数列的概念及简单表示方法

1、 数列的概念及简单表示法1 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2 数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中 n N递减数列an1_1 时， an Sn Sn 1 3 an 3 an1.33an n 1 an 1n 1.an n 1a4 5an1 n 1a3 3a3 4 a2a22，a1以上 n 1个式子的等号两端分别相乘，得到an n n 1 a12又 a1 1， ann12思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解 当出现 anan1

2、m时，构造等差数列；当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当出现an an 1f ( n)时，用累加法求解；当出现f ( n)时，用累乘法求解an1(1) 已知数列 an满足 a11n1，annan1( n2) ，则 an .(2) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1(nN)，则 a5等于 (A 16 B 16 C 31 D 321答案 (1) (2)Bnn 1解析 (1) an n an1 ( n2)，n 21 an 1an 2， a2 a1.n 12以上 (n1) 个式子相乘得1 2n 1 a1 1an a1 .2 3 nn n(2) 当 n1 时， S1 2a1

3、1， a11.当 n2时， Sn 1 2an 1 1， an 2an 2an 1， an 2an 1.an 是等比数列且 a11，q2，44故 a5 a1 q4 24 16.典例： (12 分)已知数列 an (1) 若 an n 5n 4， 数列中有多少项是负数n 为何值时， an有最小值并求出最小值(2) 若 an n2 kn 4 且对于 n N，都有 an1an. 求实数 k 的取值范围思维启迪 (1)求使 an0的n值；从二次函数看 an的最小值 (2)数列是一类特殊函数， 通项 公式可以看作相应的解析式 f ( n) n2kn(n)在 N上单调递增，但自变量不连续从 二次函数的对称轴

4、研究单调性规范解答2解 (1) 由 n2 5n40，解得 1nan 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关k3于 n 的二次函数，考虑到 nN，所以 2 3.12 分 温馨提醒 (1) 本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到 解决(2) 在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3) 易错分析：本题易错答案为 k2. 原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量 是正整数 .方法与技巧1 求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般

5、用 ( 1)n或( 1) n1来区分奇偶项的符号 ) ；已知数列中的递推关系，般只要求写出数列的前几项， 若求通项可用归纳、猜想和转化的方法S1n 12 强调 an 与 Sn的关系： anSn Sn 1n23 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有二种常见思路：(1) 算出前几项，再归纳、猜想；(2) 利用累加或累乘法可求数列的通项公式失误与防范1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数 列 an f ( n)和函数 yf(x) 的单调性是不同的2 数列的通项公式不一定唯一A 组 专项基础训练（ 时间： 40 分钟 ）、选择题1

6、数列 0,1,0 ， 1,0,1,0 ， 1，的一个通项公式是 an等于2Bcosn2n1 C cos 2 答案 DDcosn22解析 令 n 1,2,3 ，逐一验证四个选项，易得D正确数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a11，an13Sn（n1），则 a6等于（4A3444B3441C45D451答案 A解析 当 n1时， an 1 3Sn，则 an2 3Sn1， an 2an 1 3Sn 1 3Sn 3an1 ，即 an2 4an1，该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列1 n 1 ， 又 a2 3S1 3a1 3， ann234n2 n2 .当 n 6 时， a634 34.

7、3 若数列 an的通项公式是 an（ 1） n（3 n2） ，则 a1a2 a10等于 （）A15 B 12 C 12 D 15答案 A解析 由题意知， a1 a2 a1010 14710 （1）10（310 2）9 10 （14）（710）（ 1）9（392）（1）10（3102） 3 5 15.4 n 2 n4 已知数列 an的通项公式为 an （ 9） n1（3） n1，则数列 an（ ）A有最大项，没有最小项 B有最小项，没有最大项 C既有最大项又有最小项 D既没有最大项也没有最小项 答案 C4 n 2 n解析 数列 an的通项公式为 an（ 9）n1（ 3）n1，2n令 t（ 3）

