微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面

1、2021-9-27 常高斯曲率的曲面1.1.常高斯曲率的曲面；常高斯曲率的曲面；2.2.伪球面；伪球面；3. 3. 罗氏几何罗氏几何. .,率率对应点有相同的高斯曲对应点有相同的高斯曲等距等价的两个曲面在等距等价的两个曲面在相相同同的的高高斯斯曲曲率率，即即两两个个曲曲面面在在对对应应点点有有.但反之不然但反之不然.但它们不一定等距等价但它们不一定等距等价ln,sin,cos:uvuvurS 例例如如曲曲面面,sin,cos:vvuvurS 曲曲面面,KK曲曲率率在在对对应应点点有有相相同同的的高高斯斯.但它们不等距等价但它们不等距等价.相相同同它它们们的的第第一一基基本本形形式式不不.),(

2、是常数，情况就不同了是常数，情况就不同了但是，如果但是，如果vuK问题的提出问题的提出7.1 常高斯曲率的曲面常高斯曲率的曲面, 0:)(),(: uvCvurrS曲线曲线为为上的一条测地线上的一条测地线取曲面取曲面,)(曲曲线线正正交交的的测测地地线线族族为为另另取取与与 uC.得得一一半半测测地地坐坐标标网网测地线测地线)(C在此半测地坐标网下，在此半测地坐标网下，简简化化为为曲曲面面的的第第一一基基本本形形式式可可22),(dvvuGduI 满足条件满足条件其中其中),(vuG. 0), 0(, 1), 0( vGvGu由上节可知：由上节可知：为为：此此时时，曲曲面面的的高高斯斯曲曲率率

3、 vvuuGEEGEGK1 vvuuGEEGEGK1 uuGG1 221uGG 常数，常数，的高斯曲率的高斯曲率现设曲面现设曲面 KS方程：方程：则得二阶常系数偏微分则得二阶常系数偏微分022 GKuG)( . 0), 0(, 1), 0( vGvGu根根据据初初始始条条件件：.个偏微分方程的解个偏微分方程的解按以下三种情形求出这按以下三种情形求出这)0().1( K正正常常数数高高斯斯曲曲率率的的曲曲面面的的通通解解，为为偏偏微微分分方方程程设设)(),( vuG为常微分方程：为常微分方程：为常数为常数则则)(,(00vvu 022 Kwduwd.的通解的通解)(的特征方程为：的特征方程为：

4、齐次微分方程齐次微分方程)(02 Kr特征根为：特征根为：iKr 的通解为：的通解为：齐次微分方程齐次微分方程)()sin()cos(),(0uKBuKAvu ，依依赖赖于于其其中中常常数数0,vBA的通解为：的通解为：偏微分方程偏微分方程)( )sin()()cos()(uKvBuKvAG 得得：由由初初始始条条件件：0), 0(, 1), 0( vGvGu)sin()()cos()(uKvBuKvAG . 0)(, 1)( vBvA曲面的第一基本形式为曲面的第一基本形式为222)(cosdvuKduI 0).2( K高高斯斯曲曲率率的通解为：的通解为：偏微分方程偏微分方程)( uvBvAG

5、)()( 得得：由由初初始始条条件件：0), 0(, 1), 0( vGvGu. 0)(, 1)( vBvA曲面的第一基本形式为曲面的第一基本形式为22dvduI )0().3( K负负常常数数高高斯斯曲曲率率的的曲曲面面的特征方程为：的特征方程为：齐次微分方程齐次微分方程)(02 Kr特征根为：特征根为：Kr 2, 1为为：的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解齐齐次次微微分分方方程程)( uKuKee 和和2uKuKeeuKch 2uKuKeeuKsh 和和.)(的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解也是齐次微分方程也是齐次微分方程 的通解为：的通解为：齐次微分方程齐次微分方程)()(

