二元函数的极限与连续

1、2021/6/161第二节二元函数的极限与连续性第二节二元函数的极限与连续性一、一、二元函数的极限二元函数的极限二、二二、二元函数的连续性元函数的连续性三、总三、总 结结2021/6/162一、二元函数的极限2021/6/1632021/6/164说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似2021/6/165例例1 求求xxyyx)sin(lim20 xxyyx)sin(lim20解解yxyx

2、yyxylimlim20)sin(=12=2.2021/6/166例例2 求求yxyx1lim10解解1101yxyx1lim10例例3 求求22001sin)(limyxyxyx解解01sin)(2200limyxyxyx2021/6/167例例4 求求22221limyxyxyx解解1)11 (1222222limlimyxyxyxyxyx2021/6/168例例5 5.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 2021/6/169（2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存

3、存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：2021/6/1610例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在P(x,y)趋向于趋向于(0,0)时极限是否存在时极限是否存在.解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在2021/6/1611二、二元函数的连续性2021/6/1612闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1

4、）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（）介值定理（）介值定理（）有界性定理（）有界性定理 如果二元函数在有界闭区域如果二元函数在有界闭区域D D上连上连续，则在续，则在D D上一定有界上一定有界),(yxfz 如果二元函数在有界闭区域如果二元函数在有界闭区域D D上连续，上连续，则在则在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次),(yxfz 如果二元函数在有界闭区域如果二元函数在有界闭区域D D上连续，上连续，任给任给 ，若存在数，使得，若存在数，使得, ,则存在则存在, ,使得使得),(yxfz DyxPyxP),(),(222111)()(2211pfpfDyxQ),(kQf)(2021/6/1613多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