8、n 1， t （0,1 ， t 是减函数，311则 ant2t（t 2）24， 由复合函数单调性知 an 先递增后递减 故有最大项和最小项，选 C.n15 若Sn为数列 an的前 n项和，且 Snnn 1，则a15等于D30答案 Dn n 11解析 当 n2时， an Sn Sn1 ，n 1n n n 11 所以 5 6 30.a5二、填空题26 已知数列 2n ，则是它的第 项n1答案 7解析n214950， n 7.7数列 an 中， a1 1，对于所有的n2， nN，都有 a1a2 a32n ，则 a3 a5答案61162解析 由题意知： a1 a2 a3 an1(n1) 2，n2an(

9、nn1)2(n2)，32 5 2 61 a3a5 (2) ( 4) 16. 的取值范围8 已知 an 是递增数列，且对于任意的 nN，ann2n恒成立，则实数 是 答案 ( 3，)解析 方法一 ( 定义法 )因为 an 是递增数列，所以对任意的 nN，都有 an1an，22即( n 1) 2 ( n 1) n2 n，整理，得2n10，即 (2 n1) (*)因为 n1，所以 (2n1) 3，要使不等式 (*) 恒成立，只需 3. 方法二 ( 函数法 )2 设 f ( n) an n n，其图象的对称轴为直线 n 2 ，要使数列 an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f ( n)为增函数，故

10、只需满足 f (1) 3.三、解答题9 数列 an 的通项公式是 an n2 7n6.(1) 这个数列的第 4 项是多少(2)150 是不是这个数列的项若是这个数列的项，它是第几项(3) 该数列从第几项开始各项都是正数2解 (1) 当 n 4时， a44247 6 6.2(2) 令 an 150，即 n27n6150，解得 n16或 n9( 舍去)，即 150 是这个数列的第 16 项(3) 令 ann27n60，解得 n6或 n1(舍) 故数列从第 7 项起各项都是正数10已知数列 an的通项公式为9nann1n10n，试判断此数列是否有最大项若有，第几项最大，最大项是多少若没有，说明理由9

11、n1 n 29n n19n 8 n解 an1 an10n1 10n10n 10 ，当 n0，即 an 1an；当 n 8 时， an1 an 0，即 an1 an；当 n8 时， an 1 an0，即 an 1an.则 a1a2a3a10a11，故数列 an有最大项，为第 8 项和第 9 项，89且 989 99 .且 a8a9 108 108.B 组 专项能力提升( 时间： 30 分钟 )1 跳格游戏： 如图，人从格子外只能进入第 1 个格子， 在格子中每次可向前跳 1格或 2 格， 那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( )A8种 B 13种 C21种 D 34种答案 C解析 设

12、跳到第 n 个格子的方法种数有 an，则到达第 n 个格子的方法有两类：向前跳 1格到达第 n 个格子，方法种数为 an1；向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数为 an2，则 anan1 an2， 由数列的递推关系得到数列的前8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第 8个格子的方法种数是 21. 故选 C.2 数列an满足 anan112 ( nN)，a22，Sn是数列an的前 n项和，则 S21为()A5答案 B1解析 anan12（ nN） ，1 1 1 a1 2a222， a2 2， a3 22，a42，1故 a2n2， a2n12 2.1 1 7 S2110 a1

13、 5 2 .21 2 1 2 22n3 若数列 n( n4)( 3) n中的最大项是第 k 项，则 k答案 4kk423kk1k52k 13解析由题意得2k2k 1kk43k1k332k210所以2，由k N可得k4.k22k904 已知数列 an满足前 n项和Snn21，数列 bn满足 bna 2 1，且前 n项和为 Tn，设 cnan1 T2n1 Tn.(1) 求数列 bn 的通项公式；(2) 判断数列 cn 的增减性解 (1) a12，anSnSn12n1(n2) 23 n 1 bn1n2n(2) cn bn1 bn2 b2n 1111 ， n1n 22n1111 c n 1 c n n 1 n 2n 2 2n 3 n1112n32n212n32n 2c n 是递减数列5 设数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 a1a，an1Sn3n，nN.(1) 设 bn Sn 3n，求数列 bn 的通项公式；(2) 若 an1 an， nN，求 a 的取值范围解 (1) 依题意， Sn1Snan1 Sn3 ，即 Sn12Sn3n，由此得 Sn13n12(Sn3n) 即 bn12