几类积分的运算及其关系本科毕业论文

1、安徽理工大学毕业论文本科毕业论文几类积分的运算及其关系 SEVERAL TYPES OF INTEGRAL OPERATORS AND THEIR RELATIONSHIP学院（部）： 理学院 专业班级： 数学与应用数学10-1学生姓名： 戴永红 指导教师： 周小红讲师 2014年 5 月 30 日几类积分计算及其关系 摘要本文首先通过积分的概念和性质举出了一些常见的积分。随后对列举出的每一种积分都给出了它们的一些概念、公式以及计算方法。接着讨论了每一种积分相互之间的关系，其中包括了不定积分和定积分两者之间的关系，曲面积分与二重积分两者之间的关系，曲面积分与三重积分之间的关系，以及曲面积分与曲

2、线积分两者之间的关系。随后对本文所述的所有积分进行了对比和总结。关键词：定积分，不定积分，面积分，线积分，重积分，计算方法，关系ON THE CITY FESTIVALS MARKETING STRATEGYABSTRACTFirstly, through the introduction of the concept and nature of the integration of several common points. Subsequently points are given for each of its concepts, formulas and calculations i

3、n this area. Followed by a discussion of the relationship between various types of integration with each other, including the relationship between the indefinite integral and definite integral between the relationship between surface integrals and double integrals, between the surface and triple int

4、egrals, and surface integrals and the relationship between the curve pointsKEYWORDS：definite integral, indefinite integral, the area of re-integration, calculation method, the relationshipII目录摘要IABSTRACTII绪论11. 概念与性质1 1.1.不定积分1 1.2.定积分2 1.3.二重积分3 1.4.三重积分4 1.5.曲线积分5 1.6.曲面积分62. 积分的计算7 2.1.定积分的计算7 2.

5、2.二重积分的计算7 2.3.三重积分9 2.4.第一型曲线积分12 2.5.第二类曲线积分12 2.6.第一型曲面积分的计算12 2.7.第二型曲面积分的计算133. 几类积分之间的关系14 3.1.定积分和线积分以及二重积分和面积分之间的联系14 3.2.二重积分与线积分15 3.3.面积分与三重积分17 3.4.曲线积分与曲面几分19结论22参考文献23谢辞24I安徽理工大学毕业论文绪论古代欧洲就有许多的方面的记录显示着积分学的应用。古希腊的数学家们在对于如何解决抛物弓形的面积，球的面积，螺线下面积以及螺旋双曲面的体积等在生活中的一些常见的问题中，就有着现代积分学思想的体现。其中阿基米德

6、以球体薄片的叠加以及外切圆柱相关的圆锥薄片叠加，然后经过计算得出了球得体积公式。在我国三国时期，著名的数学家刘徽在面对解决面积和体积问题的时候，是用出入相补以及以盈补虚的方法。而到了公元五世纪左右，我国的以为数学家祖冲之则提出了许多的解决类似问题的方法，并得以应用，以上的这些都有积分思想的体现，甚至可以说是积分概念的雏形。直到十七世纪以后，积分的发展才迅速起来，在欧洲随后也迎来了它发展的黄金时期。随着牛顿的流数简论一书的发布，积分的就被众多的人注意并研究，从而也标志着微积分的诞生，此外，莱布尼茨对积分的发展也同样做出了巨大的贡献。随着时间的推移，积分的发展越来越快，随着柯西的在自己的研究中给出

7、了积分的定义，从此之后，积分就作为一个正式的独立的个体，从而它也就在微分中分离了出来。1. 概念与性质1.1.不定积分、定义：设函数与F在区间I上都是有定义。如果，那么称为在区间I上的一个原函数。函数在区间I上的全体原函数称为在I上的不定积分，记作。 上式中的表示的是积分号，表示的是为被积函数，表示的是被积表达式，表示的是积分变量。、基本公式： 、基本结论： 1.2.定积分、定义：如果是在区间上的一个有界函数，且在区间上随意的插入若干分点（此次插入个） 把区间来进行划分，并记为。在每一个所分割划分的区间上随意的任取一点，随后作和，那么就有： 其中，记为的最大数，也就是：那么只要当时，如果的极限

