画法几何-第九章：截交线

1、9.19.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交9.29.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交求截交线求截交线第第9 9章章 平面与立体相交平面与立体相交9.39.3 平面与组合体相交平面与组合体相交9.1 9.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交截平面截平面断面断面断面的边界线是：断面的边界线是：截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线 截交线。截交线。一、平面立体的截交线一、平面立体的截交线平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。二、平面立体截交线的性质二、平面立体截交线的性质三、平面立体截交线的求法三、平面立体截交线的求法

2、1. 1. 棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法作图方法作图方法:1 求棱线与截平面求棱线与截平面 的共有点的共有点2 连线连线 3 根据可见性处理轮廓线根据可见性处理轮廓线1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线 例题例题1 1 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影 例题例题2 2 求立体截割后的投影求立体截割后的投影 例题例题33 求立体截割后的投影求立体截割后的投影71188711121056943961（3）2（4）105 1（2）83（4）10 （

3、5）9 11（6）（7）2 2棱锥上截交线的求法棱锥上截交线的求法 例题例题4 4 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。水平投影和侧面投影。 sabcc”a”b”sPvs”abc 例题例题4 4 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。水平投影和侧面投影。 sabcc”a”b”sPvs”(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。123(2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(

4、3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4) 补全棱线的投影。3”具体步骤如下：abc123(4)1”3”4”1243 例题例题5 5 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影yy 例题例题66 求立体切割后的投影求立体切割后的投影235411166543264（5）2（3） 例题例题7 7 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影截交线截交线截平面截平面截交线截交线截平面截平面9.2 9.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交一、截交线的性质：一、截交线的性质： 截交线的形状取决于截交线的形状取决于曲面立体曲面立体表表

5、 面的形状及面的形状及截平面与截平面与曲面立体曲面立体轴轴 线的相对位置。线的相对位置。 截交线都是截交线都是封闭的平面图形。封闭的平面图形。 截交线是截平面与截交线是截平面与曲面立曲面立体表面体表面 的的共有线。共有线。二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如

6、积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，补充中间点。先找特殊点，补充中间点。三、具体的作图步骤三、具体的作图步骤四、截交线上的特殊点四、截交线上的特殊点极限点极限点转向点转向点特征点特征点结合点结合点矩形矩形椭圆椭圆圆圆9.2.1 9.2.1 平面与圆柱相交平面与圆柱相交 截平面垂直于圆截平面垂直于圆柱轴线，截交线柱轴线，

7、截交线为为垂直于轴线的垂直于轴线的圆圆 截平面平行于圆截平面平行于圆柱轴线，截交线柱轴线，截交线为为 平行于轴平行于轴线的线的两条直线两条直线 截平面倾斜于圆截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为柱轴线，截交线为椭圆椭圆9.2.1 9.2.1 平面与圆柱相交平面与圆柱相交 例例1 1 求圆柱被截切后的侧面投影求圆柱被截切后的侧面投影分析：分析：截平面与圆柱轴线斜截平面与圆柱轴线斜 交，截交线为椭圆。交，截交线为椭圆。作图方法作图方法: : 1.求特殊点求特殊点11” 122”23”4”342.适当求一般点适当求一般点343.连线连线4.处理轮廓线处理轮廓线作图方法作图方法: : 表面取点法表面取点法注

8、意注意: :当截平面与圆柱轴线交线交角为当截平面与圆柱轴线交线交角为45时，时， 截交线投影为圆。截交线投影为圆。 例例22 求圆柱截交线求圆柱截交线111548883254452323解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为正垂面，截截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；影为椭圆；2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ；3 3求出若干个一般点求出若干个一般点、 、；4 4光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。766767 例例33 求圆柱截交线

9、求圆柱截交线解题步骤解题步骤1 1分析侧面投影为圆的一部分，截分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；交线的水平投影为椭圆的一部分；2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 ；3 3求出若干个一般点求出若干个一般点、 ；4 4光滑且顺次地连接各点，作出截光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；交线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。345334554122112 例例4 4 求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影 该圆柱被侧平面截该圆柱被侧平面截切后切后, ,侧面投影为矩形侧面投影为矩形; ;被水平面被水平面截截切

10、后，水平切后，水平投影为圆。投影为圆。轮廓线要不要？轮廓线要不要？分析分析: : 例例5 5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影求切口圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤解题步骤1 1 分析分析 截交线的水平投影为截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；椭圆，侧面投影为圆；2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ；3 3 求出若干个一般点求出若干个一般点、 、；4 4 光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点，作，作出截交线，并且出截交线，并且判别可见性判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。 例例66 求截切圆柱的水平投影和侧面投影求截切圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤解题步骤1

11、分析分析 截交线的水平投影截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；为矩形；2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、；3 顺次地连接各点顺次地连接各点，作出截，作出截交线并交线并判别可见性判别可见性；4 整理轮廓线。整理轮廓线。 例例77 求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤解题步骤1 1分析分析 截交线为矩形、椭圆截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截交线的及圆和直线的组合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；矩形、椭圆和直线的组合；2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 、；3 3求一般点求一般点；4

