2021-2021学年高中数学第一章三角函数章末小结与测评教学案新人教A版必修4

1、第一章三角函数第一章三角函数匚章示小结与测评知识网络构建频考点例析阶段质畳槪測知识网络构建I图龜时壹换L宙的性甌|高频考点例析考点一三角函数的概念1. 在直角坐标系中，设任意角a终边上任意一点 P(x, y)，它与原点的距离为 r =22yxyx + y，贝U sin a =; cos a = ; tan a =2. 任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关； 角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的； 反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.3. 三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余

2、弦.依 据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限.典例1 角 a的终边经过点 P(12 m 5m)( m# 0)，求sin a , cos a , tan a的值.解：r =7 (12m 2+( 5m 2 = 13| m ,假设m0,那么r = 13m a为第四象限角，cos ax 12m 12r 13m 13tan ay 5m 5 x = 2m= 12.y 5m5r = 13m =-13,sin a假设m0,那么r = 13m, a为第二象限角,sin ay 5m 5 r = 13m= 13,cos ax 12m 12 r = 13m= 13,tan ay 5m5x 12m12对点训练

3、1. (1) a是第四象限角,F( ,5, x)为其终边上一点，且 sina =X，贝Ucos a的值C.,104n假设一2 a 0,那么点P(tancos a )位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D第四象限解析：选A由定义可得sinxl 5 = x, x0,可得 x=- ,3,x,cos2 2 4 .n(2)选 B a 0,. tan a 0, 点P(tana , COS a )位于第二象限考点二同角三角函数根本关系式和诱导公式三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式化简的顺序是：(1) 先用诱导公式化为同角三角函数.(2) 再用同角三角函数关系

4、化简.用同角三角函数关系化简时，有两种思路：化弦法：当切函数的项比拟少时，常常化弦到达化简的目的；化切法：当弦函数的项比拟少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简.典例 2 n)= 4，求(sin 0 3cos 0 ) ( cos 0 sin 0 )1 + tan (2 n 0 )2 + tan ( 0n)2 + tan 01+tan (2n 0) = 2tOnT = 4,解得tan 0 = 2.的值.0 3cos 0 ) ( cos 0 sin 0 )解：(sin2 2=sin 0 cos 0 sin 0 3cos 0 + 3sin 0 cos 02 24sin 0 cos 0

5、sin 0 3cos 02.化简以下各式:.3sin (n+ a ) cos ( a ) cos (n a )tan (n+ a ) COS ( a n)(1)33+22 3 ncos ( a + 3 n) sin ( a + 3 n) COS + atan ( a + 5 n) tan (n+ a ) cos (n+ atan ( 510) cos ( 210 ) cos 120 tan ( 600 ) sin(330 )sin 29卜 cos 61。 tan 36tan 54sin 3 a cos a ( COS atan a ( cos 解：原式2 2)(cos a ) sin a si

6、n atan a tan a ( cos a ).32sin a cos a3sin a3.4cos a sin a2sin a32- cos a cos a2 2=COS a + Sin a=2sin 2 a 1.(2)原式tan 510 cos 210 cos 120tan 600 ( sin 330 )卜竺空 tan 36 tan 54 cos 61tan (2X 360 120) sin (360 30)tan (360 + 150) cos (180+ 30) cos (180 60)十tan 36 tan 54 tan 150 ( cos 30 )( cos 60 )=tan (

7、120 )( sin 30 )=tan (180 30) cos 30 cos 60 = tan ( 180+ 60) sin 30 = (tan 30 ) cos 30 cos 60 =tan 60 sin 30 =也=解：(1)由题可知T=“五点法作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与X轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线.周期变换3 ( 3 0) T周期变换 3 ( 3 0) T振幅变换A(A0)和周期变换 3( 3 0) T相位 变换0 ( 0丰0) T振幅变换 A(A0).注意二者平移量的不同.(3)由条件确定函数y = Asin( 3x+0 )的解析式，需要

8、确定 A, 3, 0,其中A,3易求，下面介绍求0的几种方法. 平衡点法0 一 0由y= Asin( 3x+ 0 ) = Asin 3 x+知它的平衡点的横坐标为一，所以我们可以33找与原点相邻的且处于递增局部的平衡点，令其横坐标为X1=-,那么可求0 .3 确定最值法这种方法避开了 “伸缩变换且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程. 利用单调性将函数y = Asin( 3x+ 0)的图象与y = sin x的图象比拟，选取它们的某一个单调区间 得到一个等式，解答即可求出0 .n典例3函数f(x) = Asin( 3x+0 )( A0, 3 0,00 气 的图象上的一个2 n最低点为,-

