分形图象的计算机模拟(小论点)

1、分形图象的计算机模拟目 录第一章 绪论.1.1分形概念的提出与分形理论的建立.1.2分形理论的应用领域.1.3本课题的研究意义.1.4国内外的研究动态及发展趋势.1.5本文主要工作.第二章 分形理论的基本知识.2.1分形的产生阶段.2.2分形的定义和特征.2.3小结.第三章 分形的计算机模拟实现.3.1自相似分形.3.1.1Cantor集.3.1.2Koch曲线3.1.3Serpinski集.3.2Julia集理论在牛顿法上的应用.3.3L-System.3.4IFS迭代系统.3.4.1相似变换.3.4.2仿射变换.3.5小结第一章 绪论1.1分形概念的提出与分形理论的建立1.分形(Fract

2、al)一词起源于拉丁文的“fractus“，是美籍法国数学家曼德勃罗(BenoitManderbrot)创造出来的。其研究对象是自然界中常见的，不稳定的，不规则的现象。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象，例如，蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、令人眼花缭乱的满天繁星等，它们的特点是极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。分形几何之所以引起了人们广泛的注意，主要有两个方面:一方面是由于在自然界中普遍存在的不规则现象，而分形几何作为“描述大自然的”几何学证明了其中有许多不规则现象就是“真实的分形”;

3、另一方面，随着分形分析中的新工具的产生，尤其是在材料、地理、经济等学科的成功应用，用于研究分形集的数学理论与方法有了巨大的发展，也逐渐完善了分形理论自身的体系。1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著分形对象:形机遇与维数，标志着分形理论的正式诞生，1982年又出版了大自然中的分形几何(TheFraCtalGeometryofNature)一书，系统地总结了分形的概念和基本规律。该书旁征博引、图文并茂，从分形的角度考察了自然界中的诸多现象，引起了学术界的广泛注意，曼德勃.罗因此一举成名。此后，一直持续的分形热吸引了全世界众多科学家和学者的注意力，他们在各自领域中的研究工作，使分形理论遍地开花。1

4、.2分形理论的应用领域8.由于分形图形学是一门新的学科，它的主要任务是以分形几何学为数学基础，构造非规则的几何图素，从而实现分形体的可视化，以及对自然景物的逼真模拟。目前对于设计出的分形图形其应用范围还有限，其主要有如下几个方面的应用:(1)艺术领域的应用与分形图形应用最密切的当然要数艺术领域的应用。把分形理论与数字图像处理技术结合起来，使生成的分形图形可人工干预，以产生协调自然，丰富多彩，并具有较高艺术性的图案。无疑，这些分形图形将对绘画、雕塑、建筑设计、印染工业、装演和广告设计等产生深远的影响。随着分形理论的进一步发展与完善，用分形理论产生出的分形图形其应用的前景也会得到广泛地推广。下图是

5、从国内外的网站下载的分形壁画图片。在房屋装演设计中，特别是在艺术家的工作室内，如果用上分形图形来进行装修，那么整个房子就更加显示出艺术的色彩。图2.1就是用分形图形制作的壁画。图2.1分形壁画1999年9月，中国邮电电信总局发行了一套四枚的分形几何中国电信IC电话卡，图2.2是这套IC卡的电话卡折。这套卡正面，第一张是著名的sierpinski三角形，第二、三、四张选用几种自然界的分形图形:瀑布和沙漠、松枝和海洋生物、海岸和山脉，它们既属于分形几何范畴，又是色彩缤纷、婀娜多姿的自然.景观，卡的背面选用四幅“分形艺术”作品，从艺术和科学两个视角同时欣赏更加耐人寻味，极具收藏价值图2.2分形几何中

6、国电信IC电话卡和GOOLE的分形图标为了纪念法国数学家GstonJulia，以搜索引擎而闻名世界的网站gogoel把它的图标曾经改成图2.1中右面的图样，图标上面的数学公式就是数论中有名的Julia序列。在纺织行业，己经有印有分形图案的丝巾、布料成品乃至成衣制品。分形图形在印刷行业有更广阔的用途。立体印刷是印刷技术中的一种。当从不同角度去观察图形时就会出现图形变化的动画效果，图2.3是用立体印刷把分形图形印制在名信片上和笔筒外表面上的成品照片。而图2.4是普通印刷技术制成的分形名片和分形书签。图2.3名信片和笔筒分形图2.4名片面和书签此外，在陶瓷制品、书籍封面设计和礼品包装上，也出现了富于

