导数常用的一些技能和结论

1、导数常用的一些技巧和结论证明调和级数不收敛累乘消项即nx基础练习题3+讨论函数/(的零点的个数4+讨论函数/(X)= 111X45”讨论函数xO.f(xIn 2-in3- -|Unfx + fi 斗生小；的零点的个数/IQ强版lnx0)*2.讨论函数/(j =2x) -a,(x 0)的零点的个数60)的零点的个数-可的零点的个数L关系式为“加”型 O 枸造W)*(x) xf(x)f(x)0 构造讨(刈二灯(x)+/(x) xf(x)+WO 构S xV(x)| = xnf(x)i-lf(x)= xxf(x)if(xj(注意对工的符号逬行讨论2关系式为减”型 /(x)-/(x)O 帕绰二 3： -

2、J = f &)：%)-孑 _ex rw xf (x)-/(x)2 0 构造n)3)0 构造=xy(x)-nx-y(x) _ xf(x)-nf(x)x-1（注意对工的符号逍行讨论6x2InInlnrr 23?IXW a? (oWLrInTsi/Tx (z - )(0 x 1)疋2ln(l + x) x (x 0)（2017年全国新课标1 理彳）已知f xae2xa 2 ex x.（1）讨论f x的单调性；（2 ）若f x有两个零点，求a的取值范围解析：（1） f x 2ae2x a 2 ex 12ex 1 aex 1 若a 0，则f x 0恒成立，所以f x在R上递减；11若 a 0，令 f

3、x 0，得 ex , x In-.aa11当x In 时，f x 0,所以f x在 ，ln上递减；aa11当x In 时，f x 0 ,所以f x在In , 上递增.aa综上，当a 0时,x在R上递减；当a 0时,ln -上递减，在In-, 上递增. aa0,即a0,且f x minfIn丄 a111 一 In0aax11 0,所以g x1 xIn x单调递减.x1 ,-g 110 a1 .aa（2）f x有两个零点，必须满足 f x min构造函数g x 1 x In x， x 0.易得g 11又因为g 10，所以1- In0 gaaF面只要证明当0 a 1时,x有两个零点即可，为此我们先证

4、明当x 0 时，x In x.事实上，构造函数 h xx In x ,易得 h x1，所以 h x 0 ,即 x Inx.当0 a 1时，f 1f In23a 1a2 ca ea e 2331 In 10,aa1,In1 和 In - ,Ina 上各有一个零点aa a其中 1 In1, In -In 1,所以 f x 在a a a故a的取值范围是 0,1注意：取点过程用到了常用放缩技巧。方面：2x aea 2 exx 02x aea 2 ex ex0aex a 3 0x 3 aa3x In 1 ;a另一方面：x 0时，ae2xa 2 ex x 0 x 1 （目测的）常用的放缩公式（考试时需给出

5、证明过程）（放缩成一次函数）In xx 1， In x x， In 1 x（放缩成双撇函数）In x，In xIn x1/x（放缩成二次函数）In x2 xx， In 1 x（放缩成类反比例函数）In x11 -，xIn xxIn 1 x， In 11 xx2xx1 x0，第二组：指数放缩（放缩成一次函数）exx 1x，e xx，e（放缩成类反比例函数）x e1x1 x0，（放缩成二次函数）ex1 x1 2x x2:0第三组：指对放缩ex，1 212小xx1 x 0 ，In 1 xx -x x 0222 x12 x 1x1 ， In x0 x1，x1x 12x小In 1xx 01 xxx1 2

6、1 3，e 1 xxx，26ex- x 0第一组：对数放缩ex In x x 1 x 12第四组：三角函数放缩sinxx Ax2，11 2x22x tanx x 0 ， sinxcosx1 . 2 sin x.2第五组：以直线 y x 1为切线的函数yInx， y e 1， y x x， y 1， y xI nx.x几个经典函数模型ax的零点个数.经典模型一：In x 亠xy或yxIn x讨论函数f x【例1】In x(1)1时,ex maxIn丄a1 0.(2)1时,e1个零点.xmaxIne1 0.(3)1时，2个零点.e(4)【变式】0 （目测）Inea0.其中e.（放缩）0时,1个零点

7、.其中e2e.（用到了In x单调递增（经过换元和等价变形之后均可以转化到例aea2 e0.In xax):1. 讨论f x In x m ： x的零点个数（令 x t， m a ）；212. 讨论f x x mIn x的零点个数（令a ）；m 讨论f x In x mx的零点个数（考虑 g x丄二）；4.讨论fmx的零点个数（考虑 g x Vx f x -x，令t3x23m a)；25.讨论f2 2In x mx的零点个数（令t x,2m6.讨论fax ex的零点个数（令ex t）.经典模型二:【例2】讨论函数ax的零点个数.(1)0时，1个零点.ax单调递增.1e 1所以在丄,0上有一个零

8、点;a(2)0时，无零点.0恒成立;(3)a e时，无零点.f X minIn aIna(4)e时，2个零点.f 2lna 2In a a e 20.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题xe ax):1.讨论f x2x emx的零点个数（令2x t，2.讨论f xmr的零点个数（去分母后与e1等价）；3.讨论f xm-. x的零点个数（移项平方后与 1等价）；4.讨论f xmx2的零点个数（移项开方后换元与1等价）x5. 讨论fxex (5) a 0时，2个零点.mx的零点个数（乘以系数 e,令em a ）；6. 讨论fxn-Xmx的零点个数（令 x et，转化成2）x7. 讨论f

9、xex 1mx m的零点个数（令 x 1 t ,马 a）；e经典模型三：yxln x或 yx xe【例】讨论函数 fx In x-的零点个数.x(1) a 0 时，1个零点.f x0， f xxIn x a单调递增.xf 1a 0， f 1 a In 1 aa ,1a1 -01 a 1 a 1 a(2) a 0时，1 个零点(X。1).1(3) a 一时，无零点.ex af x , f x f a In a 1 0x1(4) a时，1个零点e1 1 1 x0. f x . fIn 1 00minee ea2 lna2 1a 丄 1aa a1 ea 0， f 1 a 0，【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题x In1.讨论f xaln x的零点个数;2.讨论f x ln x的零点个数（考虑 gx-，令、xt）；3.讨论f2的零点个数（令ex t）；e4.讨论fa的零点个数；x找点问题中的常见函数模型之间的关系v-xe同理.可以转化威X的其他任意次将，剩卜的四伞函数亦然！