人教版·选修11311变化率问题课件

1、人教版选修11311变化率问题 人教版人教版选修选修11 3.1 变化率与导数变化率与导数3.1.1 3.1.1 变化率问题变化率问题人教版选修11311变化率问题 一、已知物体运动的路程作为时间的函数，一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；求物体在任意时刻的速度与加速度等； 二、求曲线的切线二、求曲线的切线; ; 三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值; ; 四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。 人教版选修11311变化率问题问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程可以发现：随我们

2、都吹过气球，回忆一下吹气球的过程可以发现：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。从数学角度从数学角度, ,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? ?研究某个变量相对于另一个变量研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度变化的快慢程度变化率问题：变化率问题： 气球的体积气球的体积V(V(单位单位:L):L)与半径与半径r(r(单位单位:dm):dm)之间的之间的函数关系是：函数关系是：34( )3V rr如果将半径如果将半径r r表示为体积表示为体积V V的函数的函数, ,那么那么33( )4Vr V人教版选修11311变化率问题l当当

3、V V从从0 0增加到增加到1 1时时, ,气球半径增加了气球半径增加了 气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为l当当V V从从1 1增加到增加到2 2时时, ,气球半径增加了气球半径增加了 气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)100.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdm L显然显然0.620.160.620.16? 当空气容量从当空气容量从V V1 1增加到增加到V V2 2时时, ,气球的平均膨气球的平均膨胀率是多少胀率是多少? ?2121()()r Vr VVV人教版选修11311变化率问题

4、问题问题2 高台跳水问题高台跳水问题 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）（单位：秒）存在函数关系：存在函数关系： h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态描述其运动状态? ?htoh(t)=-4.9t2+6.5t+1000.52:ttv 和1时的平均速度人教版选修11311变化率问题 6 5()(0 )6 54 9006 54 90

5、4 9hhtv时 ：人教版选修11311变化率问题平均变化率定义平均变化率定义:2.2.若设若设x=xx=x2 2-x-x1 1, f=f(x, f=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )（即（即yy） 则则平均变化率平均变化率为为121)()f xxx2f(x 1.上述两个问题中的变化率可用式子上述两个问题中的变化率可用式子 来表示来表示我们称之为我们称之为函数函数f(x)f(x)从从x x1 1到到x x2 2的的平均变化率平均变化率121)()f xfxxx2f(x这里这里“x”是一个整体符号，而不是是一个整体符号，而不是与与x的积。的积。它表示：对于它表示：对于x1的一个的一个“

6、增量增量”，故：，故：x2x1+x同样同样f=y=f(x2)-f(x1)，故：，故： y2y1+y人教版选修11311变化率问题 思考思考? 观察函数观察函数f(x)f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么? ?121)()f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y人教版选修11311变化率问题 1 、已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+x+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)A(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),B(-1+x,-2+y),则则y/x= y/

7、x= A 3 B 3x-(x) A 3 B 3x-(x)2 2 C 3-(x) C 3-(x)2 2 D 3-x D 3-x D2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度。 2x0+x 3 .t2质点运动规律s = t+ 3 , 则在时间( 3 , 3 +t ) 中相应的平均速度为( )9A . 6 +t B . 6 +t +C . 3 +t D . 9 +tA4.4.物体按照物体按照s(t)=3ts(t)=3t2 2+t+4+t+4的规律作直线运动的规律作直线运动, ,求在求在4s4s附附近的平均变化率近的平均变化率. . 25+3t25+3t人教版选修11311变化率问题

8、小结：小结： 1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率121)()f xfxxx2f(x2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: :(1)(1)求函数的增量：求函数的增量：f=y=f(xf=y=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )f f（x x1 1xx）f(xf(x1 1););(2)(2)计算平均变化率计算平均变化率 3.3.函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率的几何意义： 表示函数图象上两点表示函数图象上两点A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1), B(x), B(x2 2,f(x,f(x2 2)连线连线（割线）的斜率。（割线）的斜率。121)()fxfxxx2f(x2121ssvttst12,t t4.4.函数的平均变化率的物理意义：函数的平均变化率的物理意义：若若s= s(t),s= s(t),则平均变化率表示物体运动时在时间段则平均变化率表示物体运动时在时间段 中的平均速度中的平均速度人教版选修11311变化率问题1.1.过曲线过曲线y=f(x)=x3y=f(x)=x3上两点上两点P P（1 1，1 1）和）和Q (1+x,1+y)Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当x=0.1x=