2019届高三数学复习--立体几何与空间向量--空间几何体、空间中的位置关系

1、精品文档2019届高三数学复习-立体几何与空间向量-空间几何体、空间中的位置关系第12讲 空间几何体、空间中的位置关系1. (1)2018?全国卷川中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼 ，图4-12-1中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()图 4-12-1图 4-12-2(2)2013?全国卷H 一个四面体的顶点在空间直角坐标 系 o-xyz 中 的 坐 标 分 别 是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面

2、为投影面，则得到的正视图可以为( )图 4-12-3 试做命题角度由直观图求三视图的问题关键一：注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向关键二：注意看到的轮廓线和棱是实线，看不到的轮廓线和棱是虚线.2. 2017?全国卷I 某多面体的三视图如图4-12-4所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个 面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A. 10B.12C.14D.16图 4-12-4 试做命题角度与三视图有关的几何体的表面积和体积问题(1) 关键一：由三视图想象几何体的结构特征，并画出该几何体的空间图形；关键二：搞清楚几

3、何体的尺寸与三视图尺寸的关系；关键三：利用外部补形法，将几何体补成长方体或正方 体等常见几何体.(2) 看三视图时，需注意图中的虚实线.(3) 求不规则几何体的表面积和体积时，通常将所给几何体分割为基本的柱、锥、台体.3. (1)2018?全国卷H 已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45 .若厶SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.(2)2018?全国卷 I 在 长方体 ABcD-AIBIclDI中,AB=Bc=2,Ac1与平面BB1c1c所成的角为30 ,则该长方 体的体积为()A. 8B.6C.8D.8 试做命题角度空间几何体的面积与体积(1) 求规

4、则几何体的体积，只需确定底面与相应的高，而求一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形思想，转化求解.(2) 求组合体的表面积时，需注意组合体衔接部分的面 积,分清侧面积和表面积.4. (1)2017?全国卷I 如图4-12-5,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,N,Q为所在棱的中点，则在这 四个正方体中，直线AB与平面NQ不平行的是()A B cD图 4-12-5(2)2016?全国卷H a , B是两个平面,n是两条直线，有下列四个命题 如果丄n,丄a ,n ,那么a丄B . 如果丄a ,n Ila ,那么丄n. 如果aB, ? a ,那么. 如果I n, alB ,那么与a所

5、成的角和 n与B所成的 角相等.其中正确的命题有 .（填写所有正确命题的编号） 试做命题角度空间中线面位置关系的判定关键一：逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；关键二：结合长方体模型或实际空间位置作出判断，但要注意准确应用定理，考虑问题全面细致.5. （1）2018?全国卷川设A,B,c,D 是同一个半径为 4的球的球面上四点， ABc为等边三角形且其面积为 9,则三棱 锥D-ABc体积的最大值为（）A. 12B.18C.24D.54（2）2016 ?全国卷川在封闭的直三棱柱 ABc-A1B1c1内 有一个体积为 V的球.若AB丄Bc,AB=6,Bc=8,AA仁3,贝U

6、 V的最 大值是（）A. 4 n B.c.6 n D. 试做命题角度多面体与球(1) 解决与球有关的组合体问题：关键一：分清球是内切还是外接；关键二：确定球心在多面体中的位置，确定球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系；关键三：球的每个截面都是圆.(2) 设正四面体的棱长为a,则其外接球的半径 R=a,内切球的半径r=a.6. 2018?全国卷I 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为()A. B.c.D. 试做命题角度 解决平面截正方体所形成的图形问题关键一：根据已知条件确定所求平面或与所求平面平行的平面；关键二：根据平面特点利用数

7、形结合思想确定截面形 状.7. (1)2018?全国卷 H 在 长方体 ABcD-AIBIclDI中,AB=Bc=1,AA1=,则异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.B.c.D.(2)2017?全国卷H 已知直三棱柱ABc-A1B1c1中，/ABc=120 ,AB=2,Bc=cc仁1,则异面直线 AB1与Bc1所成角的 余弦值为()A.B.c.D. 试做命题角度解决异面直线所成角问题(1) 关键一：先通过作图(三角形中位线、平行四边形补形)来构造平行线，再通过解三角形求解；关键二：补形法(补成长方体、正方体)求解.(2) 当异面直线所成角为时，两异面直线互相垂直.(3) 用空间向

