1998年甘肃高考理科数学真题及答案

1、1998年甘肃高考理科数学真题及答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1（4分）sin330等于（）A-32B-12C12D322（4分）函数ya|x|（a1）的图象是（）ABCD3（4分）曲线的极坐标方程4cos化为直角坐标方程为（）A（x+2）2+y24B（x2）2+y24C（x+4）2+y216D（x4）2+y2164（4分）两条直线A1x+B1y+C10，A2x+B2y+C20垂直的充要条件是（）AA1A2+B1B20BA1A2B1B20CA1A2B1B2=-1DB1B2A1A2=15（4分）函数f（x）=1x（ x0）的反函数f1（x）（）Ax（x0）B1x（x0）Cx

2、（x0）D-1x（x0）6（4分）若点P（sincos，tan）在第一象限，则在0，2）内的取值范围是（）A(2，34)(，54)*B(4，2)(，54)C(2，34)(54，32)D(2，34)(34，)7（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A120B150C180D2408（4分）复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A3212iB-3212iC32+12iD32-12i9（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S，中截面的面积是S0，那么（）A2S0=S+SBS0=SSC2S0S+SDS022SS10（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止

3、如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）ABCD11（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士不同的分配方法共有（）A90种B180种C270种D540种12（4分）椭圆x212+y23=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A7倍B5倍C4倍D3倍13（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（）A43B23C2D314（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）Aarccos5-

4、12Barcsin5-12Carccos1-52Darcsin1-5215（4分）在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足limnSn=1a1，那么a1的取值范围是（）A（1，+）B（1，4）C（1，2）D（1，2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16（5分）已知圆C过双曲线x29-y216=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 17（5分）（x+2）10（x21）的展开式中x10的系数为 （用数字作答）18（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可

5、，不必考虑所有可能的情形）19（5分）关于函数f（x）4sin(2x+3)（xR），有下列命题：由f（x1）f（x2）0可得x1x2必是的整数倍；yf（x）的表达式可改写为y4cos(2x-6)；yf（x）的图象关于点(6，0)对称；yf（x）的图象关于直线x=-6对称其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（共6小题，满分70分）20（10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c2b，AC=3求sinB的值以下公式供解题时参考：sin+sin2sin+2cos-2，sinsin2cos+2sin-2，cos+cos2cos+2cos-2，cosc

6、os2sin+2sin-221（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|3，且|BN|6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程22（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）23（12分）已知如图，斜三棱柱ABC

7、A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC90，BC2，AC23，且AA1A1C，AA1A1C（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离24（12分）设曲线C的方程是yx3x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（t2，s2）对称；（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t34-t且t025（12分）已知数列bn是等差数列，b11，b1+b2+b10145（1）求数列bn的通项bn；（2）设数列an的通

8、项anloga（1+1bn）（其中a0，且a1），记Sn是数列an的前n项和试比较Sn与13logabn+1的大小，并证明你的结论1998年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1（4分）sin330等于（）A-32B-12C12D32【解答】解：sin330=-sin30=-12故选：B2（4分）函数ya|x|（a1）的图象是（）ABCD【解答】解：法一：由题设知 y=ax，x0(1a)x，x0，又a1由指数函数图象易知答案为B法二：因ya|x|是偶函数，又a1所以a|x|1，排除AC当x0，yax，由指数函数图象知选B故选：B3（4分

9、）曲线的极坐标方程4cos化为直角坐标方程为（）A（x+2）2+y24B（x2）2+y24C（x+4）2+y216D（x4）2+y216【解答】解：将原极坐标方程4cos，化为：24cos，化成直角坐标方程为：x2+y24x0，即y2+（x2）24故选：B4（4分）两条直线A1x+B1y+C10，A2x+B2y+C20垂直的充要条件是（）AA1A2+B1B20BA1A2B1B20CA1A2B1B2=-1DB1B2A1A2=1【解答】解：直线A1x+B1y+C10的方向向量为（B1，A1），直线A2x+B2y+C20的方向向量为（B2，A2），两条直线A1x+B1y+C10，A2x+B2y+C2

