第二章 几何组成

1、第二章第二章 几何组成分析几何组成分析2.1 2.1 几何组成分析的目的和概念几何组成分析的目的和概念 基本概念基本概念1 1、杆件结构是由若干根杆件互相联结所组成的体、杆件结构是由若干根杆件互相联结所组成的体系。将其与地基联结成一个整体，用来承受荷载系。将其与地基联结成一个整体，用来承受荷载的作用。的作用。 当不考虑各杆本身的变形时，结构应能保持其当不考虑各杆本身的变形时，结构应能保持其原有几何形状和位置不变，也就是说，组成结构的原有几何形状和位置不变，也就是说，组成结构的各个杆件之间以及整个结构与地面之间，应不发生各个杆件之间以及整个结构与地面之间，应不发生相对运动。相对运动。2 2、几何

2、不变体系、几何不变体系 P 受到任意荷载作用后，若不考虑杆件的变形，受到任意荷载作用后，若不考虑杆件的变形，几何形状和位置均保持不变的体系。几何形状和位置均保持不变的体系。3 3、几何可变体系、几何可变体系 由于结构是用来承受荷载的，因此它必须是几由于结构是用来承受荷载的，因此它必须是几何不变体系，即几何可变体系不能作为结构使用。何不变体系，即几何可变体系不能作为结构使用。 若不考虑杆件的变形，在很小的荷载作用下，若不考虑杆件的变形，在很小的荷载作用下，也将引起几何形状和位置发生改变的体系。也将引起几何形状和位置发生改变的体系。5 5、几何组成分析的目的、几何组成分析的目的1 1）判别给定体系

3、是否是几何不变体系，从而决定）判别给定体系是否是几何不变体系，从而决定它能否作为结构使用；它能否作为结构使用；2 2）研究几何不变体系的组成规则，以保证设计出）研究几何不变体系的组成规则，以保证设计出合理的结构；合理的结构；3 3）帮助正确区分静定结构和超静定结构。）帮助正确区分静定结构和超静定结构。 分析杆件体系的几何组成，判断杆件体系是分析杆件体系的几何组成，判断杆件体系是几何不变体系还是几何可变体系。几何不变体系还是几何可变体系。4 4、几何组成分析、几何组成分析2.2 2.2 平面体系的自由度平面体系的自由度一、基本概念一、基本概念前提：不考虑材料的应变。前提：不考虑材料的应变。1 1

4、、刚片：、刚片：几何形状不能改变的物体。几何形状不能改变的物体。 一根杆（包括直杆、折杆或曲杆）、地基、地一根杆（包括直杆、折杆或曲杆）、地基、地球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个刚片。作一个刚片。2 2、链杆：、链杆：一根一根两端两端铰接铰接（即用铰结点相连）于两（即用铰结点相连）于两个刚片的杆件。个刚片的杆件。二、自由度二、自由度 体系的自由度是指体系的自由度是指该体系运动时，用来确定其位置该体系运动时，用来确定其位置所需的独立参数的数目。所需的独立参数的数目。也可以理解为该体系有多少种独立运动的方式。也可以理解为该体系有多少种独

5、立运动的方式。平面内某一动点平面内某一动点A A，其位置需由两个坐标，其位置需由两个坐标 x x 和和 y y来确来确定，故定，故一个点的自由度等于一个点的自由度等于2 2，即点在平面内可以作即点在平面内可以作两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种移两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种移动来表示。动来表示。三、点、刚片、结构的自由度三、点、刚片、结构的自由度1 1、 平面上的点平面上的点xyAxyoxyAxyo2 2、平面上的刚片、平面上的刚片一个刚片在平面运动时，其位置将由它上面任一点一个刚片在平面运动时，其位置将由它上面任一点 A A 的坐标的坐标 x x、y y 和过和过