8、量法解决.小题1空间几何体的三视图与直观图1(1) 如图 4-12-6,在正方体 ABcD-AIBIclDI中,E,F,G 分别为棱cD,cc1,A1B1的中点，用过点E,F,G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()ABeD图 4-12-6 图 4-12-7(2)已知某几何体的三视图如图4-12-8所示，则该几何体最长棱的长为()图 4-12-8A.B.e.D.2听课笔记【考场点拨】识别三视图应注意以下几方面:(1)看线型，是线段、虚线还是曲线，确定此几何体是简单多面体还是旋转体；(2)分部分，想整体，看是简单几何体还是组合体；(3)对比一些熟悉的三视图模型分析，如正方体、圆

9、锥、三棱锥的三视图模 型.【自我检测】1. 某几何体的正视图与俯视图如图4-12-9,则其侧视图可能是()图 4-12-9A B c D图 4-12-102. 某几何体的三视图如图4-12-11所示,则此几何体的各个面中最大面的面积为（）A.2B.2C.3D.2图 4-12-113. 2018?北京卷某四棱锥的三视图如图 4-12-12所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4图 4-12-124. 如图4-12-13 所示，在正方体 ABcD-A1B1c1D1中,P为BD1的中点，则厶PAc在该正方体各个面上的射影可能是（ ）图 4-12-13 图 4-12-1

10、4A. B.c.D.小题2空间几何体的表面积与体积2(1) 已知矩形 ABcD中,AB=2Bc,把这个矩形分别以 Bc,AB所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记 为S1,S2,则S1与S2的比值为()A.B.1c.2D.4(2) 在三棱锥 D-ABc中,cD丄底面 ABc, ABc为正三角形 若AE/ cD,AB=cD=AE=2则三棱锥 D-ABc与三棱锥 E-ABc的公 共部分构成的几何体的体积为 ()A.B.c.D. 听课笔记【考场点拨】高考中求几何体的表面积和体积易失分点：(1)计算表面积时，有些面没有计算到，有遗漏；(2)求组合体的表面积 时没注意重合部分的面积.【自我检测】

11、1. 某几何体的三视图如图4-12-15所示,则该几何体的表面积为（）图 4-12-15A. 12+8B. 12+6c.14+6D.16+82. 在三棱柱 ABc-A1B1c1中,D,E分别为棱 Bc,A1c1的中点,过A,D,E的截面把三棱柱分成两部分，则这两部分的体积 之比为（）A.5: 3B.2 : 1C. 17: 7D.3 : 13. 九章算术是我国古代数学名著 ，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如“堑堵”指的是底面为直角三 角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；邙阳马”指的是底面为矩 形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图4-12-16所示,在堑堵 ABc-A1B1c1 中,Ac 丄 B

12、c,A1A=AB=2,当堑堵 ABc-A1B1c1 的侧 面积取得最大值时，阳马B-A1ACC1的体积为（）图 4-12-16A.B.c.4D.小题3多面体与球角度1外接球问题3 在矩形 ABcD中,AB=4,Bc=3,将厶ABc沿Ac折起，当平 面ABc丄平面AcD时，四面体ABcD的外接球的体积是（）A. n B. nc. n D. n 听课笔记【考场点拨】解决多面体的外接球问题，关键是确定球心位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直于此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点情况确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可以通过补成正方体或长方体

13、的方法找到球心位置.【自我检测】1. 在三棱锥 S-ABc 中,SB 丄 Bc,SA 丄 Ac,SB=Bc,SA=Ac,AB=Sc,且三棱锥S-ABc的体积为，则该三棱 锥的外接球半径是（）A.1B.2B. 3D.42. 设直三棱柱ABc-A1B1c1的所有顶点都在一个球面上 , 且球的表面积是 40 n ,若 AB=Ac=AA1 ,Z BAc=n ,则此直三棱 柱的高是.角度2内切球问题4 设正三棱锥P-ABc的高为H,且此三棱锥内切球的半径 为R,若二面角P-AB-c的正切值为，则=()A.5B.6C. 7D.8听课笔记【考场点拨】解决多面体的内切球问题 ，一般是将多面体分割为以球 心为顶