10、0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，即：（B1，A1）（B2，A2）0 可得A1A2+B1B20故选：A5（4分）函数f（x）=1x（ x0）的反函数f1（x）（）Ax（x0）B1x（x0）Cx（x0）D-1x（x0）【解答】由y=1x得x=1y且y0，所以反函数f1（x）=1x且x0 故选则B6（4分）若点P（sincos，tan）在第一象限，则在0，2）内的取值范围是（）A(2，34)(，54)*B(4，2)(，54)C(2，34)(54，32)D(2，34)(34，)【解答】解：sin-cos0tan045402或32(4，2)(，54)故选：B7（4分）已知圆锥的全面积是底面积

11、的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A120B150C180D240【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：，即180故选：C8（4分）复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A3212iB-3212iC32+12iD32-12i【解答】解：icos32+isin32，其立方根是 cos2k+323+isin 2k+323，k0，1，2，即 i，-32-12i，32-12i，故选：D9（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S，中截面的

12、面积是S0，那么（）A2S0=S+SBS0=SSC2S0S+SDS022SS【解答】解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：(aa+2r)2=ss(aa+r)2=ss0，可得：a+2ra=ssa+ra=s0s消去r，可得2S0=S+S故选：A10（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）ABCD【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，Vr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V

13、的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小故A、C错故选：B11（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士不同的分配方法共有（）A90种B180种C270种D540种【解答】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42540种故选：D12（4分）椭圆x212+y23=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A7倍B5倍C4倍D3倍【解答】解：由题设知F1（3，0），F2（3，0），如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF1 的中点

14、坐标为（x-32，y2）线段PF1的中点M在y轴上，x-32=0x3将P（3，y）代入椭圆x212+y23=1，得到y2=34|PF1|=36+34=1472，|PF2|=0+34=32|PF1|PF2|=147232=7故选：A13（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（）A43B23C2D3【解答】解法一：过O作OO平面ABC，O是垂足，则O是ABC的中心，则OAr2，又因为AOC=3，OAOC知OAAC2OA其次，OA是RtOOA的斜边，故OAOA所以OAOA2OA因为OAR，所以2R4因此，排除A、C、D，得

15、B解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB2rsin6023因为AOB=3，所以侧面AOB是正三角形，得球半径ROAAB23解法三：因为正三角形ABC的外径r2，故高AD=32r3，D是BC的中点在OBC中，BOCOR，BOC=3，所以BCBOR，BD=12BC=12R在RtABD中，ABBCR，所以由AB2BD2+AD2，得R2=14R2+9，所以R23故选：B14（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）Aarccos5-12Barcsin5-12Carccos1-52Darcsin1-52【解答】解：设RtABC中，C=2，则A与B互余且A为最小内角又由已知

16、得sin2BsinA，即cos2AsinA，1sin2AsinA，解得sinA=5-12或sinA=-5-12（舍）故选：B15（4分）在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足limnSn=1a1，那么a1的取值范围是（）A（1，+）B（1，4）C（1，2）D（1，2）【解答】解：由题意知limnSn=a11-q=1a1，a121q，a11，|q|1，1a122，1a12故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16（5分）已知圆C过双曲线x29-y216=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是163【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线

17、同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，473）它到中心（0，0）的距离为d=16+1129=163故答案为：16317（5分）（x+2）10（x21）的展开式中x10的系数为179（用数字作答）【解答】解：（x+2）10（x21）x2（x+2）10（x+2）10（x+2）10（x21）的展开式中x10的系数是（x+2）10展开式的x8的系数x10的系数（x+2）10展开式的通项为Tr+1C10rx10r2r2rC10rx10r令r0，2分别得x10，x8的系数为1，180故展开式中x10的系数为1801179，故答案为17918（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D

18、1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件ACBD时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）【解答】解：四棱柱A1B1C1D1ABCD是直棱柱，B1D1A1A，若A1CB1D1则B1D1平面A1AC1CB1D1AC，又由B1D1BD，则有BDAC，反之，由BDAC亦可得到A1CB1D1故答案为：BDAC19（5分）关于函数f（x）4sin(2x+3)（xR），有下列命题：由f（x1）f（x2）0可得x1x2必是的整数倍；yf（x）的表达式可改写为y4cos(2x-6)；yf（x）的图象关于点(6，0)对称；yf（x）的图象关于直线x=-6对称其中正确的命题