6、A A 点的任一直线点的任一直线 AB AB 的倾角的倾角 来确来确定。因此，定。因此，一个刚片在平面内的自由度等于一个刚片在平面内的自由度等于3 3，即刚片，即刚片在平面内不但可以自由移动，而且还可以自由转动。在平面内不但可以自由移动，而且还可以自由转动。 自由度自由度 零的体系零的体系几何可变体系几何可变体系 工程结构均工程结构均为几何不变体系为几何不变体系 自由度为自由度为零零四、约束四、约束2 2、能减少一个自由度的装置相当于一个约束。、能减少一个自由度的装置相当于一个约束。1 1、对运动起限制作用而减少体系自由度的装置称、对运动起限制作用而减少体系自由度的装置称为约束。为约束。1 1

7、、单链杆、单链杆五、约束的种类五、约束的种类一根链杆可以减少体系的一个自由度，相当于一个一根链杆可以减少体系的一个自由度，相当于一个约束。约束。一个单铰一个单铰/ /铰支座相当于两个约束，也相当于两根链铰支座相当于两个约束，也相当于两根链杆的约束作用。杆的约束作用。III2 2、单铰：连接两个刚片的铰、单铰：连接两个刚片的铰。3 3、刚结点、刚结点刚结点相当于三个约束。刚结点相当于三个约束。 一个平面体系，通常都是由若干个刚片加入某一个平面体系，通常都是由若干个刚片加入某些约束组成的。加入约束的目的是为了减少体系的些约束组成的。加入约束的目的是为了减少体系的自由度。自由度。 如果在组成体系的各

8、刚片之间恰当地加入足够如果在组成体系的各刚片之间恰当地加入足够的约束，就能使刚片与刚片之间不发生相对运动，的约束，就能使刚片与刚片之间不发生相对运动，从而使该体系成为几何不变体系。从而使该体系成为几何不变体系。 2.3 2.3 几何不变体系的简单组成规则几何不变体系的简单组成规则一、两刚片法则一、两刚片法则平面中两个独立的刚片，共有平面中两个独立的刚片，共有6 6个自由度。要使这两个刚个自由度。要使这两个刚片之间不发生相对运动，即组成一个几何不变体系，那么片之间不发生相对运动，即组成一个几何不变体系，那么这两个刚片组成的整体只能有这两个刚片组成的整体只能有3 3个自由度，从而整体的自个自由度，

9、从而整体的自由度减少由度减少3 3。在两刚片之间至少应该加入在两刚片之间至少应该加入3 3个约束，才可能将这个约束，才可能将这两个刚片组成一个几何不变的体系。两个刚片组成一个几何不变的体系。下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。一、两刚片法则一、两刚片法则(a(a）实铰实铰首先回顾一下铰结点的特点。首先回顾一下铰结点的特点。 图图(b)(b)中，刚片中，刚片I I和和用两根不平行的链杆用两根不平行的链杆、联结。联结。若刚片若刚片I I固定不动，那么刚片固定不动，那么刚片可绕两杆延长线的交点可绕两杆延长线的交点O转转动；反之，若设刚片动；反之，若设刚

10、片固定不动，那么刚片固定不动，那么刚片I I也可绕也可绕O点转点转动。动。(b(b）O刚片刚片II刚片刚片I虚铰虚铰 而自由转动是铰的特性，因此而自由转动是铰的特性，因此上述转动情况等效于在上述转动情况等效于在O点点用单铰把刚片用单铰把刚片I I和和IIII相联。与实铰不同，这个铰的位置在两链相联。与实铰不同，这个铰的位置在两链杆延长线的交点上，故称为杆延长线的交点上，故称为虚铰虚铰。 事实上，虚铰与实铰所起的作用是完全相同的事实上，虚铰与实铰所起的作用是完全相同的。 为了制止为了制止刚片刚片I I和和之间发生之间发生相对运动相对运动，还需要加，还需要加上一根链杆。如果该链杆的延长线不通过上一

11、根链杆。如果该链杆的延长线不通过O点，则刚点，则刚片片I I和和之间就不可能再发生相对运动之间就不可能再发生相对运动。刚片刚片II刚片刚片IO两刚片法则：两刚片法则：刚片刚片IIII刚片刚片IOO刚片刚片IIII刚片刚片I I法则法则I I：两刚片用不全交于一点又不完全平行的三根两刚片用不全交于一点又不完全平行的三根链杆相联，所组成的体系是几何不变的。链杆相联，所组成的体系是几何不变的。法则法则IIII：两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相联，所组成的体系是几何不变的。相联，所组成的体系是几何不变的。二、三刚片法则二、三刚片法则 平面中三个独立的刚片，共有