9、2，周期为n .(1) 求f (x)的解析式；(2) 将y= f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，然后再将n所得的图象沿x轴向右平移 百个单位，得到函数 y= g(x)的图象，写出函数 y= g(x)的解析式；n(3) 当x 0, 时，求函数f (x)的最大值和最小值.=n,2 nA= 2.由f (x)的最低点为 M得sin 3- + 0 =1.7tT O0 v_2，11 n 0, tan xw 0,.tan x sin xW 0.同理，当x n,3 n2时,sinx0,故 tan x sin x0. y= tan x+ sin x (tan x sin x) =

10、 2sin x.综上可知，选项D正确.4.如图，是函数y = Asin( cox + 0 ) + k( A0, co 0)的一段图象.(1)求此函数解析式;(2)分析一下该函数是如何通过y = sin x变换得来的?解：(1)由图象知132=12 n nT=2X V 6 =n，2 n1 .- o = = 2. - y = qsinE x + 0 ) 1.r n ,nnn当 x=石时，2x 6 + 0 = y, 0 =石.1n所求函数解析式为 y = ?sin 2x + 1.nn 把y= sin x向左平移个单位，得到y= sin x + ，然后纵坐标保持不变、横坐1n1标缩短为原来的2，得到y

11、= sin 2x + -，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的空，得到y1 n1n1sin 2x+，最后把函数y = & sin 2x + 的图象向下平移 1个单位，得到 y =二2 6262nsin2x + 1的图象.6耆点四三角函数的性质(1) 函数y= sin x和y = cos x的周期是2 n, y = tan x的周期是n;函数 y = Asin( cox2 nn+ )和 y= Acos( ox + )的周期是,y = Aan( ox + )的周期是 .1 3丨1 o 1(2) 函数 y = sin x 和 y= cos x 的有界性为：一1 sin x, cos x0, o 0)在

12、x (0 , 7 n )内取到一个最大值和一 个最小值，且当x=n时，y有最大值3,当x= 6n时，y有最小值一3.(1) 求此函数解析式；(2) 写出该函数的单调递增区间.解：(1)由题可知A= 3, T= 5n,T= 10 n .11n5，5n+ 0= T3 n7=帀.13n y= 3sin 5x+ 而.n 13 nn令 2k 兀一w 5x + 而w 2k n + ,得 10k n 4 nW x W 10k n + n, k 乙函数的单调递增区间为x|10 kn 4 nW x W 10kn + n， k Z.对点训练n5. 函数f (x) = 3sin 2x3的图象为 C.、11 n 图象

13、C关于直线x = 12对称；n 5 n 函数f (x)在区间一12，内是增函数; 由y= 3sin 2 x的图象向右平移 才个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是()A. 0 B . 1C. 2 D . 3, 一 11 n11 n n3 n解析：选 C f 12= 3sin 厂3 = 3sin = 3,11 n直线x =为对称轴，对；n5 n nn n由一x? 2x ,1212 232n n由于函数y = 3sin x在一刁,内单调递增,n 5 n故函数fx在-，疋内单调递增，对;nnfx = 3sin 2 x ，而由y = 3sin 2 x的图象向右平移 个单位长度得到函

14、数y =n3sin 2 x 亍 的图象，得不到图象 C,错.阶段质量检测一o时间：120分钟总分值：150分、选择题本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的 1.在 0360的范围内，与一510终边相同的角是A. 330B . 210C. 150D 30解析：选因为一510= 360X 2+ 210。，因此与一510终边相同的角是210 .右 sin=， a n，贝UsinA.1C.2D.解析:/ sin口 n 又a n,sin,3.a 3 ， COS_63 .3.弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，那么这个圆心角所对的弧长是 A.2 B.2s

15、in 1C.2si n 1 D.sin 2解析：选B如图，由题意知0 = 1, BC= 1,圆的半径r满足sin e = sin 1所以r=sinv，弧长a*2esinln4.函数f(x) = sin x的图象的一条对称轴是 ()nnA. x = B . x=nnC. x = D . x=,k Z,得 x = k nn解析：选C f(x)=sin x盲的图象的对称轴为 3 n4n 当k = 1时，那么其中一条对称轴为x=.5.化简.1+ 2sin (n 2 ) cos (n 2 )得()A. sin 2 + cos 2 B . cos 2 sin 2C. sin 2 cos 2 D . cos

16、 2 sin 2解析：选 C 1 + 2sin (n 2) cos (n 2)=1 + 2sin 2( cos 2 )=(sin 2 cos 2 ) 2,n 320.原式=sin 2 cos 2.n6. 函数f(x) = tan x+ 的单调增区间为()nnA. k n , k n + , k ZB. (kn, (k + 1) n ) , k ZC. k n,4nk n+ 4k ZnD. k n , k n +3 n4k Z解析：选C7t3 nnk Z,解得 knxk n + , k Z,选C.7.sin，那么3 n sina的值为A. 2 B .C._2T解析：选3 n4=n3nTsin3n