6、)(),(0uKBshuKAchvu ，依依赖赖于于其其中中常常数数0,vBA的通解为：的通解为：偏微分方程偏微分方程)( )()()()(uKshvBuKchvAG 得得：由由初初始始条条件件：0), 0(, 1), 0( vGvGu. 0)(, 1)( vBvA曲面的第一基本形式为曲面的第一基本形式为222)(dvuKchduI 出出：由由以以上上三三种种情情形形可可以以看看.完全决定完全决定常数常数曲面的第一基本形式由曲面的第一基本形式由K于是有：于是有：定理定理.的的曲曲面面总总是是等等距距等等价价的的具具有有相相同同常常高高斯斯曲曲率率K注注.这种等价也是局部的这种等价也是局部的.

7、1例例.12等距等价等距等价的球面的球面的曲面可以和半径为的曲面可以和半径为高斯曲率恒等于高斯曲率恒等于aa事事实实上上，的的球球面面方方程程为为：以以原原点点为为圆圆心心，半半径径为为a uazvuayvuaxsinsincoscoscos：球球面面的的第第一一基基本本形形式式为为22222cos udvaduaI ,avvauu 作作参参数数变变换换：则则有有：222cosvdauudI 为：为：的曲面的第一基本形式的曲面的第一基本形式而具有正常数高斯曲率而具有正常数高斯曲率21a222)(cosdvuKduI 222cosdvaudu .它们等距等价它们等距等价. 2例例由刚才的讨论可知

8、，由刚才的讨论可知，)(可展曲面可展曲面面面高斯曲率恒等于零的曲高斯曲率恒等于零的曲相同，相同，的第一基本形式与平面的第一基本形式与平面.可可与与平平面面等等距距等等价价问题：问题：什么曲面等距等价呢？什么曲面等距等价呢？负常高斯曲率的曲面与负常高斯曲率的曲面与7.2 伪球面伪球面定义定义.曲面统称为伪球率曲面曲面统称为伪球率曲面高斯曲率等于负常数的高斯曲率等于负常数的定义定义)(曳物线曳物线，定定长长轴轴之之间间的的线线段段始始终终保保持持和和切切点点上上任任意意一一点点的的切切线线介介于于如如果果曲曲线线azC)(.称称此此曲曲线线为为曳曳物物线线.轴轴称称为为曳曳物物线线的的渐渐近近线线

9、z)(如如图图oxzPQa曳曳物物线线方方程程设设曳曳物物线线的的参参数数方方程程为为 )()(tzztxxoxzPQa),(zxP是是曲曲线线上上任任意意一一点点，),(zxP,dtdzdtdx，曲曲线线在在该该点点的的切切向向量量为为为为：曲曲线线在在该该点点的的切切线线方方程程, dtdzzZdtdxxX 切切线线上上点点的的坐坐标标为为：),(dtdzzdtdxx 在在轴轴上上，如如果果该该点点z, 0 dtdxx 则则,dtdxx 从从而而的的坐坐标标为为：轴轴交交点点切切线线与与Qz dtdxdtdzxz,0oxzPQa),(zxP，又又aPQ 2222adtdxdtdzxx dx

10、xxadz22 由此解得：由此解得：，则则若若令令taxsin tdtatatadzcossincos dtttasinsin12 dttta)sinsin1( )cos2tan(lnttaz 程程为为：轴轴为为渐渐近近线线的的曳曳物物线线方方面面上上以以 zxoz )cos2tan(lnsinttaztax定义定义.称称为为伪伪球球面面轴轴旋旋转转所所得得的的旋旋转转曲曲面面上上述述曳曳物物线线绕绕 z伪球面的参数方程伪球面的参数方程 )cos2tan(lnsinsincossinttaztaytax 伪球面的第一基本形式和高斯曲率伪球面的第一基本形式和高斯曲率2222dzdydxdsI 2)sinsincoscos( dtadtta 2)cossinsincos( dtadtta 22)sinsin1(tdta 222222222222)sin2sin(sincosdttaatatdatdta 222222sincot tdatdta o