12、平面中三个独立的刚片，共有9 9个自由度。要使这三个刚个自由度。要使这三个刚片之间不发生相对运动，即组成一个几何不变体系，那么片之间不发生相对运动，即组成一个几何不变体系，那么这三个刚片组成的整体只能有这三个刚片组成的整体只能有3 3个自由度，从而整体的自个自由度，从而整体的自由度减少由度减少6 6。在三个刚片之间至少应该加入在三个刚片之间至少应该加入6 6个约束，才可能将个约束，才可能将这三个刚片组成一个几何不变的体系。这三个刚片组成一个几何不变的体系。二、三刚片法则二、三刚片法则 刚片刚片I I、IIII、IIIIII用不在同一直线上的用不在同一直线上的A A、B B、C C三个铰两三个铰

13、两两相联，两相联，这个图形看上去像一个三角形，当不考虑三角形这个图形看上去像一个三角形，当不考虑三角形各条边发生应变时，三角形是稳定的，即在任意荷载作用各条边发生应变时，三角形是稳定的，即在任意荷载作用下，其几何形状都不会发生改变，因此下，其几何形状都不会发生改变，因此三刚片用不在同一三刚片用不在同一直线上的三个铰相联，所组成的体系是几何不变的。直线上的三个铰相联，所组成的体系是几何不变的。为了确定这为了确定这6 6个约束的布置原则，考察下图个约束的布置原则，考察下图三刚片法则：三刚片法则：三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，所组成的体系是几何不变的。联

14、，所组成的体系是几何不变的。注：图（注：图（a a）中任意一个实铰可换为由两根链杆所组成的）中任意一个实铰可换为由两根链杆所组成的虚铰。只要保证这三个铰不在同一直线上即可。虚铰。只要保证这三个铰不在同一直线上即可。比如，比如，将将图（图（a a）中三个铰换成图）中三个铰换成图（b b）中的）中的六根链杆，六根链杆，六六根链杆两两相交，形成三个虚铰，由于三个虚铰不在同一根链杆两两相交，形成三个虚铰，由于三个虚铰不在同一直线上，因此，该体系也是几何不变的。直线上，因此，该体系也是几何不变的。三、二元体法则三、二元体法则二元体二元体二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不二元体法则：在一个

15、体系上增加或者去掉一个二元体，不会改变原体系的几何组成性质。会改变原体系的几何组成性质。即：即：二元体：由两根不共线的链杆联结一个二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点（特指新结点（特指铰结点）铰结点）的装置。的装置。1 1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体后，体系仍为几何可变体系；后，体系仍为几何可变体系；2 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体后，体系仍为几何不变体系。后，体系仍为几何不变体系。 二元体是由链杆所组成，而链杆的定义是二元体是由链杆所组成，而链

16、杆的定义是一根一根两端两端铰接铰接（即用铰结点相连接）于两个刚片的杆件（即用铰结点相连接）于两个刚片的杆件。因。因此，此，在一个体系上增加二元体时，需用铰结点将其与在一个体系上增加二元体时，需用铰结点将其与体系相联。反之，去掉二元体时，也需将与之相联的体系相联。反之，去掉二元体时，也需将与之相联的铰去掉。铰去掉。去掉二元体去掉二元体增加二元体增加二元体 上述三个组成规则中，都提出了一些限制条件上述三个组成规则中，都提出了一些限制条件。如果不能满足这些条件，将会出现下面所述的情。如果不能满足这些条件，将会出现下面所述的情况。况。1 1、两刚片：、两刚片：1 1）两刚片用）两刚片用交于一点的三根链

