大学经济数学PPT学习教案

1、会计学1大学经济数学大学经济数学一、一、 函数的概念函数的概念二、二、 函数的极限函数的极限三、三、 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第1页/共51页因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 数数集集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域( )yf x定义定义 1 1 设设数集数集DR ， 则称映射， 则称映射RDf:为定义为定义在在D上的函数上的函数. . 变量变量y按照一定法则总有按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应

2、，则称y是是x的的函数函数，记作，记作 即对于每个数即对于每个数Dx , , 第2页/共51页()0 x0()f x自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则. .xyDW约定约定: :定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值. .21yx例例如如， 1 , 1 : D211yx例例如如，)1 , 1(: D第3页/共51页(1)(1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn第4页/共51页(3)(3

3、)取整函数取整函数 y=x x表示不超过表示不超过 的最的最大整数大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x第5页/共51页221,0( )1,0 xxf xxx例例如如, ,12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, ,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. .(3)(3)分段函数分段函数第6页/共51页例例1 1.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xx

4、xf 122231xx1, 3 : fD故故第7页/共51页M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1 1）函数的有界性）函数的有界性: :.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Xxf第8页/共51页（2 2）函数的单调性）函数的单调性: :,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)(上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称函数则称函数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf

5、)(2xfxyI1x2x第9页/共51页;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI1x2x第10页/共51页（3 3）函数的奇偶性）函数的奇偶性: :偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf第11页/共51页有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称x

6、f奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 第12页/共51页（4 4）函数的周期性）函数的周期性: :（通常说周期函数的周期是指其（通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期）.2l 2l23l 23l 对于函数对于函数f(x) ，若存在一个不为零的数，若存在一个不为零的数l，使，使得关系式得关系式 对于定义域内任何对于定义域内任何x值都成值都成立，则立，则 f(x)叫做叫做周期函数周期函数，l 称为是称为是f(x)的的周期周期。 ()( )f xlf x第13页/共51页(1) (1) 反函数反函数 设函数的定义域为设函数的定义域为D，值域为值域为W. . 若对若对yW，

7、D上上都有唯一确定一个数值都有唯一确定一个数值 x 与与 之对应，且之对应，且(x)=y. 若把若把 y 看作自变量看作自变量, , x 看作因变量看作因变量, ,则称函数则称函数x=f-1(y)为函数为函数 y =(x) 的的反函数反函数. .而原函数而原函数 y =(x)为为直直接函数接函数; ; x , y 互换便有互换便有y=(x) （y=f-1(x)）, , 从而函数从而函数与反函数定义域、值域及图象间有一定的关系与反函数定义域、值域及图象间有一定的关系. .第14页/共51页)(xfy 直接函数直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于

8、直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 第15页/共51页（2 2）复合函数）复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义 2 2: : 设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD, , 而函数而函数)(xu 的值域为的值域为 Z, , 若若fDZ , , 则称则称函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数. . ,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y例：例：第16页/共51页注意注意: : 1.1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的; ;2.2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合函数可以由两个以上的函数

9、经过复合构成复合构成. .cot,2xy =,yu=cot ,uv=.2xv=例如：例如：2,1yu ux 例如例如：第17页/共51页(1) 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 第18页/共51页(2) 指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xye第19页/共51页(3) 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyay = lnxxyalog xya1log )1( a)0 , 1( 第20页/共51页(4) 三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 第21页/共51页xyc

10、os xycos 余弦函数余弦函数第22页/共51页正切函数正切函数xytan xytan 第23页/共51页xycot 余切函数余切函数xycot 第24页/共51页正割函数正割函数xysec xysec 第25页/共51页xycsc 余割函数余割函数xycsc 第26页/共51页(5) 反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反正弦函数反正弦函数第27页/共51页xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数第28页/共51页xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数第29页/共51页 幂函数幂函数, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,三

11、角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. .xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc第30页/共51页初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次四则运算有限次四则运算和和有限次的函数复合有限次的函数复合步骤所构成并可用步骤所构成并可用一个式一个式子表示子表示的函数的函数, ,称为称为初等函数初等函数. . 我们以后遇到的函数大多都是初等函数，分段我们以后遇到的函数大多都是初等函数，分段函数除外。函数除外。第31页/共51页思考题思考题1设设0 x，21)1(xxxf ， 求 函 数， 求 函 数)0()( xxf

12、y的解析表达式的解析表达式. 第32页/共51页思考题思考题1解答解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf第33页/共51页二、函数的极限二、函数的极限领域：领域：设设是某个正数，称开区间是某个正数，称开区间(x0- , x0+ )为为以为以为x0中心，以中心，以为半径的邻域，简称点为半径的邻域，简称点x0的邻域，的邻域，记为记为U(x0, )空心领域：空心领域：0(, )U x1.1. x 时函数时函数(x)的极限的极限 （1） 设函数(x)，当x0且无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim (

13、) xf xA 或( )().f xA x 如：如：1lim0, lim0, lim arctan.2xxxxexx 第34页/共51页(2) 设函数(x),当x0且x的绝对值无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim ( ) xf xA 或( )().f xA x 如：如：1lim0, lim0, limarctan.2xxxxexx 定义定义2： 设函数(x),当x的绝对值无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim() ()().xfxAfxA x 或 第35页/共51页定理定理1 函数y =(x)

