2011届苏南三校第一次联考数学

1、第6题,证明过程或演算步骤请把答案写在2011届苏南三校第一次联考数学试(总分160分,考试时间120分钟)1参考公式：锥体的体积公式 V Sh，其中S是底面面积，h是高.3一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上1 已知集合 A1,-2,3, 4?, B=：Lx|x. R,x2 :：: 5，则 A B 二 .2. 已知复数z=3-4i，则|z|=.3. 命题“ ？ x R, x2+ x 0，求 g(x)=x2+ X5的极值点.18. (本小题满分16分) 已知函数 f(x)= X3- ax2- a2x + 1, g(x)= 1-4x

2、-ax2，其中实数0.(1)求函数f(x)的单调区间；若f(x)与g(x)在区间(一a, - a + 2)内均为增函数，求 a的取值范围.19. (本小题满分16分)公差d = 0的等差数列an的前n项和为Sn，已知a.2 , S12 3 2 .(I)求数列an的通项公式an及其前n项和Sn ；(n)记bn二an、2，若自然数 1, 2，k,满足仁1 ： 2 J： k 024.5.5:6.5312167.120 8. _169.5 二5 二212-2，二（也可以写成6（，二）610.3公+311.3112.813. b6 b7 : b4 b914.(0,)e二、解答题：本大题共15.解:6小题

3、,计90分.(I)在 ABC 中,.1313sin A sin Bb3953八所以 sin B sin A7 分a25 135（n）因为cos A ： 0，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是cos B =1 - sin2 B = 452724所以 cos2B =2cos B -1,sin 2B=2sin BcosB 252531 2 cos 2b = cosbcos sin BsinI 4 丿445011分1分16.证明：（I）连结 AC ,在ACPA中，因为E, F分别为PC, AC的中点， 所以EF PA .3分而PA匸平面PAD , EF広平面PAD ,6分直线EF /平面PAD7分（

4、n）因为面 PAD 丄面 ABCD 面 PAD R 面 ABCD = AD , CD匸面ABCD，且CD丄AD ,所以CD丄平面PAD ,. CD丄PA 1分又PA丄PD , CD PD = D，且CD、PDu面PDC ,所以PA丄面PDC12分而EF / PA,所以直线EF 一平面PDC 14分17解：(1)fx)= (x+ 1)(x+ 3). 2分Xx4(4, 3)3(3, 1)1A(1，一 2)1 一 2Fx)一0+0一f(x)9_647极小值4_ 一 27极大值0、2fx)0, 3x 1, fx(0, x 3, 1x0.最大值为0，最小值为2. 6分x2 + 4x + 3a(2)g x

5、)=x4.设 u = x2 + 4x+ 3a.= 16 12a,当a14分若a0,则当x ,fx(0.g时，gx) WQ所以y= g(x)没有极值点. 4 当 0a3时，X1 = 2 4 3a, X2= 2+ 4 3a0.减区间：(一m, X” , (x2,0) , (0 ,+ m)增区间：(X1 , X2). 有两个极值点 X1 , X2. 分12x+ 4当 a = 0 时，g(x)= -+x2, gx)=.减区间：(一m, 4) , (0 , + m)增区间：(一4,0).有一个极值点 x= 4. 13分综上所述：a= 0时，4j有一个极值点 x= 4; 0a0 ,则当 xa 时，fx(0

6、,a当一3xa 时，fx)0.aa f(x)在(一a, 3)和(a, + m内是增函数，在(3，a)内是减函数.当 ax扌时，fx)0时，f(x)在(汽(a, + m内 是增函数，g(x)= a(x+ -)2+ 1 + 4,故 g(x)在(a,-)aaaa0,一 a + 2W 内是增函数，由题意得a +3， 解得a3.a+ 2W-a当 a0 时，f(x)在(a, a)和 ( 3, + m内是增函数,32g(x)在 ( 2,+ m)是增函数.aa0,由题意得 a亠3，解得aw 215分-a 亠-.ia综上知实数a的取值范围为(m, ：.2 U 3 , + m).16分19 .解：(I)a1 =2

7、 ,2 , S3 = 3印 3d = 12 3 2 , d = 2所以 an =2n .2 , Sn 二 n2( . 2 1)n5 分(n)由题意，bn = 2n，首项0 =2，又数列bq,bq,.,g ,.的公比q =色=37分12 kth.bk =2 少丄，又 bk -2 k , k =3kJI 1分(川)易知Cn = n 21 ,假设存在三项Cr ,Cs,Ct成等比数列，则cf= CrCt ,即s (、21)2 = rG- 21) t (、21)整理得(2s - r -1)、2= rtrt - s2- 2s2 2 rt 亠 r 亠 t-s 2s*，当 2srt=0 时，、2 二r 仝，r

8、,s,t N ,2s r t有理数，这与.2为无理数矛盾14分当 2s r t =0 时，则 rt + r + t s2 2s = 0，从而 f 2.s = rt2s-r -1 = 0L解得r二t,这与r : t矛盾综上所述，不存在满足题意的三项cr,cs,ct16分20. (1) a =1, f (x)=x 1 In xrt r t - s - 2s2s - r -t12分是x10.x1当x _1时,f (x) = x _1 _ln x, f (x) =1 -x f (x)在区间1, V上是递增的.1当0 ： x ： 1, f (x) = 1xIn x, f (x) = -10x-f (x)

9、在区间(0,1)上是递减的.故a=1时，f (x)的增区间为1, +淬,减区间为(0, 1), fx)nm横0=4分1 x 1 若a -1,当x_a时，f(x)二x-a-lnx, f(x)=10.x x则f(x)在区间a,上是递增的；1 当 0 :： x ： a时，f (x)二 a x Tn x, f (x) - -10xf (x)在区间(0,a)上是递减的.6分若 0 : a : 1,当x - a时,f (x) = x -a -In x,1 x 1f (x) =1,x 1,f (x)0,a ： x ：1,f (x) ： 0x x则f(x)在区间1,V)上是递增的，f(x)在区间a,1)上是递减的;1当 0 ： x ： a时，f (x)二 axIn x, f (x)二-10,xf (x)在区间(0, a)上是递减的，而f (x)在x = a处连续；则f(x)在区间1, ：)上是递增的，在区间(0, 1) 上是递减的综上：当a_1时,f (x)的递增区间是aJ，递减区间是(0, a)；当0 : a : 1时，f(x)的递增区间是1,：)，递减区间是(0，1) 1