创新设计】届高三数学一轮复习第4单元43平面向量的数量积及平面向量应用理新人教B课件

1、(理解平面向量数量积的含义及其物理意义理解平面向量数量积的含义及其物理意义/了解平面向量的数量积与向量投影的关系了解平面向量的数量积与向量投影的关系/掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算/能运用数量积表示两个向能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系/会用向量方法解决某些简单的会用向量方法解决某些简单的平面几何问题平面几何问题/会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题)4.3 4.3 平面向量的数量积及

2、平面向量的数量积及平面向量应用平面向量应用1两个非零向量夹角的概念：两个非零向量夹角的概念：已知非零向量已知非零向量a与与b，作，作OAa，OBb，则，则 AOB(0)叫叫a与与b的夹角的夹角,记作记作 ，注意：当注意：当0时时a 与与b同向；当同向；当时，时，a与与b反向；当反向；当时，时，a与与b垂直，记垂直，记ab；2平面向量数量积平面向量数量积(内积内积)的定义：的定义：已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的夹角是，它们的夹角是， 则数量则数量|a|b|cos 叫叫a与与b的数量积，记作的数量积，记作ab，即有，即有ab|a|b|cos .3.向量在轴上的正射影向量在轴上的正

3、射影已知向量已知向量a和轴和轴l如图所示，作如图所示，作OA=a,过点过点O，A分别作轴分别作轴l的的垂线，垂足分别为垂线，垂足分别为O1,A1，则向量，则向量O1A1叫做向量叫做向量a在轴在轴l上的上的正射影（简称射影），该射影在轴正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标，称作上的坐标，称作a在轴在轴l上的数量或在轴上的数量或在轴l的方向上的数量的方向上的数量OA=a在轴在轴l上正射影的坐上正射影的坐标记作标记作al,向量向量a的方向与轴的方向与轴l的正向所成的角为的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定，则由三角函数中的余弦定义有义有al=|a|cos .4性质：性质：两个非两个非零向量零

4、向量a，b(1)abab0.(2)当当a与与b同向时，同向时，ab|a|b|；当；当a与与b反向时，反向时，ab|a|b|.特别的特别的aa|a|2或或|a| .(3)|ab|a|b|.5运算律：运算律：abba；(a)b(ab)；(ab)cacbc.1已知已知|a|2，|b|4，ab4，则，则a与与b的夹角为的夹角为()A30 B60 C150 D120解析：解析：答案：答案：D2若向量若向量a(1,2)，b(1，3)，则向量，则向量a与与b的夹角等于的夹角等于()A45 B60 C120 D135解析：解析：答案：答案：D3两个非零向量两个非零向量a、b互相垂直，给出下列各式：互相垂直，给

5、出下列各式：ab0；abab；|ab|ab|；|a|2|b|2(ab)2；(ab)(ab)0.其中正确的式子有其中正确的式子有()A2个个 B3个个 C4个个 D5个个解析：解析：ab0，正确，正确，ab与与ab方向不同，错误方向不同，错误|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|ab|.正正确确(ab)2|a|2|b|22ab|a|2|b|2.正确正确当当|a|b|时时(ab)(ab)0不成立错误，故选不成立错误，故选B项项答案：答案：B4(2009江苏卷江苏卷)已知向量已知向量a和向量和向量b的夹角为的夹角为30，|a|2，

6、|b| ，则向量，则向量a和向量和向量b的数量积的数量积ab_.解析：解析：ab|a|b|cos 2 cos 303.答案：答案：3 向量的运算是指向量的加法、减法、实数与向量的积和向量的数量积等，向量的向量的运算是指向量的加法、减法、实数与向量的积和向量的数量积等，向量的运算类似于实数的运算，要注意二者之间的联系和区别，有些问题从运算律到运运算类似于实数的运算，要注意二者之间的联系和区别，有些问题从运算律到运算结果都非常类似，例如算结果都非常类似，例如a2b2(ab)(ab)等，同时要注意：等，同时要注意：数形结合思数形结合思想方法的运用；想方法的运用；向量加法、减法和数乘向量的结果是向量，

7、而向量数量积的运向量加法、减法和数乘向量的结果是向量，而向量数量积的运算结果是实数算结果是实数【例【例1】(1)证明证明：(ab)2a22abb2；(2)设设a、b是夹角为是夹角为60的单位向量，求的单位向量，求|2ab|、|3a2b|；2ab,3a2b解答：解答：(1)证明证明：(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)ba2ba(abb2)a22abb2.(2)|2ab|2(2ab)24a24abb244|a|b|cos6017， |2ab| .同理可求同理可求|3a2b| .cos2ab,3a2b又又02ab,3a2b180，2ab,3a2b60.2由于两个非零向量由于两个非零向量a(

8、x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为的夹角为满足满足0180，所以用，所以用 1. 利用数量积求解利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：【例【例2】已知已知a、b满足满足|ab|ab|，|a|b|1，求，求|3a2b|.解答：解答：由由|ab| |ab|得，得，|ab|23|ab|2，即，即(ab)23(ab)2，a22abb23(a22abb2)，8ab2a22b22|a|22|b|24，即，即ab ，|3a2b| 变式变式2.已知三个向量已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为两两所夹的角都为120

9、，|a|1，|b|2，|c|3，求向量，求向量abc与向量与向量a的夹角的夹角解答：解答：由已知得由已知得(abc)aa2abac12cos 1203cos 120 ，|abc| 设向量设向量abc与向量与向量a的夹角为的夹角为，则，则cos即即150 ，故向量故向量abc与向量与向量a的夹角为的夹角为150 . 向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“ “交汇处交汇处” ”的命题要求，的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利

10、用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题【例【例3】已知向量已知向量m(cos ，sin )和和n( sin，cos)，(,2)，且，且|mn| ，求，求cos 的值的值变式变式3.已知向量已知向量OAa(cos ，sin )，OBb(2cos ，2sin )，OCc(0，d)(d0)，其中其中O为坐标原点为坐标原点，且，且0 0，1有了向量的几何表示和代数表示，就为研究和解决几何问题提供两种新的方有了向量的几何表示和代数表示，就为研究和解决几何问题提供两种新的方法法向量法和坐标法向量法和坐

11、标法2向量的线性运算、平面向量的数量积，向量的平行与垂直，都有它的几何表示向量的线性运算、平面向量的数量积，向量的平行与垂直，都有它的几何表示和坐标表示，它们的形式虽然不同，但实质完全一样，在解决具体问题时要灵和坐标表示，它们的形式虽然不同，但实质完全一样，在解决具体问题时要灵活选择活选择3向量的坐标表示使向量运算完全数量化，致使一些证明题的过程表现在计算上，向量的坐标表示使向量运算完全数量化，致使一些证明题的过程表现在计算上，这是坐标法的独到之处这是坐标法的独到之处【方法规律方法规律】4用坐标表示向量解决几何问题的大致过程为：用坐标表示向量解决几何问题的大致过程为：(1)适当建立直角坐标系，写出相关点坐标；适当建立直角坐标系，写出相关点坐标；(2)用点的坐标表示所需向量坐标；用点的坐标表示所需向量坐标；(3)利用向量的坐标表示进行计算或证明利用向量的坐标表示进行计算或证明. (2009全国全国)(本题满分本题满分5分分)设设a、b、c是单位向量是单位向量，且，且ab0，则，则(ac)(bc)的的最小值为最小值为()解析解析：解法解法一一：由：由ab0如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xOy，则，则a(1,0)，b(0,1)设设c(cos ，sin )(ac)(bc)(1cos ，sin )(cos ，1sin )cos2cos sin2sin 1sin