7、表现的分形图案。在利用分形方法创造出与众不同的景观方面已完成了一些开拓性的工作，电影中出现了分形风景，分形动画也在游戏、宣传广告和电视片头中有了更为广泛的应用。(2)将分形图形用于信息加密防伪。(3)其它领域的应用分形理论在其它领域中还有相当广泛的应用，这里从以下几个方面简略介绍:自然科学研究的应用分形理论起源于自然，因而这一理论的成果首先被用来解决自然科学各学科中的问题。在物理学方面，利用分形理论对各种技术获得的湍流图象进行研究，得到湍流理论的分形模型及测量分维:讨论各种条件下凝聚体成长的分形特性，用以确定凝聚体的分形维数与沉积速率、凝聚时间的关系以及液滴尺度的分布指数等物理性质，在化学方面

8、，通过对某区域地球化学场数据的分析，依据地球化学场自相关与自相似的内在联系，用分维估值法预侧化探数据的区域背景和局部背景，以及圈定地球化学异常空间的分形结构;通过透射电镜等仪器，研究各种化学聚合物分子模型和各种化学反应过程中生成物不规则结构的形成模型。而直接把分形理论应用在数学中，解决各种曲面分形维数的测定和应用在小波分形函数研究中的例子，更是不胜枚举。气象地理方面的应用应用变维分形法分析早、涝的时间分布特性，太阳黑子数时间序列的分形研究，利用分形比较法对多年气温、气候指标进行对比，预测气候变化的规律及台风、洪水等自然灾害时间空间的分布规律，以减轻其对人类危害。用分形的特征参数来表征油、气、水

9、、矿藏等物质的各种性质，描述水文系统的复杂性和矿藏的分布特性，对水资源利用及矿床勘查、矿体定位有着重要意义。而在分析滑坡边界轨迹的几何分形结构，分析岩体地质结构差异，建立地层参数精细剖面模型等地质活动方面也常用到分形分维理论来解决问题。企业生产方面的应用重工业生产中，各种金属产品断裂表面及熔焊接头形态的研究对整个生产起着重要作用。而利用分形理论对断裂表面及熔合线图形微观特征的研究，能推导出断口发展的方向性及描述熔合线的元素分布曲线，可以改进加工工艺以改变材料致脆应力的特性，为焊接冶金学中的相关内容由定性描述变为定量描述提供相关的数学判据，以达到生产需要。切削过程中的材料变形的非线性也可以用分形

10、理论来解释。生物医学领域的应用采用分形分析方法对某一地区植被景观形状和各类种群分布特征进行分析，研究群落多样性随空间变化的变异规律;通过对水生态系统空间格局研究，确定生态因子场的分形特征及水生生物体重与体长关系等参数，为水产养殖业提供有力的科学支持。应用分形测度的概念，在超声波图像检测中，建立超声图像灰度表面分形结构分析及局部分形指数研究的理论模式，根据分形维值的变化来达到对医学图像边缘检测和增强的目的，更好的识别图像中的病变结构，为医学图象处理和分析领域提供了新的手段和方法。经济管理方面的应用将分形理论的动态分维数应用于期货价格行为的研究，能够克服现有的技术分析法在价格预测上具有时滞性的不足

11、，还能够用于预测期货价格趋势。应用常维或变维分形模型预测股票指数，预测时先将原始数据进行一系列变换，从中选出一种变换，使变换后的数据能与分形模型符合良好，再针对股市所具有的混沌特征测定出混沌吸引子并计算该吸引子的关联维数，从而可以得到股市波动复杂程度的定量值。1.3本课题的研究意义.分形几何学能为自然界中存在的各种景物提供逼真的描述。这些景物形态复杂、不规则，而且显得十分的粗糙，使得采用传统的几何工具进行描述遇到了极大的困难，而分形模型却能很好地描述自然景物，因为自然界中的许多实际景物本身大体上就是分形，或者反过来说，按照分形几何方法构造的形体非常像许多自然景物。分形几何在近十几年来得到很大发

12、展，它最重要、最直接的应用领域是计算机科学，它为自然景物的模拟提供了理论基础及造型方法。目前，分形是非线性科学中的一个前沿课题。一般地可把分形看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称，由于在许多学科中的迅速发展，分形成为一门描述自然界中许多不规则事物及现象的规律性的学科。因此人们意识到应该把它作为工具，从新的角度来进一步了解自然界和社会。分形图形生成技术在各个领域得到了广泛的应用，也推动了分形理论的发展，随着对逼真程度和审美要求的不断提高，从简单的Mandelbrot集和Julia集，到科幻电影上的分形风景，以及近年来印有分形纺织纹样的分形时装，无不昭示着分形图形正慢慢

