D117傅立叶级数PPT学习教案

1、会计学1D117傅立叶级数傅立叶级数xxnkxnkd)cos()cos(21,1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0coskxcosnx )(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证同理可证 :),2, 1(n1cos(kn)xcos(kn)x2上在,正交正交 ,上的积分等于上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共34页上的积分不等于上的积分不等于 0 .,2d11x

2、xxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共34页定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnb

3、xxnaxadxxf0a,对在对在逐项积分逐项积分, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共34页xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k( (利用正交性利用正交性) ),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地类似地, 用用 sin k x 乘乘 式两边式两边, 再逐项积分可得再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共34页叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为的的傅傅里里叶系数叶系数 ;10s

4、incos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式由公式 确定的确定的nnba ,以以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅的傅里里的的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数称为函数)(xf 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共34页设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点点;2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x

5、) 的的傅傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点为间断点其中其中nnba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点注意注意: 函数展成函数展成傅傅里里叶级数的叶级数的条件比展成幂条件比展成幂级数的条件低级数的条件低得多得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共34页设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶系数xnxxfandcos)

6、(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. oyx11机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共34页xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin311sin(2n1)x2n1),2,0,(xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共34页),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时时, ,级数收敛于级数收

7、敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共34页xoy上的表达式为上的表达式为),xxxxf0,00,)(将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8、 第10页/共34页), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当当) 12(kx时时, 级数收敛于级数收敛于22)(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共34页, )(xxf周期延拓周期延拓)(xF傅傅里里叶展开叶展开,)(在xf上的傅上的傅里里叶级数叶级数), , )(xxf, )2(k

9、xf其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共34页xxxxxf0, 0,)(级数级数 .oyx则则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶2 为为周期周期的函数的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共34页x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2)12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5co

10、s512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得2222) 12(1513118n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共34页42,421312224设设,413121122222217151311,6141212222已知已知82122234131211又21213624822212248222机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共34页1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为对周期为 2 的的奇奇函数函数 f (x) , 其傅里

11、叶其傅里叶级数级数为为周期为周期为2 的的偶偶函数函数 f (x) , 其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级数余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为正弦级数正弦级数, 它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共34页的的表达式为表达式为 f (x)x , 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级叶级数数.是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在上),)(xf解解: 若不计若不计),2, 1,0()

12、 12(kkx是则)(xf周期为周期为 2 的奇函数的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共34页n1根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和级数的部分和 n2n3n4上在),逼近逼近 f (x) 的情况见右图的情况见右图.n5机动 目录 上页 下页 返

13、回 结束 第18页/共34页tEtusin)(展成傅里叶级数展成傅里叶级数, 其其中中E 为正常数为正常数 .解解:)(tu2yxo2;),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为是周期为2 的的周期偶函数周期偶函数 , 因此因此0d)(2ttu机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共34页t 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6

14、cos351E2E4xkkEk2cos141412机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共34页,0),(xxf)(xF周期延拓周期延拓 F (x)F(x) f (x) 在在 0 , 上展上展成成周期延拓周期延拓 F (x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延偶延拓拓xoy正弦级数正弦级数 f (x) 在在 0 , 上展成上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxff(x), x(0,f( x), x(, 0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共34页1xyo)0(1)(xxxf分别展成正弦分别展成正弦级级数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数

15、先求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knn2k),2, 1(k,1222k机动 目录 上页 下页 返回 结束 1,k第22页/共34页nb12,1222knk1,n2kk),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 ,与给定函数与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1xyo因此得因此得 f (x) = x + 1

16、 的值不同的值不同 . 第23页/共34页x1y将将)(xf则有则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knk0 ,n2k),2, 1(k作偶周期延拓作偶周期延拓 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共34页121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令令 x = 0 可得可得8513112228) 12(1212nk即即41212) 12(14kkxk) 12cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 1yox第25页/共34页1. 周期为周

17、期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理的函数的傅里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若若0 x为间断点间断点,则级数收敛于则级数收敛于2)()(00 xfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共34页2. 周期为周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级的奇、偶函数的傅里叶级数数 奇函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数余弦级数余弦级数3. 在在 0 , 上函数的傅里叶展开法上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓作奇周期延拓 , 展

18、开为正弦级数展开为正弦级数 作偶周期延拓作偶周期延拓 , 展开为余弦级数展开为余弦级数1. 在在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一不唯一 , 延拓方式不同级数就不同延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共34页处收敛于处收敛于)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅则它的傅里里叶级数在叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,xyo11第28页/共34页)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案答案:定理3 目录 上页 下页 返回 结束 xyo11)(xf第29页/共34页2)(xxxf函数)(x叶级数展式为叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系则其中系. 3b数提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx0