第3章 杆梁结构的有限元分析

1、有限元基础及工程仿真分析有限元基础及工程仿真分析主讲：魏召兰主讲：魏召兰四川农业大学土木工程学院四川农业大学土木工程学院第第3章章 杆梁结构的有限元分析杆梁结构的有限元分析3.1 杆件有限元分析的标准化表征与算例杆件有限元分析的标准化表征与算例 3.1.1 杆件分析的基本力学原理杆件分析的基本力学原理杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在铰接接头处可以转动，的轴向力，因两个连接的构件在铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。则它

2、不传递和承受弯矩。 有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为该拉杆的长度为l，横截面积为，横截面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，如，如图图3-2所示，这是一个一维问题，下面讨论该问题的所示，这是一个一维问题，下面讨论该问题的力学描述与求解。力学描述与求解。 【基本变量基本变量】3.1.1(1) 1D问题的基本变量问题的基本变量 由于该问题是沿由于该问题是沿x方向的一维问题，因此只有沿方向的一维问题，因此只有沿x方向的基本变量，即方向的基本变量，即 定义沿定义沿x方向移动为位移：方向移动为位移： u(x) 定义沿定义沿x方向的相对伸长方向的

3、相对伸长(或缩短或缩短)量为应变：量为应变： x(x) 定义沿定义沿x方向的单位横截面上的受力为应力：方向的单位横截面上的受力为应力：【基本方程基本方程】3.1.1(2) 1D问题的基本方程问题的基本方程 该问题的三大类基本方程和边界条件如下该问题的三大类基本方程和边界条件如下: 取出杆件的任意一个截面，可得到平衡方程取出杆件的任意一个截面，可得到平衡方程(无体力无体力)为为 取出杆件取出杆件x位置处的一段长度位置处的一段长度dx，设它的伸长为，设它的伸长为du，则它，则它的相对伸长量为的相对伸长量为 该方程称为几何方程。该方程称为几何方程。 由该材料的拉伸试验，可得到该材料的虎克定律为由该材

4、料的拉伸试验，可得到该材料的虎克定律为: 该方程也称为物理方程。该方程也称为物理方程。 边界条件边界条件(BC, boundary condition) 从求解思路来说，可以有两类方法来对该问题进行求从求解思路来说，可以有两类方法来对该问题进行求解，即解，即 (1)直接求解方法：该问题比较简单，因此，可以由直接求解方法：该问题比较简单，因此，可以由3个方程来直接求解个方程来直接求解3个变量。个变量。 (2)基于试函数的间接方法：可以先选取一个变量基于试函数的间接方法：可以先选取一个变量(如位如位移移)作为最基本的待求变量，将其它变量都用它来表达，并作为最基本的待求变量，将其它变量都用它来表达，

5、并采用间接的近似求解方法；具体的做法为：先对待求的位采用间接的近似求解方法；具体的做法为：先对待求的位移变量假设一种事先满足位移边界条件的可能解移变量假设一种事先满足位移边界条件的可能解(其中有一其中有一些待定的系数些待定的系数)，称为，称为试函数试函数(trail function)，让该受力系统，让该受力系统的势能取最小值来最后确定出可能解的势能取最小值来最后确定出可能解(试函数试函数)中的那些中的那些待定待定系数系数(unknown constant)；也可以让该受力系统的内部变形；也可以让该受力系统的内部变形虚功等于外部施加力的虚功，来求出试函数中的那些待定虚功等于外部施加力的虚功，来

6、求出试函数中的那些待定系数。系数。 下面针对图下面针对图3-2所示的一端固定的拉杆问题，分别讨论所示的一端固定的拉杆问题，分别讨论基于直接求解方法以及基于试函数的间接方法的求解过程。基于直接求解方法以及基于试函数的间接方法的求解过程。 【求解原理求解原理】3.1.1(3) 1D问题的直接求解问题的直接求解 【求解原理求解原理】3.1.1(4) 1D问题的虚功原理求解问题的虚功原理求解 先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思想，然后再具体求解一端固定的拉杆问题。想，然后再具体求解一端固定的拉杆问题。 弹性力学中的虚功原理可表述为：