19、的序号是（把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：函数f（x）4sin(2x+3)的最小正周期T，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T2=2知错利用诱导公式得f（x）4cos2-(2x+3)4cos(6-2x)=4cos(2x-6)，知正确由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x=6代入得f（x）4sin230，因此点（6，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故命题错误曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x=-6时y0，点（-6，0）不是最高点也不是最低点，故直线x=-6不是图象的对称轴，因此命题不正确故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）20（

20、10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c2b，AC=3求sinB的值以下公式供解题时参考：sin+sin2sin+2cos-2，sinsin2cos+2sin-2，cos+cos2cos+2cos-2，coscos2sin+2sin-2【解答】解：由正弦定理和已知条件a+c2b得sinA+sinC2sinB由和差化积公式得2sinA+C2cosA-C2=2sinB由A+B+C得sinA+C2=cosB2，又AC=3得32cosB2=sinB，所以32cosB2=2sinB2cosB2因为0B22，cosB20，所以sinB2=34，从而cosB2=1-sin2B2=13

21、4所以sinB=32134=39821（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|3，且|BN|6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程【解答】解：法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点设曲线段C的方程为y22px（p0），（xAxxB，y0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p|MN|所以M（-p2，0），N（p2，0）由|AM|=17，|AN|3

22、得（xA+p2）2+2pxA17，（xA-p2）2+2pxA9由，两式联立解得xA=4p再将其代入式并由p0解得p=4xA=1或p=2xA=2.因为AMN是锐角三角形，所以p2xA，故舍去p=2xA=2所以p4，xA1由点B在曲线段C上，得xB|BN|-p2=4综上得曲线段C的方程为y28x（1x4，y0）解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点作AEl1，ADl2，BFl2，垂足分别为E、D、F设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）依题意有xA|ME|DA|AN|3，yA|DM|=|AM|2-|DA|2=22，由于AMN为锐角三角形，故有xN|ME|+|

23、EN|ME|+|AN|2-|AE|2=4xB|BF|BN|6设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合（x，y）|（xxN）2+y2x2，xAxxB，y0故曲线段C的方程为y28（x2）（3x6，y0）22（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）【解答】解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=kab，其中k0为

24、比例系数依题意，即所求的a，b值使y值最小根据题设，有4b+2ab+2a60（a0，b0），得b=30-a2+a（0a30）于是y=kab=k30a-a22+a=k-a+32-64a+2=k34-(a+2+64a+2) k34-2(a+2)64a+2=k18，当a+2=64a+2时取等号，y达到最小值这时a6，a10（舍去）将a6代入式得b3故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大由题设知4b+2ab+2a60（a0，b0），即a+2b+ab30（a0，b0）因为a+2b22ab，所以22ab+ab30，当且仅当a2b时，上式

25、取等号由a0，b0，解得0ab18即当a2b时，ab取得最大值，其最大值为18所以2b218解得b3，a6故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小23（12分）已知如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC90，BC2，AC23，且AA1A1C，AA1A1C（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离【解答】（1）解：如图作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以A1AD为A1A与面ABC所成的角因为AA1A1C，AA

26、1A1C，所以A1AD45为所求（2）解：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB所以A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角由已知，ABBC，得EDBC又D是AC的中点，BC2，AC23，所以DE1，ADA1D=3，tanA1ED=A1DDE=3故A1ED60为所求（3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离连接HB，由于ABBC，得ABHB又A1EAB，知HBA1E，且BCED，所以HBCA1ED60所以CHBCsin60=3为所求解法二：连接A1B根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1A

27、B的高h由V锥C-A1AB=V锥A1-ABC得13SAA1Bh=13SABCA1D，即1322h=13223所以h=3为所求24（12分）设曲线C的方程是yx3x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（t2，s2）对称；（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t34-t且t0【解答】（1）解：曲线C1的方程为 y（xt）3（xt）+s（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有x1+x22=t2，y1+y22=s2，所以x1tx2，y1sy2代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：sy2（tx2）3（tx2），即y2（x2t）3（x2t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上因此，曲线C与C1关于点A对称（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组y=x3-xy=(x-t)3-(x-t)+s有且仅有一组解消去y，整理得 3tx23t2x+（t3ts）0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根所以t0并且其根的判别式9t4