向量间线性关系课件

1、1第二节第二节 向量间的线性关系向量间的线性关系一、一、n维向量维向量二、向量的线性关系二、向量的线性关系三、线性相关性三、线性相关性四、特殊向量组的几何意义四、特殊向量组的几何意义2一、一、n维向量维向量数域数域F上的上的n个数个数 定义定义12,na aa组成的有序数组组成的有序数组, 称为数域称为数域F上的一个上的一个n维向量维向量,其中其中 ia称为向量的第称为向量的第i个分量个分量(i=1,2,n) =a1,a2 , an或或12naaa=a1,a2 , anT行向量行向量列向量列向量本节中，本节中，n维向量均指维向量均指n维列向量维列向量 3 数域数域F上的全体上的全体n维列向量构

2、成的集合记作维列向量构成的集合记作 Fn分量都是分量都是0的的n维向量称为维向量称为零向量零向量，记作，记作0 12,Tnaaa向量向量称为称为n维向量维向量 12,Tna aa的的负向量负向量, 记作记作 分量全是实数分量全是实数(复数复数)的的n维向量称为维向量称为实实(复复)向量向量 向量可以看作是特殊的矩阵向量可以看作是特殊的矩阵 4例例1121234311 2325413012TTTA 矩阵矩阵有有3个行向量个行向量 1231,1, 2, 32, 5, 4,13, 0,1,2TTT有有4个列向量个列向量 .213,142,051,3214321 5 若干个维数相同的列向量若干个维数相

3、同的列向量(或维数相同的行向量或维数相同的行向量) 所构成的集合叫做所构成的集合叫做向量组向量组 由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该 向量组的向量组的部分组部分组例如例如维维列列向向量量个个有有矩矩阵阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan维维行行向向量量个个又又有有矩矩阵阵类类似似地地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T

4、1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm8设有两个设有两个n n 维向量维向量和一个实数和一个实数 k k R,R,则定义则定义 =a1,a2 , anT =b1,b2 , bnT(1) = ai =bi , i=1,2,n(2) + = a1 + b1 , a2 + b2 , an + bn T(3) k =ka1,ka2 , kanT(4) - = (-1) = - a1,- a2 ,- anT(5) - = +(-1) 二、向量的线性运算二、向量的线性运算9 对任何的对任何的n维向量维向量 , , 及任

5、意实数及任意实数k, l, 向量向量的加法及数乘运算统称为向量的的加法及数乘运算统称为向量的线性运算线性运算.满足满足下列的八条性质下列的八条性质(1) + = + (2) ( + ) + = +( + ) (3) + 0 = (4) +(- ) = 0(5) 1 = (6) k(l ) = (kl ) (7) k( + ) = k +k (8) (k + l ) = k + l 10例例2 设设 816 ,192 若若3维向量维向量 满足满足 20试求向量试求向量 解解 由由 1218,6,91,1,22TT53,2,2T11三、线性相关性三、线性相关性设设 定义定义12,s nF,则对任意

6、常数则对任意常数 12, ,sl ll F, 向量向量 1122sslll称为这称为这s个向量的一个个向量的一个线性组合线性组合 设设 12,nsF 若存在常数若存在常数 12,sk kkF 使得使得 1122sskkk则称向量则称向量 可以表为可以表为 12,s 的线性组合的线性组合, 或称或称 可由向量组可由向量组 12,s 线性表出线性表出(或或线性表示线性表示)12n维零向量维零向量0是任一是任一n维向量组维向量组 例例312,s 的线性组合的线性组合 120000s13例例4 设设 nR12100010,001n n维单位坐标向量组为维单位坐标向量组为 则则可由可由 12,n 线性表

7、出线性表出 12naaa1122nnaaa14例例5向量组向量组A: 1, 2, s中的任一向量都可以由中的任一向量都可以由这个向量组线性表示这个向量组线性表示11100100(1)iiiisis p已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示？已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示？p或者说：一个已知的向量是否可以表示为已知向量的或者说：一个已知的向量是否可以表示为已知向量的线性组合。线性组合。p如果能是否唯一？如果能是否唯一？31111132130,0126354312,?,. 1234124例 设问： 是否可以表为,的线性组合 若可以给出其表达式3,A 124解 令,11111111113