12、 4 顺次地连接各点，作出截顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。3311 22445532514yyyyyy 例例88 想象出物体及其侧面投影的形状想象出物体及其侧面投影的形状作图步骤如下：作图步骤如下：（1 1）先作出完整基本形体的三面投影图。）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2 2）然后作出槽口三面投影图。）然后作出槽口三面投影图。( 3) ( 3) 作出穿孔的三面投影图。作出穿孔的三面投影图。QP 例例9 9 补画侧面投影补画侧面投影空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体

13、轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤： 同一立体被多个同一立体被多个平面截切，要逐个截平面截切，要逐个截平面进行截交线的分平面进行截交线的分析和作图。析和作图。 例例10 10 补画侧面投影补画侧面投影 例例11 11 补画侧面投影补画侧面投影虚实分界点虚实分界点 例例12 12 补画正面投影补画正面投影9.2.2 9.2.2 平面与圆锥相交平面与圆锥相交圆圆椭圆椭圆三角形三角形双曲线加直线段双曲线加直线段抛物线加直线段抛物线加直线段 截平面垂直于圆截平面垂直于圆锥轴线，截交线为锥轴线，截交线为垂直于轴线的圆。

14、垂直于轴线的圆。截平面平行于圆锥轴截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于线，或截平面倾斜于截平面过锥顶，截交截平面过锥顶，截交线为线为两相交直线。两相交直线。平面截圆锥（一）平面截圆锥（一）截平面平行于圆锥轴截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于线，或截平面倾斜于圆锥轴线，且圆锥轴线，且bf，截交线为截交线为椭圆。椭圆。截平面倾斜于圆截平面倾斜于圆锥轴线，且锥轴线，且b=f，截交线为截交线为抛物线。抛物线。平面截圆锥（二）平面截圆锥（二）求圆锥截交线上点的方法求圆锥截交线上点的方法素线法素线法纬圆法纬圆法分析：分析：截平面过锥顶截平面过锥顶, ,截交线为截交线为 三角形。三角形。 例题例题11求圆

15、锥被截切后的水平投影和侧面投影求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影作图：作图： 例题例题22 求圆锥截交线求圆锥截交线解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为正平面，截交线截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；反映实形；2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点A、 B ；3 3求出一般点求出一般点C ；4 4光滑且顺次地连接各点，作出截光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。aaacbbbcc最低点最低点B最低点最低

16、点B最高点最高点A一般点一般点C 例题例题33 求圆锥截交线求圆锥截交线解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为正垂面，截截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；影和侧面投影均为椭圆；2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ；3 3求出一般点求出一般点；4 4光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。333 例题例题44 求圆锥截交线求圆锥截交线a2314511a232 35445解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为正垂截平面为正垂面侧平

17、面，截交线为部面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的影为部分椭圆和梯形的组合；组合；2 2求出截交线上的特殊求出截交线上的特殊点点、 、 ；3 3出一般点出一般点、 ；4 4光滑且顺次地连接各光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且点，作出截交线，并且判别可见性；判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。 例题例题55 分析圆锥切割后截交线投影的形式分析圆锥切割后截交线投影的形式 例题例题66 分析并想象出圆锥穿孔后的投影分析并想象出圆锥穿孔后的投影1(2)(4)3(6)5(

18、8)79 (10)2”1”433”4”655”6”(12)1111”12”787”8”91010”9”1112 例题例题7 7 已知立体的正面投影，试完成已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影两面投影分析：分析： 截交线有五段组成。截交线有五段组成。作图作图: : 1.求特殊点；求特殊点；2.求一般点；（略）求一般点；（略）3.连线，整理轮廓线。连线，整理轮廓线。圆圆9.2.3 9.2.3 平面与圆球相交平面与圆球相交截平面截圆球，截截平面截圆球，截交线为交线为圆。圆。平面截圆球平面截圆球纬圆法纬圆法 在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些 纬圆与截平面的交

19、点。纬圆与截平面的交点。求圆球截交线上点的方法求圆球截交线上点的方法分析分析: : 球面被侧平面截球面被侧平面截 切，侧面投影为圆；球切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面被水平面截切，水平面投影为圆。面投影为圆。轮廓线要不要轮廓线要不要?轮廓线怎样处理轮廓线怎样处理? 例例11 求圆球被截切后的水平投影和侧面投影求圆球被截切后的水平投影和侧面投影 例例2 2 求圆球截交线求圆球截交线解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为正垂面，截交截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；面投影均为椭圆；2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ；3 3求出若干个一般点求出若干个一般点A、B、C、D；4 4光滑且顺次地连接各点，作出光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；截交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。1212343456567878abcdbacd2134567 8abcd221 例例3 3 求圆球截交线求圆球截交线解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为两个截平面为两个侧平面和一个水平面，侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；和直线的组合；2 2