13、从科学家们的思想中走进我们身边的真实世界。一些用户己经不再满足观看各种分形图片和分形产品，而是希望自己能够参与设计分形图形。因此，能用尽可能通俗易懂的方式，如何在一个实时、交互的信息交流界面，使不太了解复杂科学理论的用户可以通过简单操作计算机，修改少量参数生成分形图形，同时完成一定的颜色调整、图形的比较及存储等相关功能，生成有一定艺术价值的分形图形，已成为当前一个被众多的计算机、数学及至艺术工作者所关注的新课题，我们的课题就是在这样的背景下提出来的。分形是无标度意义下，具有无穷细节的自相似的形，体现了自然界的无序和变幻无穷的美。而利用分形理论来生成的计算机图形，是用一般的平面图形设计软件很难生

14、成的具有自相似的图形，且一般的平面图形设计的软件生成的图形都是按照经典的欧氏几何来进行图形的算法的建立，这样就很难逼真、形象地描述自然界的美构造出绚丽多彩的分形图形。随着计算机在图像处理方面的技术的成熟，用计算机生成分形图形，使人们能获得外观新颖奇特、内容丰富多彩的平面图形。人们对这一领域表现出了极大的关注，这是一种全新的图形设计的构思来源和方法，具有广阔的应用前景。1.4国内外的研究动态及发展趋势.分形理论是近一、二十年才发展起来的一门新的理论，因而目前仍处于发展之中，自然科学领域(如物理、化学、地球物理学几生物学等)中的分形学术论文不断增加，社会科学领域涉及分形的论文和书籍也越来越多了。有

15、关分形的国际会议及各种专题讨论会有增无减。国际学术刊物“混沌、孤子和分形”(Chaos，SolitonsandFractals)和“分形学”(Fraetals- AnInterdiseiplinaryJournalontheComplexGeometryofNatur)e先后也正式创刊。下列问题是国内外研究分形理论的发展方向和趋势:(1)如何判断一个对象是分形或多重分形(2)分形维数的物理意义(3)分形的动力学机制(4)分形重构问题(5)关于Julia集和Mandelbrot集的问题近年来，国内外在基于IFS系统的分形图形生成领域都进行了大量的研究工作，并取得了一定的进展。美国鲁卡斯电影公司在

16、影片杰蒂的轮回及星际旅程11:可汗的愤怒中制作了许多分形风景，其中最著名的是行星起源的演变序列图。理查德，沃斯在计算机上制作的分形山己被BIM公司广泛地应用于宣传广告当中。意大利学者LujhisaM.Kocic提出一种新的基于IFS理论可以生成树的AIFS系统，在仿射不变的条件下，IFS可以对吸引子定位以及描述出吸引子整体形状，即吸引子形成的分形图形。用这个方法可以得到与实际自然界的物体，尤其是生物形态及生物属性非常相似的模拟图形比如模拟植物的生长，长出分枝，从而可以从分形维渐变地过渡到充满空间的自然的不规则图形。华南师范大学计算机科学系王小铭运用了分形的自相似性，在造型或构图过程中引入递归或

17、迭代，以及通过对局部过程的随机扰动。她展示的分形图形在纺织品图案设计上的几个实例，构图方法的特征是按照某种算法模型对图案的幅面进行整体分形构造，以产生具有“无穷”自相似特性的画面，并阐述了其基本技法，包括:.纹样的构成主要采用函数迭代和基于几何过程(或规则)的重复应用算法。.分形整体构造模型构图。华中科技大学马石安等人给出了一种基于迭代函数系统IFS的森林景物的动态模拟方法。首先介绍了以迭代函数系统来探索和解决森林树木这一类自然景物的计算机生成问题的途径，然后从一个已模拟景物的IFS吸引子出发，改变参数自动生成无重复的序列画面，以此达到对森林景物动态模拟的目的。用此方法生成的前后两帧图形之间既

18、有区别，又具有相对的连续性，为计算机动画对复杂的自然景物的动态模拟提供一条新的途径。华南理工大学工业设计与图学研究所的李哲林等人突破了在平面上生成分形图形的传统贴图方法，尝试了将分形图形贴在三维物体表面的算法，并实现了三维中具有代表性的球面作为空间投影面，把经典的Mandelbrt集图案显示在球面上，并论证了很多空间实体都能分解成近似球面和柱面，也都可以采用类似方法来处理，这种思路得到的图形更加有欣赏价值和实际应用价值。除了这些之外，还有其他分形理论及它的应用也是目前国内外研究分形理论的发展动态和趋势。如:随机多重分形的数学问题，分形曲线的导数问题，分形与小波分析，图像的分形压缩问题，还有最近

