3.4文克勒地基上梁的计算

1、2021/6/161 基基 础础 工工 程程青岛理工大学青岛理工大学土木工程学院土木工程学院 地基教研室地基教研室2021/6/1623.3 地基计算模型地基计算模型n进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变关系，表达这种关系模式称为关系，表达这种关系模式称为地基模型地基模型。土的应力土的应力应变特性应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构性、流变性、剪胀性。性、流变性、剪胀性。 影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、影响土应力应变

2、关系的应力条件：应力水平、应力路径、应力历史。应力历史。2021/6/163（1）线弹性模型）线弹性模型 文克勒地基模型，弹性半空间地基文克勒地基模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型模型，有限压缩层地基模型（2）刚塑性模型）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、用于地基承载力、边坡稳定、土压力等计算。土压力等计算。（3）理想弹塑性模型）理想弹塑性模型（5）弹塑性模型）弹塑性模型 剑桥模型（剑桥模型（Cam-Clay）用于粘土用于粘土 莱特莱特-邓肯模型（邓肯模型（Lade-Duncan）用于砂土用于砂土（6）粘弹性模型）粘弹性模型（4）非线性弹性模型）非线性弹性模型 E-模型（邓肯模

3、型（邓肯-张张Duncan-Chang、双曲线）、双曲线） K-G模型模型2021/6/164一、一、 文克勒地基模型文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：年捷克工程师文克勒提出如下假设：地基上任一点所受的压力强度地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基与该点的地基沉降量沉降量s成正比。成正比。 p=kS K为基床反力系数，单位kN/m3 2021/6/165把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根弹簧代替。压力与变形成正比。弹簧代替。压力与变形成正比。基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基础）

4、受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图形按直线规律变化。形按直线规律变化。反力图反力图（a）（b）（c） 图3-8 文克勒地基模型（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础2021/6/166适用范围：适用范围：1）地基主要受力层为软土；）地基主要受力层为软土；2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层地基；地基；3）塑性区较大时；）塑性区较大时；4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系代替群桩。代替群桩。优点：优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。形

5、式简单、参数少，应用比较广泛。缺陷：缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传该模型不能扩散应力和变形，不能传递剪力。递剪力。2021/6/167二、二、 弹性半空间地基模型弹性半空间地基模型 弹性半空间地基模型弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性：假定将地基视为均质的线性变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移，变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移，地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布有关。有关。1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式积分得 rEpS02/ )1 (2021/6/1

6、68 按叠加法，网格按叠加法，网格i中点的沉降为所有中点的沉降为所有n个网格上的基底个网格上的基底压力分别引起的沉降之和，即压力分别引起的沉降之和，即2021/6/169即对于整个基础有称为地基柔称为地基柔度矩阵度矩阵2021/6/1610优点：优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近能够扩散应力和变形，可以反应邻近荷载的影响。荷载的影响。缺点：缺点：模型的扩散能力往往超过地基实际情况，模型的扩散能力往往超过地基实际情况，沉降量和沉降范围比实测结果大。沉降量和沉降范围比实测结果大。未能考虑到地基的成层性、非均质性以及未能考虑到地基的成层性、非均质性以及土体应力应变关系的非线性等重要因素。土体应力

7、应变关系的非线性等重要因素。2021/6/1611三、有限压缩层地基模型三、有限压缩层地基模型n有限压缩层地基模型有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总：把计算沉降的分层总和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。n公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵： tij第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)cntstititijijEh12021/6/16122021/6/1613优点：优点：较好地反映了地基土扩散应力和变形地能

8、较好地反映了地基土扩散应力和变形地能力，反映邻近荷载的影响；力，反映邻近荷载的影响；考虑了土层沿深度和水平方向的变化。考虑了土层沿深度和水平方向的变化。缺点：缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑未能考虑土的非线性和基底反力的塑性重分布。性重分布。2021/6/1614四、四、 相互作用基本条件相互作用基本条件两个条件1）静力平衡外荷载和基底反力作用下满足2）变形协调 挠度=沉降量00MFiiSW 2021/6/1615解析解：指能以函数的形式解析地表达出解析解：指能以函数的形式解析地表达出来地解答。如文克勒地基上梁的解答。来地解答。如文克勒地基上梁的解答。数值解：把梁或板微分方程离散化，最终