8、213001263,01263000005431200000A 行10-1-5-2012630000000000 行 ,=25,R AR A由3,. 124故 可以表为,的线性组合，且表示法不唯一Ax 的同解方程组为1342345-2263xxxxxx112212123142= +5-2=-2 -6+3,.=xkkxkkk kRxkxkAx故的通解为121213212=+5-2+ -2 -6+3+,.kkkkkkk kR124故其中11112 ,2 ,5,3,0363aaa 123例 设3(1),?a12确定当 为何值时，由向量组,的线能性表出不3(2),?a12确 定 当为 何 值 时 ，由

9、 向 量 组,的 线 性 表 出能3(3),?a12确 定 当为 何 值 时 ，由 向 量 组,的线唯 一 地性 表 出能解 3(1),?a12确定当 为何值时，由向量组,的线能性表出不1111,22530363Aaaa111103100-30aa 行(1)=a当0时，1111,00300001A 行3()2,( ,)3,R AR A12不此时，由向量组,的能线性表出.1111,22530363Aaaa111103100-30aa 行3(2),?a12确 定 当为 何 值 时 ，由 向 量 组,的 线 性 表 出能(2)=a当3时，210031,01130000A 行3(),()2,R AR

10、A12由向量组,的线性表出,但表示法时，能此不唯一.321=+33ccc12故 ,其中R.123231,3xAxxccRxc的通解为其中1111,22530363Aaaa111103100-30aa 行3(3),?a12确 定 当为 何 值 时 ，由 向 量 组,的线唯 一 地性 表 出能(3)aa当3且0时，3(),()3,R AR A12由向量组,的线性表出,且表示能此时，法唯一.111-=+.aa12故 123111-,0.Axxxxaa的唯一解为 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn,n12能向 量由 向 量 组线

11、性 表 出线 性 方 程 组 有 解 .,n1如 果 方 程 组 有 唯 一 解 ， 则由唯能一 地 线 性 表 出,n1如 果 方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 则由线 性 表 出 ，但 表 示能法 不 唯 一 .综合：综合：12nxxx12n26n元线性方程组元线性方程组AX= 有解的充分必要条件有解的充分必要条件是向量是向量 可由其系数矩阵可由其系数矩阵A的列向量组的列向量组 线性表出线性表出 定理定理12,n 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表出线性表出的充分必要条件是的充分必要条件是 推论推论12,n ( )( , )R AR A其中其中12,nA27设设 = 1,1,1T,

12、= 1,3,0T, = 2,4,1T 例例6试将向量试将向量 用向量用向量 与与 线性表出线性表出28向量组的线性相关与线性无关的概念向量组的线性相关与线性无关的概念对于向量组对于向量组 1 1, , 2 2, s s如果存在如果存在不全为零的数不全为零的数 k k1 1,k,k2 2,k,ks s , ,使得使得则称这个则称这个向量组线性相关向量组线性相关 否则称这个否则称这个向量组线性无关向量组线性无关k1 1 + k2 2 + + ks s = 0定义定义注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn ., 2. 线线性性相相

13、关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组注注., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量量共共面面向向量量相相关关的的几几何何意意义义是是三三是是两两向向量量共共线线；三三个个向向义义量量对对应应成成比比例例，几几何何意意充充要要条条件件是是两两向向量量的的分分它它线线性性相相关关的的量量组组对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向123112223331123 , , .bbbb b b 已知向量组

14、线性无关试证线性无关例例证证维维向向量量组组n.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为 n例例,nnR12且中的任意向量均可表示为的线性组合.12100010,001n 1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxa x,n12向 量 组线 性 相 关 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 .,n12向 量 组线 性关 齐 次 线 性 方无仅程 组 有有 零 解 .()RAn()RAn1122 0nnxxx1122 0nnxxx,mn如果即,n12向 量 组线 性 相 关 齐 次 线

15、性 方 程 组 有 非 零 解 .,n12向 量 组线 性关 齐 次 线 性 方无仅程 组 有有 零 解 .1111221211222211220,0,0.nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa xdet,n12()=0.det,n12()0.35定理定理12,nsF 设设令令 12,sA 12,TsXx xx则向量组则向量组 12,s 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是s元齐次线性方程组元齐次线性方程组 0AX 有非零解有非零解. 推论推论2.2.2 设设12,sA 则向量组则向量组 12,s 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是( )