19、还将分形理论运用于股市分析领域等。而对于分形理论在平面图形设计中的应用研究，目前，国内外对其研究的趋势是利用分形理论进行生成一些常用的分形图形，如Cantor集Koeh曲线、Sierpinski集、Julia集、Mandelbrot集、基于IFS迭代和利用递归算法来生成平面图形以及基于L一system生成平面图形等。利用分形的自相似性的原则，通过改变分形的迭代次数和生成的初始元的形状可以产生非常奇妙的图形，且显示出局部与整体之间的自相似性。而这些生成的图形只是国内外的同行为了对分形理论的应用的一些阐述，对分形理论生成的图形软件还是很少，只是对分形中的某些经典图形进行编程实现。总之，上面提到的这

20、些问题对于分形理论的发展很重要，需要人们深入进行探讨和研究。而分形理论作为非线性科学的一个组成部分，它必将在发展中不断完善和走向成熟。同样，分形理论在平面图形设计中的应用也将进入一个新的面貌，它将带着人们进入无限的艺术设计空间为艺术家们开辟一条广阔的艺术设计之路。分形作为一种方法论，它既是认识世界和改造世界的工具，也是一种新的思维方式。由于自然界中普遍存在某种程度的自相似性，使得我们有可能从局部认识整体，从有限认识无限，从瞬间认识永恒。不仅如此，许多现象表明，分形已经对文化产生了重要影响，而且己被看成是一种新的艺术形式。1.5本文主要工作.分形理论是一门新的学科，其理论基础不是十分完善，还有待

21、于更进一步的发展和完善。分形理论在计算机图形设计中的应用，目前也是局限于对一些常见的分形图形的绘制，如Cantor集、Koch曲线等还没有成熟的专门用于分形图形生成的软件。因此，本文为了解决这些缺陷，通过编程实现分形图形的绘制的软件，这样产生的分形图形，可以提供给广告、包装、家居设计等所需的精美图案，同时也为艺术设计提供广阔的艺术空间。在大量的收集资料以及学习和借鉴前人研究成果的基础上，本文重点进行了如下的研究工作:(1)根据收集的各种相关资料，在对分形理论有进一步理解和认识的情况下更加了解分形图形的产生过程，从而得到常见的一些分形图形的生成的计算机程序算法。(2)根据分形与混饨的联系，以及用

22、牛顿迭代法的数学原理，生成牛顿迭代分形图形。(3)将牛顿迭代法生成的分形图形与一些常见的经典分形图形结合起来，通过计算机编程实现分形软件的用户界面，同时提供一些参数的选择,对生成的分形图形颜色进行修改，将生成的分形图形保存起来。第二章 分形理论的基本知识2.1分形的产生阶段.分形的原文Fractal是分形几何的最初创始人曼德勃罗用拉丁词根拼造的词，其原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体。分形是描述不规则几何形态的有力工具。分形的背景材料很多，比如以花粉在水中运动为背景的布朗运动，自然界中的海岸线，烟云的边缘，断裂的形态，花草，山脉等举目皆是，真可谓Fractaleverywhere。经典

23、几何学的研究对象是规则而光滑的几何构型，一条曲线总是处处连续，且处处可微的。然而，自然界中存在千姿百态的自然构型，常常是处处连续，但并非处处可微。传统数学将这类几何体排斥在外，认为它们是异常现象。但事实证明这类几何体随处可见，经典数学陷入危机，曼德勃罗开创的分形几何学应运而生，并在自然科学和社会科学的各个领域有了大量的应用，取得了一些有价值的成果。总之，对于分形及其理论的发展大致可以分为三个阶段:第一阶段为1875年至1925年，在此阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题，并为讨论这些问题提供了最基本的工具。第二阶段大致为1926年到1975年，在这半个世纪里，人们实际上对分形集的性质

24、做了深入的研究，特别是维数理论的研究己获得了丰富的成果。可以说第二阶段更为系统、深入的研究深化了第一阶段的思想，不仅逐渐形成理论，而且将研究范围扩大到数学的许多分支中。尽管在此阶段分形的研究取得了许多重要的结果，并使这一学科在理论上初见雏形，但是绝大部分从事这一领域工作的人主要局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发生联系;另一方面，物理、地质、天文学和工程学等等学科已产生了大量与分形有关的问题，迫切需要新的思想与有利的工具来处理。第三阶段为1975年至今，是分形几何在各领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。分形几何受到各国学者的进一步重视和公认，国际学术界出现一股分形热的学术空气，纷