9、数值解：把梁或板微分方程离散化，最终得到一组线性代数方程，从而求得近似地得到一组线性代数方程，从而求得近似地数值解。数值解。u有限单元法有限单元法u有限差分法有限差分法2021/6/16163.4 文克勒地基上梁计算3.4.1 无限长梁的解答无限长梁的解答一、微分方程一、微分方程2021/6/1617FM0qxw挠曲曲线wbpoMVbpM+dMV+dVq+ q+ V+ M(a)(b)(c) 图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定dxxx根据材料力学，根据材料力学，梁挠度梁挠度w的微分方程式的微分方程式为：为：MxwEI22dd由梁的微单元

10、的静力平衡条件由梁的微单元的静力平衡条件M =0、V =0得到：得到： VdxdM02/2/dMMdxqdxdxbpdxVdxM0)(bpdxVdVVqdxqbpdxdV2021/6/1618MxwEI22dd将上式连续对坐标将上式连续对坐标x取两次导数，便得：取两次导数，便得： qbpdxdVdxMddxwdEI2244对于没有分布荷载作用（对于没有分布荷载作用（q = 0 0）的梁段，上式成为：）的梁段，上式成为： bpdxwdEI44上式是基础梁的上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。 2021/6/1619bpdxwdEI44ksp w

11、s bkwdxwdEI44采用文克勒地基模型时采用文克勒地基模型时044wEIkbdxwd文克勒地基上梁文克勒地基上梁的挠曲微分方程的挠曲微分方程2021/6/162044EIkb柔度特征值：柔度特征值：单位为单位为m-1,其倒数为特征长度。其倒数为特征长度。 值与地基基值与地基基床系数和梁的抗弯刚度有关，床系数和梁的抗弯刚度有关， 值越小，则基础值越小，则基础的相对刚度愈大。的相对刚度愈大。044wEIkbdxwd04444wdxwd2021/6/1621irir114, 32, 1四阶常系数线性常微分方程四阶常系数线性常微分方程0444r特征方程特征方程04444wdxwd特征方程根特征方

12、程根 2021/6/1622)sincos()sincos(4321xCxCexCxCewxxdxdw33dxwdEIdxdMV解得该方程的通解为：解得该方程的通解为：22dxwdEIMkwp 式中式中C、C、C和和C为积分常数为积分常数 2021/6/16232 .集中荷载作用下的解答集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下竖向集中力作用下 边界条件：边界条件：当当x时，时，w0。将。将此边界条件代入上式，得此边界条件代入上式，得C= =C=0。梁的右半部，上式成为：梁的右半部，上式成为： xCxCewxsincos43对称性：对称性：在在x=0处，处，dw/dx=0，代，代入上式得入上

13、式得C3C4=0。令。令C3=C4=C，则上式成为则上式成为 xxCewxsincosxCxCexCxCewxxsincossincos4321F0Ox2021/6/1624静力平衡条件：静力平衡条件：再在再在O点处紧靠点处紧靠F0的左、右侧把梁切开，则作用的左、右侧把梁切开，则作用于于O点左右两侧截面上的剪力均点左右两侧截面上的剪力均等于等于F0之半，且指向上方。根据之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧截面有符号规定，在右侧截面有V=F0 /2，由此得由此得C=F0/2kb 。F0+V符号规定符号规定xxekbFwxsincos20F0Ox2021/6/1625将上式对将上式对x依次取一阶

14、、二阶和三依次取一阶、二阶和三阶导数：阶导数： xxekbFwxsincos20 xxxxDFVCFMBkbFAkbFw2,4,200200，xeDxxeCxeBxxeAxxxxxxxxcos,sincossin,sincos对对F0左边的截面（左边的截面（x0），需用），需用x 的绝的绝对值代入计算，计算结果为对值代入计算，计算结果为w和和M时正时正负号不变，负号不变，但但 和和V则取相反的符号则取相反的符号。 2021/6/1626（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下 xCxCexCxCewxxsincossincos4321当当x时，时，w0，C= =C=0。 当当x=0时时w00，所以

