求数列通项公式的6种方法

1、求数列通项公式的十一种方法方法全，例子全，归纳细总述：一利用递推关系式求数列通项的 7 种方法：累加法、累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和求通项定义法 根据各班情况适当讲二。根本数列：等差数列、等比数列。 等差数列、等比数列的求通项公式的方法是： 累加和累乘， 这二种方法是求数列通项公式的 最根本方法。三 求数列通项的方法的根本思路是： 把所求数列通过变形， 代换转化为等差数列或 等比数列。四求数列通项的根本方法是： 累加法 和累乘法。五.数列的本质是一个函数，其定义域 是自然数集的一个函数。一、累加法1 .适用于：ani a f(n)这是广义的等差数列累加法是最根本的二个方法之一。例

2、1数列an满足ani an 2n 1,色1 ,求数列a的通项公式。解:由 an1 an2n1 彳得 an 1an 2n 1 贝an(anan 1)(an1an 2) L(a3 a2)(a2a1)a12( n 1) 1 2(n 2) 1 L (2 2 1)(2 11) 12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 12(n 1)n (n 1) 12(n 1)(n 1) 12n所以数列an的通项公式为ann2 o例2 数列an满足am an 2 3n 1, a, 3，求数列 an的通项公式。解法一：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1 a* 2 3n 1 那么n 1(2 31)(2

3、3n2 1) Ln 12(33n 2L3231) (n3(13n1)2(n1) 313n33n1321(2 31) (2 31) 31) 3所以 an3nn 1.解法二an1 3an 2 3n 1 两边除以 3n 1，anaQnan-3nan 3)3n 3)LI)21、21、 2(2R(2 (32(n1)(11 13(3n3n 3n 131an 1an 1an 1an 1an 23n 213n13n 22)L因此32(n 1)3討 3n1)1 312 3n那么an3n3n练习1.数列3n的首项为1 ,且an 1 an 2n(n N*)写出数列%的通项公式答案:n2 n 1练习2.数列an满足a

4、1 3，1an an1 (n 2)求此数列的通项公式.答案：裂项求和评注：ai a,3- a- f(n),其中f(n)可以是 关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分 式函数，求通项an. 假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可 转化为等差数列求和； 假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可 分组求和； 假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可 转化为等比数列求和； 假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可 裂项求和。1、累乘法1适用于：ani f(n)an 这是广义的等比数列累乘法是最根本的二个方法之二。2 .假设名 f(n)，贝9 亚耐),更 f(2) ,LL,名 f(n) an?印a2

5、an两边分别相乘得,naif (k)k 1例4.设an是首项为1的正项数列，且2 2n 1 an 1 nan an ian 0(0=1,2,3,),那么它的通项公式是an解：等式可化为:(an 1 an) (n 1归.i na.0anN)(n+1)an1nanan 1即葛n 2时,an n 1 an 1 na1an 1 an 2a1a n an 1评注：此题是关于an和an 1的二次齐次式， 可以通过因式分解(一般情况时用求根公式) 得到与am的更为明显的关系式，从而求出an.练习.(n 1)an 1 nan 1,求数列0的通项公 式.二、待定系数法适用于an1 qan f(n)根本思路是转化

6、为等差数列或等比数列， 而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数 集的一个函数。1 形如cand,(c 0 其中 a1例6数列an中，a1 1,an 2a. 1 1(n 2)，求数列a.的 通项公式。解法一:Q an 2an 11(n 2),an 12(an 11)又Qa 1 2, an 1是首项为 2,公比为 2 的等比数列an 1 2n，即 an 2n 1解法二：Qan 2an 1 1(n 2),2 an1两式相减得an 1 an 2(an an 1)(n 2)，故数列 am a是首项为2,公比为2的等比数 列，再用累加法的an练习.数列a中,2,an 112求通项答案：an(1)n1 1

7、(其中q是常数,qn，累加即可.nq2 .形如： 且 n 0,1) 假设p=1时，即: 假设p 1时，即：求通项方法有以下三种方向：i.两边同除 以pn1 .目的是把所求数列构造成等差数列即:ann1an1(E) 人bnab1b1(P)pqp q 令 p，贝p q然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以qn1 .目的是把所求数列构 造成等差数列。即:a 1 p a 1 1 qq q q5b 也b b 1令n qn,那么可化为n1 q n q.然后转化为类 型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设ani qn1 pan P.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应

8、用待定系数法时，要求p q，否那么待定系数法会失效。例7数列an满足an1 2a 4 3n二a, 1，求数 列a的通项公式。解法一待定系数法：设a1 13 2a31，比较系数得1 4, 2 2，那么数列a 43n1是首项为a1 4311 5，公比为2 的等比数列，所以an小 52n，即an 43 解法二两边同除以qn1：5 2n 1两边同时除以3n1 得:an 12 an尹 3 34于，下面解法略解法三两边同除以pn1：两边同时除以2n 1得:an 1ann 1n2 24 ,3、n3 2，下面解法略*3 形女口 an 1 pan kn b 数，且k 0例8在数列a“中, 逐项相减法解：，an

9、1 3an 门 2 时，an 3an 两式相减得bn 3bn 121,a2n,2(n1)an 1an3(anan 1 a利用类型5 3n 11再由累加法可得an - 3n 1 n2解出其中k,b是常3an 2门，求通项an.2.令b的方法知* 53-3n12亦可联立分析：原递推式可化为an 2 ani (p )(ani an)的形 式，比较系数可求得，数列an1 %为等比数 列。例11数列an满足an2 5an1 6an,a1 1,a2 2，求数列an的通项公式。解：设an 2an 1(5)(an 1an)比较系数得3或2，不妨取 2，(取-3结果形式可能不同，但本质相同) 贝U a 2 2a

10、n1 3(an1 2an)，那么a 2a是首项为4，公比为 3的等比数列an1 2an 4 3n1， 所以 K 4 3n 1 5 2n 1练习.数列an中，假设a1 8,a2 2,且满足a2 4an1 3a 0, 求an.答案： 11 3.四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16 数列a满足an1斗1 1，求数列an an 2的通项公式。解：求倒数得丄1丄，丄丄,丄丄为等差数an 1 2 an an 1 an 2 an 1 an列，首项丄1,公差为1,Q2丄如1),anqan2n 1五、由和求通项数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足S 3n2 2n,ai 2求数列a的通项公式。例19 数列an的各项均为正数，且前 n 项和Sn满足Sn 2(a 1)(0, 2)，且a2,a9成等比数列，求 数列an的通项公式。解：对任意 n N 有 Sn (a 1)(an 2)当 n=1 时， Si a1 (ai 1)(a1 2)， 解得 a1 1 或 a1 2当 n 2 时，Sn1 1(an1 1)(an 1 2)(2)6-整理得:(an ang an 1 3) 0an各项均为正数， an a1 3当a 1时，an 3n 2