25、纷对分形概念作各种各样的研究和分析，特别是分形理论的研究，使一些原己死寂一般的老的学科方向焕发了新的生机。到目前为止，分形的数学理论还没有形成公理化结构的理论体系，是不完备的。但是分形理论与思想所赋予人们新鲜的创造性的理论思维是丰富多彩的，是无限的创新源泉，它使人们对原有的微积分理论要做出根本性的改变，因为分形的应用急需“分数阶的微积分理论”的诞生。有人预测21世纪初将出现类似于爱因斯坦广义相对论那样数学物理学的革命。目前如何建立“分数阶微积分理论”不仅仅是分形数学、分形物理学的需要，而且是当代自然科学前沿课题的理论要求。2.2分形的定义和特征.分形作为几何对象，首先是破碎的、不规则的，但不是

26、所有破碎的、不规则的形状都有是分形。那么，到底什么是分形呢?到目前为止，分形尚无最后的定义。曼德勃罗(1986年)曾经给分形下过这样一个定义:组成部分与整体以某种方式相似的形。也就是说。分形一般具有自相似性。但分形理论发展到今天，己经不仅限于研究对象的自相似性质了，如果一个对象的部分与整体具有自仿射变换关系，我们也可以称它为分形。今后，条件可能还会进一步拓宽，只要是部分与整体以某种规则联系起来，通过某种变换使之对应，我们都可以将其看成是分形，因为分形的本质就是标度变换下的不变性，而这层意思是可以扩展的。尽管分形尚无最后的定义，但为了掌握计算机绘制分形的计算理论和制图技巧，我们需要了解分形几何的

27、一些重要概念和性质。目前较为广泛接受的解释是由K.Falconer提出的。他认为对分形的定义可以用生物学中对“生命”定义的办法。“生命”是很难定义的，但却可以给出一系列生命对象的特征。除了有些对象出现例外，大部分情形都能因此而得到分类，于是分形研究不会因为暂时没有严格的定义而停滞不前。但从原则上说:分形是一些简单空间上的一些“复杂”的点的集合，这种集合具有某些特殊的性质，首先它是所在空间的紧子集，并且具有下面列出的典型的几何特征:(l)分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。(2)分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。(

28、3)分形集具有某种自相似的形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。(4)分形集的“分形维数”(以某种方式定义的)一般大于它的拓扑维数。(5)在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。对于各种不同的分形，有的可能同时具有上述的全部性质，有的可能只有其中的大部分性质，而有的却对某个性质有例外，但这并不影响我们把这个集合称为分形。应当指出，自然界和各门应用科学中涉及的分形绝大部分是近似的。当尺度缩小到分子的尺寸，分形性也就消失了，严格的分形只存在于理论研究之中。分形一般分成两大类，确定性分形和随机性分形。如果算法的多次重复仍然产生同一个分形图，这种分形称之为确定

29、性分形。确定性分形具有可重复性，即使在生成过程中可能引入了一些随机性，但最终的图形是确定的。随机分形指的是尽管产生分形的规则是确定的，但受随机因素的影响，虽然可以使每次生成过程产生的分形具有一样的复杂度，但是形态会有所不同。随机分形虽然也有一套规则，但是在生成过程中对随机性的引入，将使得最终的图形是不可预知的。即不同时间的两次操作产生的图形，可以具有相同的分维数，但形状可能不同，随机分形不具有可重复性。2.3分形与混沌.曼德勃罗研究发现，分形经常显示出无规则的表征，但是这决不意味着其绝对无规则，分形具有“自相似”的特征，即取分形图形的任一部分进行适当放大，便仍可得到与原来整个图形相似的图形。所

30、谓“混沌”，英文原文为ChaoS，无论是中文还是英文，其本意都是“混沌无序”的意思，但是其描述的对象却具有无穷自相似结构，也是具有无规则表征而实际上具有无穷自相似的嵌套结构。这样，“分形”和“混沌”的研究便走向了汇合，我们可以看到这样一个事实，在题为“混沌”的书中有“分形”的章节，而在题为“分形”的书中又有“混沌”的章节。“分形”与“混沌”这两个从不同角度发展起来的理论走向的汇合点就是“自相似”。非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物、“正常”现象的认识转向对“反常”事物、“反常”现象的探索。孤波不是周期性振荡的规则传播:“多媒体”技术对信息存储、压缩、船舶、转换和控制过程中遇到大量的“非

