的符号的符号相反时相反时，截面对该主惯性轴的惯性矩为最大（截面对该主惯性轴的惯性矩为最大（Imax）；反之，则为反之，则为最小（最小（I

24、min）。 目录目录附录 截面的几何性质转轴公式.4.3 组合截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩组合截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 通过截面形心的主惯性轴称为形心主惯性轴形心主惯性轴，简称形心主轴形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩形心主惯性矩，简称形心主矩形心主矩。 在计算组合截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩时，首先应确定其形心的位置，然后视其有无对称轴而采用不同的方法。若组合截面有一个或一个以上的对称轴，则通过形心且包括对称轴在内的两正交轴就是形心主惯性轴，再计算形心主惯性矩。若组合截面无对称轴，则可选择适当的形心轴（一般选择平行于各个简单截面之形心主惯性轴的坐标轴），计算截面

25、对该形心轴的惯性矩和惯性积，再确定形心主惯性轴的位置和计算形心主惯性矩。 目录目录附录 截面的几何性质转轴公式【例【例.8】 试求图示T形截面的形心主惯性矩。目录目录附录 截面的几何性质转轴公式 【解】【解】 1）确定截面的形心C的位置。建立如图所示坐标系Oxy，因截面关于y轴对称，所以xC = 0，只需求形心C的纵坐标yC的值。将截面看作由两个矩形组成的组合截面，则有矩形I A1 = 12030 = 3600 mm2， y1 = 105 mm矩形II A2 = 18040 = 7200 mm2， y2 = 90 mm 形心C的坐标为mm95mm720036009072001053600212

26、211AAyAyAyC目录目录附录 截面的几何性质转轴公式 2）计算形心主惯性矩。因y轴为截面的对称轴，故截面对过形心C的x0、y轴的惯性积等于零，即x0、y轴为形心主惯性轴，截面对x0、y轴的惯性矩Ix0、Iy即为所求形心主惯性矩。由图可知，a1 = 100 mm，a2 = 5 mm，则形心主惯性矩、为 目录目录附录 截面的几何性质转轴公式4442323222221110mm105895mm4018051218040301201001230120aAIaAIIxxx44433mm10528mm12401801212030yyyIII目录目录附录 截面的几何性质转轴公式【例【例.9】 试求图示L形截面的形心主惯性矩。 目录目录附录 截面的几何性质转轴公式【