8、是存在的，而且这个极限对于在区间上的怎样的划分以及对于在小区间上怎样取点的都没有任何关系时，那么就称这个极限是在区间上的定积分。记为： 上式中称为被积函数；称为被积表达式；x叫做积分变量； 叫做积分区间；a为积分下限； b为积分上限；、推论：如果在区间上是有可积函数，那么在区间上的函数一定是有界的。、性质: 如果函数它是区间上的一个可积函数，而且是一个实数，那么函数它在区间上也是一个可积函数，并且有：如果函数与函数在区间上都是可积的函数，那么函数在区间同样是可积的，并且有：如果函数与函数在区间上都是可积的函数，那么则有函数在区间上同样是可积的。如果函数在区间上是一个可积的函数，那么则有函数在区

9、间上也同样是可积的。如果有，而且函数在区间上都是可积的函数，那么函数在区间上也同样是可积，而且有：如果可积函数，那么则有如果函数是在区间上的可积函数，那么有如果函数，在区间上都是连续的，而且在区间上不变号，那么在区间中至少有一点，使得：如果函数是在区间上的可积函数，作，那么同样的函数是在区间上的连续函数。1.3.二重积分如果函数在封闭的区域D中是有界的 ，我们可以把有界的封闭区域D划分分割成为n个任意的小区域： 上面的不仅仅表示第i个小区域, 而且也表示第i个小区域的面积,则为其本身的直径。那么就有：作乘积则有： 作和则有： 如果 的极限是存在的,那么我们就把这个极限值称为是函数在有界区域D上

10、的二重积分,记作 。即 ： 上式中 为被积函数,为被积表达式,为面积元素,x,y为积分变量,D为积分区域,为积分和式。1.4.三重积分如果函数在空间闭区域是有定义的且在有界,我们把有界区域划分为n个任意的小区域：上面的不仅仅表示第i个小区域,而且也表示它所在的小区域的体积。随后我们在每个被分割小区域上随意的任取一点,作乘积则有 ：作和得： 设为这n个小区域中最大的直径。,如果 的极限是存在的,那么这个极限值被称为函数在有界空间区域上的三重积分,记作： ,即： 上式中叫作体积元素。1.5.曲线积分第一型曲线积分设L为xoy平面上的一条可求长度的光滑曲线弧,为定义在L上有界函数,分割曲线L，在光滑

11、曲线弧L内任意地插入n+1个点, 那么就把L划分为n个可求长度的小弧段,那么我们可以设第i个小弧段弧长度为是在弧上任意取的一点,记作为： ，作和则有： ，如果 的极限是存在的，那么这个极限值就称为函数在可求长度光滑曲线弧L上的第一型曲线积分,记作。即： 其中为被积函数， L为积分弧段。第二型曲线积分如果L是一条光滑的或着是逐段光滑的曲线，而且是在上的连续有界函数，然后用分点沿着一确定方向把光滑曲线从起点开始划分，划分成个有向弧段，设。然后在每一个有向弧段上任意的取一点，作和则有：那么可知为起点，为终点。我们设，此时的表示为有向线段的长度。如果当时，和的极限为，而且极限与的怎样划分都没有关系，与

12、点的如何选择也无任何关系，那么就称是沿光滑曲线按一确定方向上的第二型曲线积分，记为：1.6.曲面积分第一型曲面积分设是光滑的曲面，是在上的有界函数，用任意的曲线对进行分割，将划分割成n个小曲面，也表示为第 i个小块曲面的面积 ，在上任意取定一点，作和得： 我们设是上面所有被分割划分的小块曲面中直径最大的， 如果当时，所取的极限值是存在的，那么就说这个极限值是函数在上的曲面积分，并记作:，即：第二型曲面积分我们设是无重点的光滑曲面的方程，并且区域是由光滑曲面在平面上的投影为边界且由逐段光滑曲线而围成的，当我们选定曲面的一侧，那么我们也能确定它的定向。现在我们可以将有向曲面以任意的方法划分为小块。

13、然后设是在坐标轴平面上的投影，那么可以在区域得到一个相应分割。若是选的上侧，那么此时所有都是正的，若选的是下侧，那么此时所有的都算是负的。我们设是定义在光滑曲面上的有界函数，且在上任意的取一点，作和则有：上式中表示的面积。由上面可知，是有符号的，其符号的正负是由所选曲面的侧面来确定的。令为的直径，则：。如果当时，存在极限且极限是，极限是与曲面的如何划分的没有任何关系的，而且也与点的如何选择没有任何的关系，那么就称是沿光滑曲面选定的一侧上的第二型曲面积分，记为： 我们也可以将投影到平面或者投影到平面上，然后可以得到两个类似的第二型曲面积分： 或 2. 积分的计算2.1.定积分的计算基本公式如果是