31、常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法;混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。混沌来自于非线性动力系统，而动力系统描述任意随时间发展变化的过程。这样的系统产生于生活的各个方面。动力系统的研究目的是预测“过程”的最终发展结果。这就是说:如果完全知道在时间序列中一个过程的过去历史，能否预测它未来怎样?尤其能否预测该系统的长期或渐进的特性?然而，即使是仅有一个变量的最简单的动力系统也会具有难以预测的基本上是随机的特性。动力系统中的一点或一个数的连续迭代产生的序列称为轨道。如果初始条件的微小改变使其相应的轨道在一定的迭代次数之内也只有微小改变，

32、则动力系统是稳定的，此时，任意接近于给定初值的轨道可能与原轨道相差甚远，是不可预测的。因此，弄清给定动力系统中轨道不稳定的点的集合是极其重要的。所有其轨道不稳定的点构成的集合是这个动力系统的混沌集合，并且动力系统中参数的微小改变可以引起混沌集合结构的急剧变化。这种研究是极其复杂的，但是引入了计算机就可以形象地看到这种混沌集合的结构，看清它是一个简单集合还是一个复杂集合，以及随着动力系统本身的变化它是如何变化的。分形正是从此处进入混沌动力系统研究的。混沌学研究的是无序的有序，许多现象即使遵循严格的确定性规则，但大体上仍是无法预测的，比如大气中的湍流，人的心脏的跳动等等。混沌事件在不同的时间标度下

33、表现出相似的变化模式，这与分形在空间标度下表现的相似性十分相像。混沌主要讨论非线性动力系统的不稳定的发散的过程，但系统在相空间总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相像。混沌主要讨论在于研究过程的行为特征，则分形更注重于吸引子本身结构的研究。同时混沌学与分形很大程度上依赖于计算机的进步，这对纯数学的传统观念提出了挑战，计算机技术不仅使这两个领域中的一些最新发现成为可能，同时因其图形直观的表现形式也极大地激发了科学家与公众的兴趣与认识，起到了推广作用。分形与混沌的一致性并非偶然，在混沌集合的计算机图像中，常常是轨道不稳定的点集形成了分形。所以这些分形由一个确切的规则(对应一个动力系统)给

34、出:它们是一个动力系统的混沌集，是各种各样的奇异吸引子。因此，分形图像的美丽就是混沌集合的美丽，对分形图像的研究就是对混沌动力学研究的一部分。2.3本章小结.本章主要给出分形理论产生的、分形的定义与特征，分形与混沌的联系等。通过对分形的产生和它的定义的理解，我们可以知道分形是一门什么样的学科，及其通过对分形几何与欧氏几何的区别比较，可以对分形几何有更进一步的了解，并为后面的章节的理解提供理论依据。第三章 绪论分形的计算机模拟实现分形图形根据它的实现算法的不同，可以分为几种类型:自相似分形、复迭代中的分形、牛顿法迭代分形、L-system分形等。本章主要描述一些经典的分形图形的生成原理，以便推导

35、出更一般的分形图形的生成方法。3.1自相似分形.一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。但是，表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数，并不会因为放大或缩小等操作而变化，所改变的只是其外部的表现形式。下面介绍一些常见的以自相似性为原理的分形图形。3.1.1 Cantor集德国数学家康托(G.Canto)r在1883年构造了如下的一类集合。取一个条欧氏长度为L。

36、的直线段，将该线段三等分，去掉中间一段，保留两端的线段。再将剩下的两条直线段分别三等分，然后将中间部分去掉，剩下四段。这样的操作继续下去，直至无穷，便形成了无数个尘埃似的点，这便是Cantor三分集。它们的数目无穷多，但长度为零。如图3.1所示。从连通性看，这个集合是非连通的。下面列出三分Cantor集的一些性质(1)F是自相似的。很明显，在区间O，1/3和2/3，1内的F的部分与F是几何相似的，相似比为1/3。在EZ的四个区间内，F的部分也与F相似，相似比为1/9。以此类推，这个集包含许多不同比例的与自身相似的样本。(2)F有“精细结构”。它包含有任意小比例的细节，越放大三分Cantor集的