14、当x 时极限存在且为A的充要条件是函数y =(x)当 x 与 x 时极限都存在且等于A. 即lim()lim()lim()xxxfxAfxfxA 例例2 1(1) lim0;1(2) lim0 (0);(3) lim0.xkxxxxkxe 第36页/共51页2. xx0 时函数(x)的极限当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x 1时,函数(x)无限接近于1, 记为 f(x)1oxy11 y = x(1,1)例例3 函数 y =(x) = x (如右图)例如例如10lim1 , limarctan0 .xxxx定义定义 3 3 设函数设函数( )f x在在0 x的某一去心领域的某一去心领域0(,

15、 )U xd内有定义，当自内有定义，当自变量变量 x 在在0(, )U xd内无限接近于内无限接近于0 x时，相应的函数值无限接近于时，相应的函数值无限接近于确定的常数确定的常数 A，那那么么常数常数 A 就叫函数就叫函数( )f x当当0 xx时的极限时的极限, ,记记作作 00lim( )( )()xxf xAf xA xx=或 第37页/共51页例例4 4000000000021(1) lim (C);(2) lim ();lim, , lim, 0, lim.22(3) lim?1xxxxxxnnxxnnxxxCCaxbaxbxxnxxxxxxx 为 常 数特 别 地 ：当为 正 整

16、数 时当时注：注：(3)(3)中函数虽在中函数虽在x=1=1处无定义处无定义, ,但但 x时极限却存在时极限却存在. .这这说明函数在说明函数在 x0 0点的极限是否存在与函数在点的极限是否存在与函数在 x0 处有无定义无处有无定义无关关. .这是因为函数在这是因为函数在 x0点的点的极限是极限是函数在函数在 x0 附近的附近的变化趋变化趋势势, , 而不是在而不是在 x0处函数值。处函数值。第38页/共51页如3 3. . 函数函数(x)的左、右极限的左、右极限 (0)yxx (1) (1) 左极限左极限 当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则 A是(x)在 x

17、0处的左极限. 记为00lim() (0).xxf xAf xA 或 则只能考察 x 从 0 的右侧趋于0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念.(2) )右极限右极限 当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则A是(x)在 x0 处的右极限. 记为00lim() (0).xxfxAfxA 或 第39页/共51页左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:定理定理2. . 函数y = (x)当 xx0 时极限存在且为A的充要条件是函数y = (x)的左极限和右极限都存在且等于A。即000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA 此

18、定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限存在的方法; 特别对分段函数适用.第40页/共51页例例5 设设(x)=|x| , ,求求 , 0 , 0 xxxxx 0lim( ).xf x解 因0000(0 )lim( )lim0,(0 )lim( )lim()0.xxxxff xxff xx 则故0lim0.xx讨论下列函数当 x 时的极限.(1 ) (); ( 2 ) () . fxxxxfxx oxyy =|x| 第41页/共51页例例6 y = = x 在在 x1 时极限是否存在？时极限是否存在？解 因 11( 10 )l i m()1 ,( 10 )l i m()0 .xxffxffx 故

19、11limlim xxyx 不 存 在 .oxy112, 01()0 , 1, lim().3 , 12xxxfxxfxxx 求例例7解 因1111(1 0)lim( )lim(3)2,(1 0)lim( )lim22.xxxxff xxff xx 12lim( )2.xf x 由定理 有 第42页/共51页三、无穷小量与无穷大量三、无穷小量与无穷大量 研究函数极限时, 有两种变量非常重要. 一种是在极限过程中变量可以无限变小, 而且要多么小就有多小; 一种是在极限过程中, 变量可以无限变大, 而且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无穷小量和无穷大量.第43页/共51页1.1.无穷小量无穷小

20、量定义定义4 4 以零为极限的变量称为无穷小量. 例:1 .xx 是时的无穷小量0limsin0sin 0 .xxxx 是时的无穷小量1lim0lim0lim0 xxxxxxee .xex 是时的无穷小量 .xex 是时的无穷小量0000lim()0 .xxxxxxxx 是时的无穷小量第44页/共51页注注1. 很小很小的非零常量不是无穷小量, 但数“0”是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极限值为0.无穷小量的性质无穷小量的性质:性质性质1. i0(1,2, ),in 设在某一极限过程下有则在此极限过程下有注注2. 无穷小量与自变量的变化过程有关.1(1) 0;nii 1(2)

21、0.nii 性质性质2. 有界变量(x)与无穷小量(x)之积仍为无穷小量.例例01sinlimsin0,lim0 xxxxxx 第45页/共51页2 2. . 无穷大量无穷大量0lim( ) lim( )xxxf xf x （或）注注1 1 无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而不是一个很大的常量. 当(x)取正值无限增大(取负值绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量). lim( ) lim( )f xf x （或或）注注2 2 通常lim( ) f x 记为是极限不存在的记号定义定义5 如果如果 时，时， 无限增大，无限增大，则则称函数称函数(x)为该变化过程下的无穷大量为该变化过程下的无穷大量. . 记为