17、杆交于一点的三根链杆相联。相联。2 2）两刚片用）两刚片用平行平行但不等长但不等长的三根链杆的三根链杆相联。相联。3 3）两刚片用）两刚片用平行平行且等长且等长的三根链杆的三根链杆相联。相联。 四.瞬变体系瞬变体系1 1、瞬变体系：、瞬变体系：原为原为几何可变几何可变，但，但经过微小位移后经过微小位移后转化为几何不变体转化为几何不变体系系，这种体系称为瞬变体系。，这种体系称为瞬变体系。瞬瞬变变 体体系系瞬变体系也是瞬变体系也是一种几何可变一种几何可变体系！体系！两刚片发生相对运动后，两刚片发生相对运动后，此三根链杆仍互相平行，此三根链杆仍互相平行，故运动将继续发生，此体故运动将继续发生，此体系

18、是几何可变体系。系是几何可变体系。 2 2、常变体系：、常变体系：如果一个几何可变体系可以发生大位如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。移，则称为常变体系。常常变变 体体系系2 2、三刚片：、三刚片： 三个刚片用位于同一直线上的三个铰两两相联。三个刚片用位于同一直线上的三个铰两两相联。铰铰C C可绕两个圆弧的公切线发生一微小移动。微小移动可绕两个圆弧的公切线发生一微小移动。微小移动后，三个铰就不再位于一直线上，运动也就不再继续后，三个铰就不再位于一直线上，运动也就不再继续，故此体系是一个瞬变体系。，故此体系是一个瞬变体系。 瞬变体系瞬变体系（a a）2sin0NPFF因为变形是微

19、小的，故 为一无穷小量，所以问题：瞬变体系发生微小变形后，能否作为结构？问题：瞬变体系发生微小变形后，能否作为结构？ 由于瞬变体系能产生很大的内力，故瞬变体系不能由于瞬变体系能产生很大的内力，故瞬变体系不能作为结构使用。作为结构使用。只有几何不变体系才能作为结构使用！只有几何不变体系才能作为结构使用！2sinPNFF2sinPNFF 讨论：虚铰在无穷远处的情形讨论：虚铰在无穷远处的情形相互平行的线的交点可相互平行的线的交点可视为在无穷远处视为在无穷远处 1 1、一个虚铰在无穷远处、一个虚铰在无穷远处2 2、两个虚铰在无穷远处、两个虚铰在无穷远处3 3、三个虚铰在无穷远处（、三个虚铰在无穷远处（

20、数学上可证明三个铰共数学上可证明三个铰共线线） 小结：小结：以上介绍了几何不变体系的三条简单组成规以上介绍了几何不变体系的三条简单组成规则，而它们实质上只是一条规则，即三角形法则。则，而它们实质上只是一条规则，即三角形法则。 两刚片法则两刚片法则二元体法则二元体法则五、几点说明五、几点说明按上述法则所组成的体系，从保证其几何不变按上述法则所组成的体系，从保证其几何不变性来说，它具备了最低限度的约束数目，称其为性来说，它具备了最低限度的约束数目，称其为几何不变无多余约束体系几何不变无多余约束体系。如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目少，目少，则该体系

21、是几何可变的。则该体系是几何可变的。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目多，则该体系是数目多，则该体系是几何不变有多余约束的体系。几何不变有多余约束的体系。2.4 2.4 几何组成分析举例几何组成分析举例1 1、几何组成分析定义：、几何组成分析定义：分析杆件体系的几何组成，判断杆件体系是几何不分析杆件体系的几何组成，判断杆件体系是几何不变体系还是几何可变体系。变体系还是几何可变体系。2 2、依据：、依据：几何不变体系的组成规则，即二元体法几何不变体系的组成规则，即二元体法则、两刚片法则、三刚片法则。则、两刚片法则、三刚片法则。3 3、关键在于找刚片

22、：、关键在于找刚片：一根杆（包括直杆、折杆或曲一根杆（包括直杆、折杆或曲杆）、地基、地球或体系中已经肯定为几何不变的杆）、地基、地球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。某个部分都可看作一个平面刚片。= = =例例1: 1: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: :将将 ADC ADC 视为刚片视为刚片I I，BEC BEC 视为刚片视为刚片IIII，DEF DEF 视为刚视为刚片片IIIIII，三刚片通过不共线的三个铰，三刚片通过不共线的三个铰C C、D D、E E相联。故相联。故该体系为几何不变体系该体系为几何不变体系。方法方法1 1：若基础与其他