17、Va = sin n =sina是第三象限的角，且cosacos ,a那么的终边所在的象限是A.第一象限第二象限C.第三象限第四象限解析：选B是第三象限的角，n+ 2k n 牛+ 2k n, k Z.na _二+ kn 3 + k n, k 乙a在第二或第四象限.aaa又cos = cos cos 0.扌是第二象限的角.当sinX =时，f ( X) min当sinx = 2 时,f ( X)max=nn9.函数y= cos2x+sin x x0, co 0, | 0 | n 的一段图象如下图，那么函数的解析式为A.y = 2sinn2x 2X 4B.y = 2sinn2x 或 y= 2sin

18、C.y = 2sinD.y = 2sin解析：选C由图象可知A= 2,3n2x+n 2+所以T=n,n zx =匚时，2sin8n即 sin 0 = 1，又 |0)，对任意 x 有 f x - = f x + -，且 f 4 = a,那9么f 4等于()A. a B . 2aC. 3a D . 4a11 1111解析：选 A 由 f x 2 = f x+ 2，得 f(x + 1) = f X+ - + 2 = f x + 2 2 = f(x),即1是f(x)的周期.而f(x)为奇函数,14 =a.二、填空题本大题共4小题，每题5分，共20分n13. tan a =3, a n,那么 COS a

19、 sin a 的值是n解析：因为 _ a n,所以 cos a 0,所以cos a = COS a=2cos a2a + Sin asin所以11 + tan a1 11 + 3= 2.cos a sin14.设 f (n) = cosn n n匚+ 4，那么 f (1) + f(2) + f (3) + f(2 015)等于n n n解析：f(n) = cos + 的周期 T= 4,n n且 f (1) = cos + 4 = cosf(2)=cosf(3)=cosf(4)=cos2 n +于=乎.42所以f(1) + f(2) + f(3) + f(4)=0,所以f(1) + f(2) +

20、 f (3) +f(2 015)=f(1) + f(2) + f(3) 一于.a aw b,15定义运算 a*b 为 a*b= bab,例如 1* 1对于，由(sin a + cos a )= 得 4 所以 sin a = , cos a=匚，所以 tan a 5 =1，那么函数 fX=sin x*cos x 的值域为.解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为252sin a cos a25, a为第二象限角，所以sina cos a = |1 2sin a COS a答案：1, nn7 n16.给出以下4个命题：函数y= sin 2X12的最小正周期是2

21、；直线X = -是n1函数y= 2sin 3x 的一条对称轴；假设 sin a + cos a =匚，且a为第二象限角，那么4532tan a = 4；函数y= cos(2 3x)在区间3，3上单调递减.其中正确的选项是 .(写出所有正确命题的序号).n解析：函数y= sin 2x 石 的最小正周期是n,nn那么y = sin 2x 的最小正周期为 ,故正确.7 n7 n n3 n对于，当 x= 12时，2sin 3x 12 4 = 2sin = 2，故正确.73，故正确.5,对于，函数y= cos(2 3x)的最小正周期为 年，而区间-,3长度百3tan a + tan a + 2扌，显然错

22、误.答案：证明过程或演三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、 算步骤)17. (10 分)tan a 1tan a=1，求以下各式的值:(2)sin+ sin a COS a+ 2.sin a 3cos a sin a + cos a ；解:,tan a由 tan a 1=1,得 tan(1)13sin a 3cos a tan a 3 2sin a + costan a +112 + 12(2)sin a + sina cos2a + 2= sin a + sin2 一a cos a + 2(cos a + sin a )3sin 2 a + sin2aa COS

23、2a + 2cos asin 2 a + cos212 13 2+1 + 213, 2 “tan a + 118. (12 分)函数 f(x) = 2sin1-x 3-7tx R(1)5 n求f 的值;求函数f(x)的单调递增区间.解:(1) f5n1T =2sin 3Xn4 石=2sinn T= .2(2)令 2k7tn 1 n 一n 尹一石W 2 + 2k n, k Z,n 12 n所以 2k n -xW+ 2k n, k Z,333解得 6k n nW xW 2n + 6k n, k Z,1 n 、x 、所以函数f (x) = 2sin 3X 的单调递增区间为6 k n n, 2 n +

24、 6k n ,n19. (12 分)函数 f(x) = 3sin x+ .(1) 用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；写出f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间.7321jLiiiiLd1 I x 亦 jt3n 7n 2n *4 2 T TT i-3-3解：(1)列表如下:xnn3n5 n7 n4-4444nx+a0n2n3 n22 nnsin x + 4010103si nnx+703030描点画图如下图. 由图可知，值域为3, 3，最小正周期为2 n,k Z,n对称轴为X =+ k n,43 nn单调递增区间为 一-4- + 2kn, - + 2k n (k Z),单调递减区间为卜 2k n,5 n4卜 2k n ( k Z).n20. (12分)如图，函数y = 2sin( n x +0 ) , x R其中Ow 0 的图象与y轴交于点(0,1).(1)求0的值; 求函数y = 2sin( n x+ 0 )的单调递增区间;(3)求使