37、图，间隙就越清楚地呈现出来。(3)尽管F有错综复杂的细节结构，但F的实际定义却非常简单明了。(4)F是由一个迭代过程产生的，持续的步骤得到的Ek是F的越来越好的逼近。(5)F的几何性质难以用传统的术语来描述，它既不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。(6)F的局部几何性质也是很难描述的，在它的每点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点。(7)虽然F在某种意义上是相当大的集，然而它的大小不适用于用通常的测度和长度来度量，用任何合理定义的长度来度量，F的长度总为零。按相似维数的计算公式，可得三分Cantor集的维数:Di二1nZ/1n3=0.63093.1.2 Koch曲线Ko

38、ch曲线是瑞典数学家科赫(H.vonKoch)在1904年首次提出的，其生成的原理如图3.2所示。设E。是单位长度的直线段，E:是由E0除去中间1/3的线段，而代之以底边在被除去的线段上的等边三角形的另两条边所得到的集，它包含四个线段。把同样的过程应用到E，的每个直线段而构造出EZ,以此类推，当koc，便得到一条具有自相似结构的折线，折线序列趋于极限曲线F，称F为三次Koch曲线。从图3.2的三次Koch曲线，按相似维数的计算公式，由于N=4，r=1/3，可求得它的相似维数:Di=1n4/1n3=1.2618图3.2Koch曲线3.1.3 Serpinski集Cantor集与Koch曲线的初始

39、操作都是一个欧氏长度为E。的直线段，二者的差别在于:Cantor集是去掉中间的一段，而Koch曲线在去掉中间的一段后，还增加一些线段。在这一节中，我们将长度为E的直线段推广到欧氏平面上的规整几何图形，如等边三角形和正方形。也可以推广到三维欧氏空间中的规整几何图形，如正五面体和正六面体，等等。首先将一个等边三角形四等分，得到四个小等边三角形，去掉中间的一个，保留它的三条边。将剩下的三个小等边三角形再分别进行四等分，并分别去掉中间的一个，保留它们的边。重复操作直至无穷，就可以得到如图3.3所示的图形，人们称这样的集合为Sierpinski垫。该集合的面积是零，而线的欧氏长度趋于无穷大。因为N=3，

40、r=1/2，所以其相似维数为Di=In3/lflZ=1.5850。其次，将一个正方形九等分，去掉中间的一个，保留四条边，剩下八个小正方形，将这八个小正方形再分别进行九等分，各自去掉中间的一个，保留它们的边，重复上述操作直至无穷，就可得到如图3.4所示的图形，人们称这样的集合为sierpinski地毯。对于所有的Sierpinski集，它们都有共同的特征:(l)它们都是经典几何无法描述的图形，在Sierpinski垫中，它的面积趋于零，而其表面积却趋于无穷大，所以它的维数只能介于2和3之间。因此，它们常被称为病态的几何图形，是一种“只有皮没有肉”的几何集合。图3.351erp1nski垫图3.4

41、51erpinski地毯(2)它们都具有无穷多个自相似的内部结构，任何一个分割后的图形经适当放大后都是原来图形的翻版。3.2 Julia集理论在牛顿法上的应用.在数值分析中，通常为了求方程:F(x)0的解，采用迭代方法，一般是另外造一个函数f(x)x+b(x)F(x)这里b(f)是一个待定函数，如果x*是方程F(f)0的一个根，则x*定是f(x)的不动点；反过来，如果f(x*)x*，则只要b(x*)0、则x*一定是方程F(x)0的根。所以，求根问题化力求函数f(x)的不动点问题了。如何选择b(x)?如果F(x)有连续的导函数，可以利用初等函数分析的方法证明，只要选择b(x)，满足-2b(x*)

42、F(x*)0,则x*是f的不动点，对于足够接近x*的点x，点x的轨道fn(x)至少以线性收敛速度趋于x*；进一步，如果b(x*)F(x*)=-1，并且F(x)、b(x)有连续的二阶导数，则对于足够接近x*的点x，轨道fn(x)至少以二阶收敛速度趋于x*。所以一般选取A(x)-(F(x)-1，这时只要F(x*)0，则一定有A(x*)F(x*)-1，保证了有二阶或更快的收敛速度(由于F(x)一般都是多项式，因此这样取的A(x)，F(x)都有连续的二阶导数)。由此得到达代函数f(x)x-F(x)/F(x)这就是所谓的牛顿法求方程的根，在迭代之下xn=xn-1-F(xn-1)/F(xn-1)n=1,2