23、部分用不完全交于一点也不：若基础与其他部分用不完全交于一点也不完全平行的三根链杆与相连，去掉基础，只分析其完全平行的三根链杆与相连，去掉基础，只分析其他部分。他部分。IIIIII例例2: 2: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: : 将将AECAEC视为刚片视为刚片I I，DFBDFB视为刚片视为刚片IIII，地基视为刚片，地基视为刚片IIIIII，三刚片用三个铰（实铰，三刚片用三个铰（实铰A、B，虚铰，虚铰O）相连）相连, ,且三且三铰不共线铰不共线, ,所以所以该体系为几何不变体系该体系为几何不变体系。方法方法2 2：当体系与基础用：当体系与基础用4 4根或根或4

24、4根以上链杆相连时，根以上链杆相连时，需将基础视为一个刚片，利用三刚片法则或其它法需将基础视为一个刚片，利用三刚片法则或其它法则进行几何组成分析。则进行几何组成分析。例例3: 3: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: : 通过在铰接三角形通过在铰接三角形BDEBDE、CFGCFG上不断添加二元体，形上不断添加二元体，形成大的几何不变体系成大的几何不变体系ABMABM、ACNACN，分别记为刚片，分别记为刚片I I、IIII，I I与与IIII通过铰通过铰A A和链杆和链杆MNMN形成形成几何不变体系几何不变体系。方法方法3: 3: 利用二元体规则将小刚片变成大刚片（即利

25、用二元体规则将小刚片变成大刚片（即在在几何不变体系上不断添加二元体几何不变体系上不断添加二元体）。）。例例4: 4: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: : 该体系为该体系为常变体系。常变体系。方法方法4: 4: 去掉二元体去掉二元体。注：去掉二元体是体系的拆除过程，注：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的最外边缘应从体系的最外边缘开始拆除开始拆除。例例5: 5: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。方法方法5: 5: 将只用两个铰与其它部分相连的刚片看成链将只用两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆；即杆；即将复杂形状将复杂形状( (曲线、折线等曲线、折

26、线等) )链杆用直链杆代替。链杆用直链杆代替。将地基视为刚片将地基视为刚片I I，T T形杆件形杆件BCEBCE视为刚片视为刚片IIII，I I与与IIII通过通过三链杆三链杆ABAB、EFEF、CDCD相连，因三链杆交于一点，故相连，因三链杆交于一点，故该体系该体系为瞬变体系为瞬变体系。例例6: 6: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。ABAB杆与基础通过铰杆与基础通过铰A A和链杆和链杆1 1形形成几何不变体系，记为刚片成几何不变体系，记为刚片I IBCBC杆与刚片杆与刚片I I通过铰通过铰B B以及链以及链杆杆2 2形成几何不变体系，记为形成几何不变体系，记为刚片刚片I

27、IIICDCD杆与刚片杆与刚片IIII通过铰通过铰C C以及以及链杆链杆3 3形成几何不变体系。形成几何不变体系。方法方法6: 6: 从某个几何不变部分（如基础、从某个几何不变部分（如基础、一根梁、一个柱、一根梁、一个柱、一个一个铰接三角形等）依次添加。铰接三角形等）依次添加。D D例例7: 7: 对图示体系作几何组成分析。对图示体系作几何组成分析。解解: : 将将ABAB杆视为刚片杆视为刚片I I，在刚片，在刚片I I上分上分别增加二元体别增加二元体CAECAE、DFBDFB，形成大的几，形成大的几何不变体系，此时，何不变体系，此时，C C、D D点是固定不点是固定不动的，因此没必要增加链杆动的，因此没必要增加链杆CDCD来约束来约束C C、D D点的运动。故点的运动。故该体系为该体系为有一个多有一个多余约束的余约束的