15、，所以C3=0。 M0M0/2在右侧截面有在右侧截面有M=M0/2，由此得，由此得C4=M02 2/kb，于是，于是 xekbMwxsin20M0Ox2021/6/1627求求w对对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下： xxxxAMVDMMCkbMBkbMw2,2,003020当计算截面位于当计算截面位于M0的左边时，上的左边时，上式中的式中的x取绝对值，取绝对值，w和和M取与计取与计算结果相反的符号，而算结果相反的符号，而 和和V的符的符号不变。号不变。 2021/6/16282021/6/16293、多个集中荷载作用下无限长梁计算、多个集中

16、荷载作用下无限长梁计算CFxM40DFxV20集中力集中力集中力偶集中力偶2021/6/1630把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加，把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加，即得到共同作用下的总效应：即得到共同作用下的总效应：集中力集中力集中力偶集中力偶CFxM40DFxV202021/6/1631注意：注意：1）在每次计算时，均需把坐标原点）在每次计算时，均需把坐标原点移到相应的集中荷载作用点处；移到相应的集中荷载作用点处；正确利正确利用对称性；用对称性； 2）Aa、Da、Cb等系数是根据相应等系数是根据相应x值分别查表得到；值分别查表得到； 2021/6/16323.4.2有限长梁有

17、限长梁思路：把有限长思路：把有限长梁转化为无限长梁转化为无限长梁计算。梁计算。 以无限长梁为基础，利用叠加原理来求得满足以无限长梁为基础，利用叠加原理来求得满足有限长梁两自由边界条件的解答。有限长梁两自由边界条件的解答。附加荷载附加荷载FA 、MA和和FB 、MB称称为为梁端边界条件力。梁端边界条件力。2021/6/1633设外荷载在梁设外荷载在梁A、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别两截面上所产生的弯矩和剪力分别为为Ma、Va及及Mb、Vb，则，则 bBlABlAbBlABlAalBAlBAalBAlBAVMAMFDFMMDMFCFVAMMDFFMDMMCFF22222244222222442

18、021/6/1634解上述方程组得：解上述方程组得：blllblllalllalllBblllblllalllalllBblllblllalllalllAblllblllalllalllAMDFEVCFEMDEFVCEFMMAFEVDFEMAEFVDEFFMDEFVCEFMDFEVCFEMMAEFVDEFMAFEVDFEF22222021/6/16351、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作用下梁端用下梁端A,B处的内力，并叠加为处的内力，并叠加为bbaaVMVM2、在无限长梁、在无限长梁A,B处施加梁端边界条件力处施加梁端边界条件力M

19、A，PA ，MB，PB, 使其产生的使其产生的A,B处的内力为，处的内力为，-Ma，-Va ，-Mb，-Vb；可求出可求出梁端边界条件力梁端边界条件力。3、在无限长梁上，计算梁上、在无限长梁上，计算梁上外荷载外荷载以及以及两端边界力两端边界力共同共同作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。有限长梁的计算步骤：有限长梁的计算步骤：n掌握有限长梁的计算掌握有限长梁的计算2021/6/1636柔度指数L 3.4.3柔度指数柔度指数44EIkb梁的柔度特征值 表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值按按 l值的

20、大小将梁可划分三种：值的大小将梁可划分三种：长梁（柔性梁）有限刚度梁有限长梁短梁（刚性梁） )( 4/ 4/LLL2021/6/1637计算模式：计算模式：对于短梁，采用基底反力呈直线分布的简对于短梁，采用基底反力呈直线分布的简化方法计算；化方法计算；对于有限长梁，应用叠加原理，转化为无对于有限长梁，应用叠加原理，转化为无限长梁计算；限长梁计算；对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无限长梁进行简化计算；但限长梁进行简化计算；但如梁上的集中荷如梁上的集中荷载与梁端的最小距离载与梁端的最小距离x/时，按有限长时，按有限长梁计算。梁计算。在选择计算方法时，除了按在选

21、择计算方法时，除了按l值划分梁的类型外，值划分梁的类型外，还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。2021/6/1638 在实际工程中，基础梁还存在一端为有在实际工程中，基础梁还存在一端为有限梁端，另一端为无限长，称为半无限限梁端，另一端为无限长，称为半无限长梁。长梁。2021/6/1639siissszmmEhkhEkhspkEhpEhs/1/100有分层时的薄压缩层地基对于厚度为）按预估沉降量计算基床系数的的确定4 . 4 . 3基床系数基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土的大小取决于基底压力大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。物理意义：物理意义：使使土体产生单