D51定积分的概念与性质PPT学习教案

1、会计学1D51定积分的概念与性质定积分的概念与性质1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及 x以及两直线bxax,所围成 ,求其面积 A .?A机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy 第1页/共26页1xix1ixxabyo1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似近似.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA

2、),2, 1,nii机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共26页niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabyo1xix1ixi第3页/共26页设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 分割分割.1,iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 近似近似.(),iv以代替变速得()iiisvt,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi

3、), 2, 1(ni已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为第4页/共26页1()niiisvt4) 取极限取极限 .01lim()niiisvt)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点，bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成 n个个小小区区间间， 各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),

4、2 , 1( i, 在各小区间上任取一点在各小区间上任取一点 1( ),( )niiiiifxSfx作乘积：并作和数： 定义定义怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，若若 iinixf )(lim10 存存在在， ，,1iiixx 第6页/共26页iinibaxfxxf )(limd)(10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量：积分区间：积分区间,ba记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和第7页/共26页说明：说明： baxxfd)( battfd)( bauufd)(1. baxxfd)(是是一一个个

5、数数值值, ,它它只只与与被被积积函函数数)(xf与与积积分分区区间间,ba有有关关, ,而而与与积积分分变变量量用用什什么么字字母母无无关关, ,如如 2. 有界有界是可积的必要条件是可积的必要条件, ,无界函数一定不可积；无界函数一定不可积； 第8页/共26页A( )0,f x ( )dbaf xxA曲边梯形的面积曲边梯形的面积A( )0,f x ( )dbaxxfA 曲边梯形面积曲边梯形面积A的相反数的相反数( )yf xbyoxa( )yf xbyoxaA第9页/共26页abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和各部分面积的代数和机动 目录 上页

6、 下页 返回 结束 第10页/共26页o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32ni第11页/共26页iinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim1101( ),( )lim(),1

7、,0,1( )lim( ).nbaninnibabaf xC a bf x dxf ainnia bf x dxfnn 注：特别地，111(1)()3216nn注注注 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n第13页/共26页1. ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx证证

8、:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定：( )d0;,( )d( )d .aabaabf xxabf xxf xx 第14页/共26页2.( )d( )dbbaak f xxkf xx( k 为常数)证证:01lim()niiik fx左端01lim()niiikfx= 右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共26页3.( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)

9、(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分对积分区间具有可加性第16页/共26页abc,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,a b c第17页/共26页4.1dd.d().bbbaaaxxbak xk ba证证:001,limlim().niibaxbaba对左端= 右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共26页0)(1iinixf则

10、.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 , a b第19页/共26页44233lndlnd.x xx x比较积分与的大小23,4 ,ln1,lnln.xxxx( )d0.baf xx1) ( ),( )0,( )0f xC a bf xf x，且但2) ( ), ( ),( )( ),( )( )f x g xC a bf xg xf xg x但，( )dbaf xx( )d .bag xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例

11、2.解解:44233ln dlnd .x xx x第20页/共26页xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(6. 设 , , ( ), ,max( ),min( ),a ba bf xC a b Mf xmf x则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页22122222d2.xeex证证: 设2( )xf xe则在22,22上 , 有)(xf22,xxe( )0,0,fxx令得驻点：122(),(0)1.2fef121,.Mme故22122222d2.xeex机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共26页, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共26页oxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的