14、点，多面体的各面为底面的棱锥 ，利用多面体的体积 等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径【自我检测】1. 在三棱锥 P-ABc中，侧棱 PA=PB=2,Pc=,当三棱锥 P-ABc的三个侧面的面积之和最大时 ，三棱锥P-ABc内切球 的表面积是()A.(32-8)n B.(32-16) nc.(40-8)n D.(40-16) n2. 已知圆锥的高为3,侧面积为20 n ,若此圆锥内有一个 体积为V的球，则V的最大值为小题4空间线面位置关系的判断角度1线面位置关系5(1) 已知直线I,平面a , B ,且I丄a , ? B ,给出下列 说法：若a/B ,则I丄；若a丄B ,则I / ；若I /

15、 ,则 a丄B ；若I丄，则a/B .其中正确说法的序号是()A. B.c. D.(2) 如图4-12-17,在正方形 ABcD中,E,F 分别是 AB,Bc 的中点,G是EF的中点，沿DE,EF,FD将正方形折起,使A,B,c 重合于点P,构成四面体，则在四面体 P-DEF中，给出下列结 论：PDL平面 PEF;PDL EF;DGL平面 PEF;DF丄PE; 平面 PDEL平面 PDF.其中正确结论的序号是()图 4-12-17A.B.c.D. 听课笔记【考场点拨】判断空间点、线、面的位置关系，主要依赖于四个公理， 平行关系和垂直关系的有关定义及定理.具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，

16、把要考查的点、线、面融入模型 中,使判断简洁明了 .如要否定一结论，只需找到一个反例即 可.【自我检测】1. 已知a , B是两个不同的平面，1是一条直线，给出下列说法：若I丄a , ap ,贝U I /B ；若I /a , a/p , 则I ；若I丄a , a/B ,则I丄B ；若I /a , ap , 则I IB .其中正确说法的个数为（）A.3B.2C.1D.02. 若I,为两条不同的直线，a为一个平面，且I丄a ,则“/a” 是“丄 I” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件角度2异面直线所成的角、线面角6(1) 已知 ABc与厶BcD均为正三

17、角形，且AB=4.若平面 ABc与平面BcD垂直，且异面直线 AB与cD所成的角为B ,则 cos 0 =()A.-B.c.-D.(2)已知三棱柱ABc-A1B1c1的侧棱与底面垂直,体积为，底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1c1的中心,则PA 与平面ABc所成角的大小为()A.B.c.D. 听课笔记【考场点拨】(1) 求异面直线所成的角，一般是通过平移构建三角形求解，要注意异面直线所成的角是锐角或直角，若计算出钝角，其补角才是异面直线所成的角.(2) 求直线与平面所成角的关键是过直线上一点作出这 个平面的垂线，进而直线与直线在平面内的射影所成的角即 为直线与平面所成的角.(3) 当空

18、间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系利用向量求解.【自我检测】1. 如图4-12-18所示为一个半圆柱， ADE是等腰直角三角形,F是线段cD的中点,AB=4，该半圆柱的体积为 18 n , 则异面直线AB与EF所成角的正弦值为（）图 4-12-18A.B.c.D.2. 在四边形 ABcD中,AD=AB=2,cD=cB=,且 AD丄AB,现将 ABD沿 BD翻折到 A BD的位置，则在 ABD折起至与平面 BcD重合的过程中，直线A c与平面BcD所成角最大时的正 弦值为（）A.B.c.D.角度3截面问题7（1） 在棱长为 2的正方体 ABcD-A1B1c1D1中,E为棱 AD 的中点，过

19、点B1且与平面A1BE平行的截面面积为（）A.5B.2C. 2D.62016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创17 / 32精品文档(2)已知棱长为 2的正方体 ABcD-A1B1c1D1中,球o与该正方体的各面都相切，则平面AcD1截此球所得的截面面积为 ( )A.B.c.D. 听课笔记【考场点拨】几何体截面面积问题，关键是确定截面图形的位置、形状，所经过的点，截面面积根据有关数量进行计算.【自我检测】1. 已知一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图4-12-19所示，则该截面的面积为()A.B. 4c.3D.图 4-12-192. 过半径为4的球o表面上一