43、,3,收敛于距xo最近的F(x)的零点x*，其巾x0是迭代的初始值。在复平面上应用牛顿法，同样可以求出复系数方程的数值解设F：CC是复系数多项式，定义有理函数广：f:CCf(z)=z-F(z)/F(z),称f(z)为相对应于函数F(z)的牛顿变换。与实数系数的情形类似，如果F(z)0，则z*是方程F(x)0的根的充分必要条件是f(z*)z*，即z*是相应的牛顿变换函数的不动点；对f求复变导数：F(z)=F(z)F(Z)/F(z)2所以，如果F(z*)产0，则F(z)的零点z*是f的超吸引不动点,而对C，对z较大时f(z)z(1-1/n)其中n是多项式F(x)的阶，可知点是f的不动点，但z较大时

44、,f(z)n(n-1)/n2=(1-1/n)1所以是f的斥性点。记A(z*)z：fn(z)z*，(n) 表示F(z)的零点z*的吸引域，即在牛顿变换迭代之下收敛于z*的点集。因为z*是f的超吸引不动点，所以吸引域A(z*)是包含z*的开区域。先考虑有理函数f(z)的Julia集，多项式函数的Julia集理论对有理函数几乎同样适用，主要的区别是，若f是有理函数，它的Julia集J(f)不一定有界(但肯定是闭的)。但对每一吸引不动点w，J(f)都是A(w)的边界所以在分析牛顿法的根的吸引域的研究中，J(f)当然是一个重要的对象。3.3 L-System.美国的生物学家AristidLindenma

45、yer(1925一1989)在研究植物形态的进化与构造时，于1968年提出了一种文法描述方法:Gratfal，它以形式化的语言描述植物的结构和生长，用语言的终结符与植物结构相对应，由文法生成的句子代表植物，而句子生成的中间过程则是植物的生长发育过程。后来它发展为形式语言一个重要分支，称为L-SystemS(LS)。Smiht等人将L系统引入到植物图形模拟的研究中取得了重大的成功。这种被命名为文法构图(Gratfal)的方法，能简洁且逼真地描述植物的拓扑结构，生成包括叶片、枝条和花序等植物形态。1984年，A.R.Smith首次将LS文法引入到计算机图形学领域。LS文法是一类独特的迭代过程，其核

46、心概念是重写。重写的基本思想是根据预先定义的重写规则集(重写规则或生成式)，递归地进行生成复合形状并用它来代替前一步得到的简单形态的某些部分，来定义一个更复杂形态。一个由重写规则生成的图形学的经典例子是由VonKo。h在1905年提出的“雪花曲线”。作为一种形式语言，LS文法用字母表和符号串来表达生成的对象的初始形式，称为公理(Axiom)，然后根据一组产生式重写规则，将初始形式的每个字符依次替换为新的字符形式，以此过程反复替换重写，最后生成终极图形。在二维平面上，LS文法的图形的生成过程类似于海龟在沙滩上行走，海龟行走的每一时刻的状态定义为当前位置矢量T与前进方向角a的集合(T，a)，则二维

47、LS文法字母表的绘图规则如下:F:在当前方向前进一步，并画线。F:在当前方向前进一步，不画线。+:逆时针旋转度。-:顷时针旋转度。:将当前信息压栈。:将时刻的信息出栈。下面举一个例子来叙述LS文法构造分形图的主要思想。考虑由两个字母x和y组成的字符串，称为单词x，y可在同一单词中出现多次，每个字母与一个xxy那么代表字母x用xy替换;yx表示字母y用x替换，这便是一个改写规则。改写过程从一个称作公理的单词开始，例如这个单词仅包括一个字母y。那么，第一步，由规则yx可知公理y被x替换;第二步由规则xxy得到单词xy，下一步将对xy中的x与y分别施行相应的替换，得到新的单词xyx:接着，由xyx生

48、成xyxxy，由xyxxy又生成xyxxyxyx，继而生成xyxxyxyxxyxxy，以此类推下去，图示如下:yXXyXXyXXyXyXXyXyXXyXXyXyXXyXXyXyXXyXyXXyXXyXyXXyXyX这个例子是用来说明怎样从一个单词出发，依据两条规则，递归地产生新的字符串，这种做法用来表示植物的生长十分有效。L系统实际上是字符重写系统。我们把字符串解释成曲线(或者更准确地说，称作图形)，于是只要能生成字符串，也就等于生成了图形。L系统是极其有趣的，第一，用这种方法能够生成许多经典的分形，第二，用它可以模拟植物形态，特别是能很好地表达植物的分枝结构。从一个初始串(叫做公理)开始，将变换规则多次作