2021年人教版高中数学必修第二册第8章《8.6.3第1课时课时精讲》(含解析)

1、8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定知识点一二面角的定义1有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角.2二面角的平面角(1)定义：以二面角的棱上任一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(2)必备的三个条件：角的顶点在二面角的棱上；角的两边分别在二面角的两个半平面内；角的两边分别与二面角的棱垂直3二面角的大小及求法(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做

2、直二面角二面角的平面角的取值范围是0180.(2)二面角大小的求法作：依据题中的条件作出一平面角；证：证明所作出的平面角是二面角的平面角(用二面角的平面角的定义证)；求：求出这个平面角的大小即为二面角的大小(构造三角形解三角形来求)知识点二两个平面互相垂直的定义1两个平面互相垂直的定义(1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)图形(3)表示：平面与平面垂直，记作.2两平面垂直的判定定理(1)定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直(2)符号表示：若，则.(3)定理的作用：证两平面垂直1证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定

3、义(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直2证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的3有助于判断面面垂直的结论(1)mn，m，n；(2)m，n，mn；(3)，.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关()(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的()(3)如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.()答案(1)(2)(3)

4、2做一做(1)在二面角l的棱l上任选一点O，若AOB是二面角l的平面角，则必须具有的条件是()AAOBO，AO，BOBAOl，BOlCABl，AO，BODAOl，BOl，且AO，BO(2)过一点可作_个平面与已知平面垂直(3)若AOB是锐二面角l的平面角，则l与平面AOB的位置关系是_(4)如图，空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么图中互相垂直的平面有_答案(1)D(2)无数(3)l平面AOB(4)平面ABD平面BCD，平面ACD平面BCD题型一 求二面角 例1四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB.求：(1)二面角APDC的平面角的度数；(2)二面角BPAD的平面角

5、的度数；(3)二面角BPAC的平面角的度数解(1)PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又四边形ABCD为正方形，CDAD，PAADA，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD.二面角APDC的平面角的度数为90.(2)PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，ABPA，ADPA.BAD为二面角BPAD的平面角又由题意可得BAD90，二面角BPAD的平面角的度数为90.(3)PA平面ABCD，AB平面ABCD，AC平面ABCD，ABPA，ACPA.BAC为二面角BPAC的平面角又四边形ABCD为正方形，BAC45.即二面角BPAC的平面角的度数为45.条件探究

6、在本例中，若求二面角PBCD的平面角的度数又该如何解？解PA平面ABCD，BC平面ABCD，AB平面ABCD，PABC，PAAB.又BCAB，且ABAPA，BC平面PAB，又PB平面PAB，BCPB.又ABBC，PBA为二面角PBCD的平面角在RtPAB中，APAB.PBA45.二面角PBCD的平面角的度数为45.1.确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角2求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是

7、二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小解由已知得PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC.又PAACA，BC平面PAC.又PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角由PAAC知PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.题型二 用定义法证明平面与平面垂直例2如图所示，在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa.求证：平面ABD平面BCD.证明ABADC

8、BCDa，ABD与BCD是等腰三角形取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE.AEC为二面角ABDC的平面角在RtABD中，ABa，BEBDa，AEa.同理CEa.在AEC中，AECEa，ACa，AC2AE2CE2，AECE，即AEC90，即二面角ABDC的平面角为90.平面ABD平面BCD.用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：找出两个相交平面的平面角；证明这个平面角是直角；根据定义，这两个平面互相垂直如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，

9、AEEC.证明：平面AEC平面AFC.证明如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.同理可得FGAC，所以EGF为二面角EACF的平面角，在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.即二面角EACF的平面角为90，所以平面AEC平面AFC.题型三 利用判定定理证明面面垂直例3如图，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E，G，

10、F分别为MB，PB，PC的中点，且ADPD2MA.求证：平面EFG平面PDC.证明MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四边形ABCD为正方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.在PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面如图，四棱锥PABCD的底面是正方形

11、，PD底面ABCD，点E在棱PB上求证：平面AEC平面PDB.证明四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACBD，ACPD，又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.题型四 折叠问题例4如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，E为BC的中点，把ABE和CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE平面PAD；(2)求二面角PADE的大小解(1)证明：由ABBE，得APPE，同理，DPPE.又APDPP，PE平面PAD.又PE平面PDE，平面PDE平面PAD.(2)如图所示，取AD的中点F，连接

12、PF，EF，则易知PFAD，EFAD，PFE就是二面角PADE的平面角又PE平面PAD，PF平面PAD，PEPF.EFAB，PF 1，cosPFE.二面角PADE的大小为45.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量如图所示，在矩形ABCD中，已知ABAD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE 的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面BCDE.证明如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接AM，AN，MN，则MNBC.ABAD，E是AD的中点，ABAE，即ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形BCDE中，

13、CDMN，又MNAMM，CD平面AMN，又AN平面AMN，CDAN.DEBC且DEBC，BE必与CD相交又ANBE，ANCD，AN平面BCDE.又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE.1下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()AB CD答案B解析由二面角的定义知，错误；a，b分别垂直于两个平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱

14、，故错误；由定义知正确故选B.2.在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A平面PAB平面PADB平面PAB平面PBCC平面PBC平面PCDD平面PCD平面PAD答案C解析由面面垂直的判定定理知：平面PAB平面PAD，平面PAB平面PBC，平面PCD平面PAD，A，B，D正确3.如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为()A90B60C45D30答案A解析因为PA平面ABC，BA平面ABC，CA平面ABC，所以BAPA，CAPA.因此，BAC即为二面角BPAC的平面角，又BAC90，所以二面角BPAC的平面角为90.故选A.4如图所示，在三棱锥DABC中，若ABBC，ADCD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是_答案垂直解析易知BEAC，DEAC，AC平面BDE.又AC平面ADC，平面ADC平面BDE.5在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E为AB上的点，且ADAEDC2，BE1，将ADE沿DE折叠到点P，使PCPB.(1)求证：平面PDE平面ABCD；(2)求四棱锥PEBCD的体积解(1)证明：如图，取BC的中点G，DE的中点H，连接PG，GH，HP.HGAB，又A