14、在区间上的连续函数，且是的原函数，即=，那么则有：定积分的换元公式设是在上的连续函数，令。其中，是在闭区间上的导数，当，则有：定积分的分部积分公式如果，在区间上均是连续的，则有：2.2.二重积分的计算化二重积分为二次积分如果函数是在区域上的可积函数，而且对任意的在区间上的，均有： 那么则有： 简单区域：区域的边界线和与轴或者轴相平行的直线相交最多有两个交点，亦或者是区域的一些边界线是与轴或者轴平行的直线段。由此可见，函数在区域上连续时，则有： 极坐标计算二重积分将区域表示为：，则： 我们可以设方程为：化成二次积分后则有： 如果是处于积分区域内时，那么积分限为： 如果的边界曲线经过极点时，那么此

15、时积分限应为： 二重积分的变量替换设函数设区域在平面上且在区域内对和对都连续偏导，随着点在区域上变动时，对应的在平面上的点也在区域内变动。我们设函数让之间建立了相互对应的关系，并且在区域上，则有: 其定理为：如果函数在平面上的内是连续的，我们可以设 是在区域上对和对都连续偏导，由可以把变换为，并且的变换都是一一对应的，又设则有:2.3.三重积分当积分区域是长方体时如果区域长方体上是可积的，且对任意的在上的含多变量积分都存在，那么则有:上等式右边的逐次积分可简记为：然后我们可以使用逐次积分的计算公式，按照上述这种计算方式，我们就可以将三重积转化分为首先计算一个二重积分，然后再计算一个定积分来进行

16、计算：当积分区域为一般区域时假设空间区域为一可求体积，且空间的边界曲面与任意的平行于坐标轴的直线最多相交两点。为定义在空间区域上的连续函数。可以考虑将三重积分化分成逐次积分。如果空间区域的曲线方程为和，空间区域在上的投影为，那么则有：如果在平面上的区域是由和两个曲线所围成的，那么我们可以依照二重积分转化为定积分的计算方法得：=其实积分区域是由这几个不等式来确定的。我们也可以试着把积分区域投影到其他的平面（或平面），也可以得到上面类似的公式。三重积分的换元其实三重积分的变量替换与二重积分的换元是差不多的，我们可以设变换：且 我们设上式中的函数在区域和区域上使得点与点之间建立了一一对应关系，且这些

17、函数在区域和区域上都连续偏导数。那么此时其逆变换为：因此利用三重积分的还原法则可以得：其体积元素为：当在区域上的某条曲线，或者某些点上或者某块曲面上等于零时，而在其余的点为非零食时，换元法仍然是成立的。在下面是介绍的一些我们经常使用的的替换公式：柱面坐标的变换我们假设空间上有一点在空间系坐标中的平面上有投影，且投影为，如果经过的极坐标是，那么我们就称是的柱面坐标，其中，是平面与平面的交角，是点到轴的距离，由上所述我们可知它所在的空间中三个坐标面为：，即经过轴的半平面，为其与平面的夹角；，也就是以柱面坐标系中的轴为轴的圆柱面，其半径为；，即垂直于轴的平面。那么则有：，此时，那么在柱面坐标系下，其

18、体积元素为。因此在变换柱面坐标时有:上面就是所述积分的柱面坐标的变量公式。然后我们可以通过上文所述的逐次积分的方法来对三重积分进行计算。我们通常是将区域投影在的平面上，在上的投影，可以将三重积分化为： 球面坐标的变换我们假设空间上的点在平面上的投影为，为有向线段与空间坐标抽轴正向之间的夹角，是平面与平面之间的夹角，那么就是点的球面坐标由上所述我们可以知道它的三个坐标面分别为：，就是球心是原点的球面；，就是顶点是原点，中心轴是轴的圆锥面； ，是经过轴的半平面。我们设点在上的垂直投影是P，且设那么可知的极坐标为，又在这个三角形中，有，。由此我们就可知点的直角坐标和其球面坐标两者之间的关系为：，其中