7、在外力作用下处于平衡状弹性力学中的虚功原理可表述为：在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给物体以微小虚位移时，外力所做的总虚功等于态的变形体，当给物体以微小虚位移时，外力所做的总虚功等于物体的总虚应变能物体的总虚应变能(即应力在由虚位移所产生虚应变上所作的功即应力在由虚位移所产生虚应变上所作的功)。注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件BC(u)的许可位移。的许可位移。 下面应用虚功应力来具体求解如图下面应用虚功应力来具体求解如图3-2所示的一端固定的拉所示的一端固定的拉杆问题，设有满足位移边界条件的位移场杆问题，设有满足位移边界条件的位移场 【求解原理求

8、解原理】3.1.1(5) 1D问题的最小势能原理求解问题的最小势能原理求解 3.1.2 局部坐标系中的杆单元描述局部坐标系中的杆单元描述 最简单的标准单元就是杆单元，下面就要研究它的试函数最简单的标准单元就是杆单元，下面就要研究它的试函数描述，以及计算它的应变能和外力功。描述，以及计算它的应变能和外力功。 【单元构造单元构造】3.1.2(1) 杆单元的描述杆单元的描述 单元的描述包括单元的几何及节点描述、位移场、应变场、单元的描述包括单元的几何及节点描述、位移场、应变场、应力场、势能，也就是要充分利用描述问题的三大类变量以及应力场、势能，也就是要充分利用描述问题的三大类变量以及三大类方程来计算

9、单元的势能，然后，由最小势能原理三大类方程来计算单元的势能，然后，由最小势能原理(或虚功或虚功原理原理)来得到单元的方程。实际上，单元内位移场的描述就是它来得到单元的方程。实际上，单元内位移场的描述就是它的试函数的选取。的试函数的选取。 【典型例题典型例题】3.1.2(2) 变截面杆单元的推导变截面杆单元的推导 如图如图3-5所示，有一受轴载荷的线性变截面杆件，两端的截所示，有一受轴载荷的线性变截面杆件，两端的截面积为面积为A1和和A2，长度为，长度为l，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，试建立描述该，试建立描述该杆件的一个杆单元。杆件的一个杆单元。 3.1.3 杆单元的坐标变换杆单元的坐

10、标变换 1. 平面杆单元的坐标变换平面杆单元的坐标变换 在工程实际中，杆单元可能处于在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系整体坐标系(global coordinate system)中的任意一个位置，如图中的任意一个位置，如图3-6所示，这需要所示，这需要将原来在将原来在局部坐标系局部坐标系(local coordinate system)中所得到的单元中所得到的单元表达等价地变换到整体坐标系中，这样，不同位置的单元才有表达等价地变换到整体坐标系中，这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成(即组装即组装)。图。图3-6中中的整体坐标

11、系为的整体坐标系为( )，杆单元的局部坐标系为，杆单元的局部坐标系为(ox)。 2. 空间杆单元的坐标变换空间杆单元的坐标变换 3.1.4 杆单元分析的杆单元分析的MATLAB程序程序 学习有限元方法的一个最佳途径，就是在充分掌学习有限元方法的一个最佳途径，就是在充分掌握基本概念的基础上亲自编写有限元分析程序，这就握基本概念的基础上亲自编写有限元分析程序，这就需要一个良好的编程环境或平台，需要一个良好的编程环境或平台，MATLAB软件就是软件就是这样一个平台，它以功能强大、编程逻辑直观、使用这样一个平台，它以功能强大、编程逻辑直观、使用方便见长，从本节开始，将自主学习方便见长，从本节开始，将自主学习MATLAB程序，程序，并编写以下程序：并编写以下程序：1D杆单元的有限元分析程序杆单元的有限元分析程序(Bar1D2Node)2D杆单元的有限元分析程序杆单元的有限元分析程序(Bar2D2Node) 3.1.5 杆结构分析的算例杆结构分析的算例 【典型例题典型例题】3.1.5(1