20、点A作球o的截面，若oA与该截面所成的角为 30 ,则该截面的面积是.模块四立体几何与空间向量第12讲 空间几何体、空间中的位置关系典型真题研析1. (1)A(2)A解析(1)卯眼的空间立体图如图，同时需要注意，在三视图中看不见的线用虚线表示，故选A.(2) 在空间直角坐标系 o-xyz中画出三棱锥，由已知可知 三棱锥o-ABc为题中所描叙的四面体，而其在zox平面上的 投影为正方形EBDo，故选A.2. B解析该几何体为一个三棱柱和一个三棱锥的组合体,其直观图如图所示，各个面中有两个全等的梯形，其面积之和为2XX 2=12.3. (1)40n (2)c解析(1)设圆锥的底面圆的半径为r,因为

21、SA与圆锥底面所成角为 45 ,所以SA=r.由cos /ASB=# sin / ASB=,所以 SA?SB?sin / ASB=x r x r x =5,所以 r2=40,所以圆锥的侧面积为n r2=40 n .(2) 如图，连接Bc1,易知/ Ac1B即为 Ac1与平面 BB1c1c 所成的角，由题易知/ Ac1B=30 ,易得Ac1=2AB=4.设BB1=h, 则有42=22+22+h2,解得h=2,所以该长方体的体积 V=2x 2 x2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创仃/ 32精品文档2=8.4. (1)A(2)解析因为,N,Q分别为对应棱的中点，所以在选项 B

22、,c中均有AB/ Q,在选项D中,有AB/ NQ, 所以在选项B,c,D中均有AB与平面NQ平行，所以选A.(2) 对于，丄n,丄a ,n ,则a , B的位置关系无法 确定，故错误；对于，因为n /a ,所以可过直线n作平面Y 与平面a相交于直线 c,则n/ C,因为丄a ,所以丄c,所以丄 n,故正确；对于，由两个平面平行的性质可知其正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有.5. (1)B(2)B解析(1)由题易知当点 D到平面ABc的距离最大时，三棱锥D-ABc的体积最大. SAABc=AB2=9,. AB=6.设厶ABc的中心为，由等边三 角形的性质得，A=B=c

23、=2.设球心为 o,贝U oA=oB=oc=4, o=2,点D到平面ABc的距离的最大值为0+4=6.故三棱锥D-ABc体积的最大值为X 9X 6=18.(2) 当球与三侧面相切时 ，设球的半径为 r1, AB丄 Bc,AB=6,Bc=8, 8-r1+6-r1=10, 解得 M=2,不合题意.当球 与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2,则2r2=3, 即r2=, 球的体积V的最大值为nX =n .6. A解析平面a与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可,如图,AP=AR=AQ则平面PQF与正方体过点 A的三条棱所成的 角相等.若点E,F,G,

24、H,N分别为相应棱的中点，易证得平面 EFGHt平行于平面 PQR且六边形 EFGHN为正六边形.正方体 棱长为1,所以正六边形EFGHN勺边长为，可得此正六边形的 面积为，而在四个选项中，选项B,c,D中的值都小于，所以选 A.7. (1)c(2)c解析(1)方法一：以D为坐标原点,DA,Dc,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如 图所示，贝U A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所 以=(-1,0,),=(1,1,), 所以cos=,所以异面直线 AD1与DB1所 成角的余弦值为.方法二：如图，在长方体 ABcD-A1B1C1D1的面 ABB1A1 的

25、一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2-A1B1B2A2连接AB2,B2D1.易知AB2/ DB1,所以异面直线 AD1与DB1所成的角即为AD1与AB2所成的角.因为 AB=Bc=1,AA仁，所以 AD1=2,AB2=,B2D仁.在厶 AB2D1 中,cos / D1AB2=,所以异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为(2) 方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(0,0,0),B1(0,0,1),c1,所以=(-2,0,1),=,故异面直线AB1与Bc1所成角B的余弦值 cos 0 =.方法二：如图,将该直三棱柱补充成直四棱柱，其中cD IIAB且cD=AB,则