19、，经过变换为：在球面坐标中，其体积元素为：那么我们可以得到：上文的所述的就是它的计算方法和计算公式2.4.第一型曲线积分我们先假设函数是在光滑曲线上有定义且连续的，则光滑曲线的方程为： 然后我们可以使用求解弧长的计算公式，将第一型线积分变换成定积分的形式来进行计算：还有就是，假如是光滑的曲线，而且它的方程表达式是：，那么则有：2.5.第二类曲线积分我们可以试着利用线积分和定积分之间的转换，然后再进行计算：我们首先可以设光滑曲线的方程为： 然后设当从增加到时，从点沿着方向上移动到点且所有的曲线自己不相交，那么将曲线积分转化为定积分的公式为：我们设空间曲线的方程表达式为 ，而且当从到单调递增时，且

20、从点连续的移动到点，如果有在上是连续的，且在上也是连续的，那么就有：2.6.第一型曲面积分的计算我可以先利用曲面的面积的表达式然后再把第一型曲面积分变换成为二重积分，则有：当用参数的形式来表示曲面的方程：，如果曲面是没有重点，也就是说曲面上的点和上的点都是一一对应的关系，与此同时函数都是在上的对和都连续偏导的函数，而且它的矩阵在上的秩是，则有：这里 2.7.第二型曲面积分的计算我们可以利用显示方程来表示这个光滑曲面，那么可知点是在坐标平面上的投影区域。然后设积分是在曲面的上侧取的，那么投影在平面上的面积都是正的。又点是在上，那么则有，于是：那么则可以将化成二重积分的积分和。如果在平面上的投影是

21、，而且的最大的直径是，那么当时，也是趋近于零的，从而就有：这就是我们将延着曲面上的积分变换成为曲面在坐标内所在的上的投影所在的区域的二重积分。这个二重积分所在区域内的被积函数是由函数中的替换成曲面方程而得到的。当我们用曲面的下侧是，则曲面的积分就会变号，则有:-那么同理有：上面的两个公式中，等式右面的正负号的选定和上面所说的都是一样。我们同样设曲面的参数方程为，那么我们也可以把第二型面积分变换成二重类型积分来进行计算。因为我们将以上两个公式代入到曲面积分的公式里，则有：上式中的是平面中能够可以变化的区域。3. 几类积分之间的关系3.1.定积分和线积分以及二重积分和面积分之间的联系由上面的计算方

22、式中我们可知第一型线积分和第二型线积分都可以转化为定积分来计算，但是第一型线积分和第二型线积分之间是有着明显的区别，即：我们可以从上述它的性质以及其定义上来看，定积分是与第一型线积分有点相似，但是这一次我们总会始终假定ab，那么也就是说我们总是认为大于0。上面也就说明了区间a，b上的方向是和坐标轴的方向一致。所以，在有上面假设的情况下，我们的等式:才是成立的，也就是说：如果我们变换了它的的方向，那么由它计算出来的结果的符号也需要进行相应的改变的。由此可知定积分实际上是归属第二型线积分的。由上可知第一型线积分和第二型线积分转化变换成定积分时，实际上就是线积分之间的相互转换变化。如果当定积分的a是

23、比定积分的b小时，那么第一型线积分被转换为定积分时是可以被认为是同型积分之间的相互转换变化，它的被积表达式里的符号是不会有任何变化的。上面的表述已经从另一个角度解释了第一型线积分转化成定积分总是要求上限不是不能小于下限的。当我们把上面所假设的“ab”取消掉的时候，定积分就是属于第二型线积分了，又因为第二型积分被转换成为定积分的时侯仍然是归属于同型积分之间的相互转化，因此被积表达式里的符号是不会有任何变化的。但是此时是要求线型积分路径的方向的，有必要限制定积分对的方向有一个一一段的阶段，这是在帽是定积分和积分线性路径的开始和结束的一对一。我们有曲线方程， 如果此时它在x轴上是有投影而且其投影的有向线段的方向是和坐标轴上的x轴的方向是在同一个方向上的时侯，那么我们就可以知道定积分的a是比它的b小；当曲线方程在坐标轴上的x轴上的有投影线段的方向是和坐标轴上x轴的方向是不相同的时候，那么它的a是比它的b大的。其它形式的曲线方程也是类似的。同样的，我们可以利用上面的