16、.R As36推论推论2.2.3 令令,21nA,则则n维向量组维向量组 12,n 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 0AX 的系数行列式等于零的系数行列式等于零例例7 任意任意s(n)个个n维向量必线性相关维向量必线性相关 任意任意n+1个个n维向量必线性相关维向量必线性相关12,nsF 设设令令( )R As则则0AX 有非零解有非零解向量组向量组12,s 必线性相关必线性相关12,sA 37定理定理2.2.3 令令12,sA ,则则n维向量组维向量组 12,s 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是s元齐次线性方程组元齐次线性方

17、程组 0AX 仅有零解仅有零解. 即向量组即向量组 12,s 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是 ( ).R As， 742520111321 .21321的的线线性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 已已知知例39例例8 531,642,321321 是三个向量是三个向量, 由于由于 2 = 2 1 , 因而有因而有系数系数 2,-1,0 不全为零不全为零由上述定义可知由上述定义可知 1, 2, 3线性相关线性相关2 1 + ( - 1) 2 + 0 3 = 0 40例例9 9 含有零向量的任一向量组线性相关含有零向量的任一向量组线性相关设向量组为设向量组为 0,

18、1, 2, s 对任意的数对任意的数 k 0，有，有k0 + 0 1 + 0 2 +0 n = 041如果如果n维向量组维向量组 例例1112,(2)ss 线性无关线性无关, 试判断向量组试判断向量组 122311,sss 的线性相关性的线性相关性 解解 设存在数设存在数 12,sk kk,使得使得 112223111()()()()0ssssskkkk即即1112210sssskkkkkk12,s 线性无关线性无关, 故故 42112100(*)0ssskkkkkk齐次线性方程组的系数行列式为齐次线性方程组的系数行列式为 1100111001( 1)00100011sA 当当s为奇数时为奇数

19、时,|A|=2,方程组仅有零解方程组仅有零解.所求向量组线性无关所求向量组线性无关 当当s为偶数时为偶数时,|A|=0,方程组有非零解方程组有非零解.所求向量组线性相关所求向量组线性相关 43若若n维向量组维向量组 例例1212,(1, 2,)Tjjjnjaaajs线性无关，那么在每一个向量的第线性无关，那么在每一个向量的第n个分量后都个分量后都添加一个分量所得到的添加一个分量所得到的n+1维向量组维向量组121,(1,2, )Tjjjnjnjaaaajs亦线性无关亦线性无关(即即“无关组的延长组亦无关无关组的延长组亦无关”)44定理定理向量组向量组 1 1, , 2 2, , , s s(s

20、(s 2)2)线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余该向量组中至少有一个向量可由其余s-1s-1个向量个向量的线性表出的线性表出45 线性相关的向量组中未必每个向量均可由其余线性相关的向量组中未必每个向量均可由其余 s-1个向量线性表出个向量线性表出 1 = 1,0,0T 2 = 0,1,0T 3 =0,0,0T 1 不能由不能由 2, 3 线性表示线性表示46推论推论2.2.4 向量组向量组 12,(2)ss 线性无关的充分必要条件是它的每一个线性无关的充分必要条件是它的每一个向量都不能由其余向量都不能由其余s-1个向量线性表出个向量线性表出 定理定理2.2

21、.5 若向量组若向量组 12,s 线性无关线性无关, 而向量组而向量组 12,s 线性相关线性相关, 则向量则向量 可由向量组可由向量组 12,s 线性表出线性表出,且表示法唯一且表示法唯一 47若向量组若向量组 1, 2, , s中有一部分向量中有一部分向量线性相关线性相关, ,则该向量组线性相关则该向量组线性相关例例13反之未必反之未必48 若向量组若向量组 1, 2, , s线性无关线性无关,则其任则其任一部分一部分 向量组都是线性无关向量组都是线性无关反之未必反之未必 可总结如下结论可总结如下结论 部分相关部分相关整体相关整体相关 整体无关整体无关部分无关部分无关 整体相关整体相关部分相关部分相关 部分无关部分无关 整体整体无关无关49向量组向量组 1, 2, m线性相关还是线性无关线性相关还是线性无关, 通常通常 是指是指 m 2 的情况的情况, 但也适用于但也适用于 m=1