数学分析函数的导数(5)课件

1、数学分析函数的导数(5)3.2 3.2 导数的计算导数的计算( (求导法则求导法则) ) 20081112数学分析函数的导数(5)一、求导的四则运算一、求导的四则运算定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu数学分析函数的导数(5)证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxux

2、f设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .数学分析函数的导数(5)hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf数学分析函数的导数(5)推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf )()()()()

3、()( )()3(21211xfxfxfxfxfxfxfnnnii ; )()(11 ninikkkixfxf数学分析函数的导数(5)例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 数学分析函数的导数(5)例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossinco

4、s xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得数学分析函数的导数(5)例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得数学分析函数的导数(5)二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的

5、倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.数学分析函数的导数(5)证证,xIx 任任取取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 数学分析函数的导数(5)例例5 5.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11

6、.112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc 数学分析函数的导数(5)例例6 6.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax数学分析函数的导数(5)三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数

7、数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. .( (链式法则链式法则) )数学分析函数的导数(5)证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 数学分析函数的导数(5)推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvd

8、ududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例7 7.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 数学分析函数的导数(5)例例8 8.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例9 9.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a数学分析函数的导数(5)例例1010

9、.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1111.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 数学分析函数的导数(5)四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题axxaaaaxxln1)(logln)( xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccs

10、c)(cotsin)(cos)(21 xxeexx1)(ln)( 数学分析函数的导数(5)2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数求导四则运算函数求导四则运算3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可利用上述公式及法则初等函数求导问题可 完全解决完全解决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.数学分析函数的导数(5)例例1212.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxx

11、x .812422xxxxxxxxxx 数学分析函数的导数(5)例例1313.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 数学分析函数的导数(5)五、小结五、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分

12、解合理分解,正确使用）正确使用）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.数学分析函数的导数(5)思考题思考题求曲线求曲线 上与上与 轴平行的切线方程轴平行的切线方程.32xxy x12数学分析函数的导数(5)作业作业 (数学分析习题集数学分析习题集)习题习题3.2 导数计算导数计算 1、 10), 13), 15), 17), 22), 25), 26), 27);4、 2), 3), 4), 5), 8);5 、C); 6 、C); 8.数学分析函数的导数(5)思考题思考题1解答解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求