26、可得 AB1I Dc1且AB仁Del,图中/ Bc1D即为 异面直线 AB1与Bc1所成的角或所成角的补角 .在厶Bc1D 中,Bc1=,Dc1=,BD=,所以 cos / Bc1D=.故异面直线 AB1 与Bc1所成角的余弦值为.考点考法探究小题1例 1(1)c(2)B解析(1)取AA1的中点H,连接GH,则GH为过点 E,F,G的平面与平面 A1B1BA的交线.延长GH交BA的延长线于点 P,连接EP，交AD于点N,连 接HN,则NE为过点E,F,G的平面与平面 ABcD的交线.同理，连接并延长EF,交D1c1的延长线于点 Q,连接GQ, 交B1c1于点，连接F,则F为过点E,F,G的平面

27、与平面 BccIBI 的交线.所以过点E,F,G的平面截正方体所得的截面为图中的正 六边形EFGHN.故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项c中的图.故选c.(2)根据三视图作出几何体的直观图如图所示，可计算得PB=PD=Bc=,Pc=,故该几何体最长棱的长为.【自我检测】1. B解析由俯视图与正视图可知，该几何体是一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余的部分，因此其侧视图是矩形且内部有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项B符合 题意,故选B.2. B解析由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥A1-BcD.结合三视图中的数据可得SA BcD=X 22=2,= X2X 2=2,= X 2X

28、=2,故此几何体的各个面中最大面的面积为2.故选B.3. C解析由三视图可得该几何体的直观图如图所示，且PD丄平面ABcD,.A PADHA PDc均为直角三角形.又t PD 丄 AB,AB丄 AD,PDQ AD=D,. AB丄平面 PAD,二 AB丄 PA, PAB 为直角三角形.故选c.4. A解析从上下方向看， PAc的射影为图所示的情况；从左右方向看， PAc的射影为图所示的情况；从前后方向看， PAc的射影为图所示的情况.故选A.小题2例 2 B(2)B解析(1)设 Bc=a,AB=2a,贝U S仁2n ?2a?a,S2=2 n ?a?2a,二=1.故选 B.(2)根据题意画出如图所

29、示的几何体，三棱锥D-ABc与三棱锥E-ABc的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABc. ABc为正三角形,AB=2, SAABc=x 2 X 2X =. cD丄底面 ABc,AE/ cD,cD=AE=2,四边形AEDc为矩形，则F为Ec与AD的中点，三棱锥F-ABc的高为cD=1,三棱锥F-ABc的体积 V=XX 1=.故选B.【自我检测】1. A解析根据三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥E-DD1c1c,则该几何体的表面积 S=x 2X 2+x 4X 2+ X 2X 2+X 4X 2+2 X 4=2+4+2+4+8=12+8.2. c解析根据题中的条件可知，截面与B1c1的交点为靠近c

30、l的四等分点，所以该截面将三棱柱分成了一个三棱台和一个几何体.设三棱柱的体积 V=Sh,而三棱台的体积 V1=h=Sh,所以几何体的体积 V2=V,所以所得的两部分的体积 之比为17 : 7,故选c.3. A解析根据题意，设Ac=x,Bc=y,则有x2+y2=4,堑堵 ABc-A1B1c1 的侧面积 S 侧=(2+x+y) X 2=4+2(x+y) 0,所以+ 2=(当且仅当 x=时取等号),此时/ A co最大,且sin / A co=.例7c (2)D解析(1)取Bc的中点,A1D1的中点N,则四边形B1DN即为所求的截面.根据正方体的性质，可得N=2,B1D=2,易知四边形B1DN为菱形，所以其面积S=x 2X 2=2,故选c.(2) 由题知 AcD1是边长为2的等边三角形，所以所求 截面为 AcD1的内切圆，可得截面圆的半径为，所以截面圆 的面积为n .【自我检测】1.A解析如图所示，在正方体ABcD-A1B1c1D1中,E,F分别为AB,AD的中点.由三视图可知，该几何体是正方体 ABcD-A1B1c1D1截取 棱台AEF-A1B1D1后剩余的部分.易知截面FEB1D1为等腰梯形，且FE=,B1D1=2,EB1=, 截面FEB1D1的高为=, 则截面FEB1D1的面积为=.2.12 n 解析过半径为4的球o表面上一点A作球0 的截面，若oA与该截面所成的角为30 ,则