2021年高中数学必修第一册5.5.2《简单的三角恒等变换》导学案（含答案）

1、第五章 三角函数5.5.2 简单的三角恒等变换1能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用2了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用重点：能用二倍角公式导出半角公式及进行简单的应用难点：能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用1 你能填写出下面我们学习了的公式吗？ ； ； 。 提出问题学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更

2、加丰富 例试以cos表示 sin22, cos22, tan22例求证：（1）sincos=12sin+sin, (2) sin+cos=2sin+2cos2. 例的证明用到了换元的方法如把+看作，看作，从而把包含,的三角函数式转化为，的三角函数式或者，把sincos看作x，cossin看作y，把等式看作x， y的方程，则原问题转化为解方程（组）求x它们都体现了化归思想例 求下列函数的周期，最大值和最小值：（） y=sinx+3cosx；（） y=3sinx+4cosx例10如图5.5-2，已知OPQ是半径为，圆心角为2的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP，求当角 取何

3、值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积1若cos ，(0，)，则cos 的值为()AB C D2已知cos ，则sin 等于()A B C D3已知sin cos ，则sin 2的值等于()A B C D4函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_5求证：4sin cos22sin sin 2.6、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？1知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具

4、体体现. 如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题2思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式化成的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力. 通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识来源:学参考答案：一、 知识梳理二、 学习过程例解：是2的二倍角在倍角公式cos2=12sin2中，以代替2，以2代替，得cos=12sin22,所以sin22=1cos2, 在倍角公式cos2=2cos2-1中，以代替2，以2代替，得cos=2cos22-1,所以cos22=

5、1+cos2, 将两个等式的左右两边分别相除，得tan22=1cos1+cos.例证明：（）因为sin+= sincos+ cossin,sin= sincoscossin,将以上两式的左右两边分别相加，得sin+sin= 2sincos即sincos=12sin+sin（2）由（1）可得sin+sin= 2sincos设=+2，=2.把，代入，即得sin+cos=2sin+2cos2例 分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y=Asin(x+),利用和角公式将其展开，可化为） y=asinx+bcosx的形式反之，利用和（差）角公式，可将 y=asinx+bcosx转化为y=Asin

6、(x+) 的形式，进而就可以求得其周期和最值了解：（1）y=sinx+3cosx= 2（12sinx+32cosx）=2（sinxcos3+cosxsin3）=2sinx+3因此，所求周期为2，最大值为，最小值为你能说说这一步变形的理由吗？（）设y=3sinx+4cosx=Asinx+ , 则3sinx+4cosx=Asinxcos+Acosxsin于是Acos=3Asin=4于是A2cos2+A2sin2=25所以A2=25.取A，则cos=35, sin=45由y=5sinx+可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为5例10分析:要求当角a取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行

7、.找出S与a之间的函数关系;由得出的函数关系,求S的最大值.解：在中,.在中,所以, ,所以, .设矩形的面积为,则.对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围: 由 , 得 .所以当 , 即时, 因此,当时, 矩形的面积最大,最大面积为.注：（1）在求解最大值时，要特别注意 “”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.三、达标检测1【解析】由题意知，cos 0，cos .【答案】C2【解析】由题知，sin 0，sin .【答案】A3【解析】由sin cos ，(sin cos )212sin cos 1sin 2，所以sin 2.【答案】C4【解析】ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin，函数的最小正周期T.【答案】5【证明】法一：左边2sin 2cos22sin (1cos )2sin 2sin cos 2sin sin 2右边，所以原式成立法二：右边2sin 2sin cos 2sin (1cos )2sin 2cos2 4sin cos2左边