新北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形证明 1.1.4等腰三角形

1、 北师大版八年级数学下第一章三角形的证明北师大版八年级数学下第一章三角形的证明 1.1.4 等腰三角形等腰三角形制作人制作人 靳军强靳军强学习目标 1、探索一个三角形成为等边三角形的条件并证明正确性 2、探究有30角的直角三角形的性质及推理过程 3、运用所学知识进行相关的证明和计算自学指导 阅读课本阅读课本10-13页，回答问题：页，回答问题： （1）一个三角形满足什么条件时是等边三角形？）一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （2）一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？）一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？ （3）用两个含）用两个含30角的全等的三角尺，能拼出一个怎样角的

2、全等的三角尺，能拼出一个怎样的三角形？的三角形？ 请回答上述问题并证明你的结论吗？把你的证明思路与同请回答上述问题并证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。伴进行交流。 总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么他，那么他所对的直角边与斜边的数量关系是？所对的直角边与斜边的数量关系是？ （4）阅读例题体会运用知识并解决随堂练习和习题）阅读例题体会运用知识并解决随堂练习和习题1命题的证明命题的证明 我能行我能行w定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .证明证明: :AB=AC, B=60AB=

3、AC, B=600 0( (已知已知),), C=B=60 C=B=600 0.(.(等边对等角等边对等角) ) A=60 A=600 0( (三角形内角和定理三角形内角和定理) ) A=BA=B（等式性质）（等式性质）. . AC=CB AC=CB（等角对等边）（等角对等边）. . AB=BC=AC AB=BC=AC（等式性质）（等式性质）. . ABCABC是等边三角形是等边三角形( (等边三角形意义等边三角形意义).).已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中 AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0. .求证求证: :ABCABC是等边三角形是等边三角形. . ACB60

4、0几何的几何的三种语言三种语言 回顾反思回顾反思驶向胜利的彼岸w定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .在在ABCABC中中, ,AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0( (已知已知).).ABCABC是等边三角形是等边三角形 ( (有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形边三角形).).这又是一个判定这又是一个判定等边三角形等边三角形的根据之一的根据之一ACB600驶向胜利的彼岸命题的证明命题的证明 我能行我能行w定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. .证明证明

5、: :A=B (A=B (已知已知),), BC=AC,( BC=AC,(等角对等边等角对等边).). 又又B=C(B=C(已知已知),), AB=AC,( AB=AC,(等角对等边等角对等边).). AB=BC=AC( AB=BC=AC(等式性质等式性质).). ABCABC是等边三角形是等边三角形( (等边三角形意义等边三角形意义) )已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,A=B=C.,A=B=C.求证求证: :ABCABC是等边三角形是等边三角形. .ACB几何的几何的三种语言三种语言 回顾反思回顾反思w定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边

6、三角形在在ABCABC中中, ,A=B=CA=B=C( (已知已知),),ABCABC是等边三角形是等边三角形( (三个角都相三个角都相等的三角形是等边三角形等的三角形是等边三角形).).ACB 驶向胜利的彼岸命题的猜想命题的猜想 我能行我能行w1 1 操作操作: :用两个含有用两个含有30300 0角的三角尺，角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？能证明你的结论吗？300300300300结论结论: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所对的直角角所对的直角边等于斜边的一半边等于斜边的一半. .w能拼出一个等边三角形吗？说说你的理

7、由能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. .w由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中, 30, 300 0角所对的角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？直角边与斜边有怎样的大小关系？300300300驶向胜利的彼岸命题的证明命题的证明 我能行我能行w定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. .已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,A=30,A=300 0求证求证:BC= AB.:BC= AB.21300A

8、BCD分析：突破如何证明分析：突破如何证明“线段的倍、分线段的倍、分”问题问题转转 化化“线段相等线段相等”问题问题延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接ADAD300ABCD ACB=90 ACB=900 0, (, (已知已知),), ACD=90 ACD=900 0( (平角意义平角意义) )在在ABCABC与与ADCADC中中 BC=DCBC=DC（作图）（作图） ACB=ACDACB=ACD（已证）（已证） AC=ACAC=AC（公共边）（公共边） ABCABCADCADC（SASSAS） AD=ABAD=AB ACB=90 ACB=900 0,A=30,A

9、=300 0( (已知已知),), B=60B=600 0( (直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余).). ABDABD是等边三角形是等边三角形( (有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形的等腰三角形是等边三角形是等边三角形) ) BC= BD= AB( BC= BD= AB(等式性质等式性质).).证明证明: : 延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接ADAD2121几何的几何的三种语言三种语言AB:AC:BC 回顾反思回顾反思驶向胜利的彼岸w定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么

10、它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. .在在ABCABC中中, ,ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0. .BC= AB.(BC= AB.(在直角三角形中在直角三角形中, , 30300 0角所对的直角边等于斜边的一角所对的直角边等于斜边的一半半).).21ABC300推论：推论：231:学无止境学无止境 例题欣赏例题欣赏驶向胜利的彼岸解解: :B=ACB=15B=ACB=150 0( (已知已知),),DAC=B+ACB= 15DAC=B+ACB= 150 0+15+150 0=30=300 0( (三角形的一三角形的一个外角个外角, ,等于和不

11、相邻的两内角的和等于和不相邻的两内角的和).).CD= AC=a(CD= AC=a(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个如果有一个锐角等于锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的那么它所对的直角边等于斜边的一半一半).).ACBD15015021例例 . .已知已知: :如图如图, ,等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15150 0, ,腰长为腰长为2a.2a.求求: :腰上的高腰上的高. .2a2a探索腰探索腰AB与底与底BC的关系？的关系？ABC300300DABBC3含含30300 0角的直角三角形角的直角三角形 隋堂练习隋堂练习驶向胜利的彼岸1.1.已知已知

12、: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB,ACB90900 0,A=30,A=300 0,CDAB,CDAB于于D.D.求证求证:BD=AB/4.:BD=AB/4.你能规范地写出证明过程吗？你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗你的证题能力有所提高吗? ?ACBD3001 1. .已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中中, ,高线高线BDBD和和CECE相交于相交于H H，BHC=120BHC=120,HD=1,HE=3,HD=1,HE=3,求求BDBD和和CECE的长。的长。ACDEBH13?120CH=2CE=5BH=6BD=72 2. .已知：如图，已知：如图，AB

13、CABC是等边三角形是等边三角形,D.E,D.E分别是分别是BC,ACBC,AC上的点上的点, ,且且AE=CDAE=CD,BE,BE和和ADAD相交于相交于P,BQAD, P,BQAD, 垂足是垂足是Q, (1)Q, (1)求求BPDBPD的度数的度数 (2)(2)求证求证:BP=2PQ:BP=2PQACDBPEQ603.将不全等的两个等边三角形将不全等的两个等边三角形ABCABC和等边三角形和等边三角形DEFDEF任意摆放任意摆放,请你画出请你画出不少于不少于5种种的摆放示意图的摆放示意图,使得使得AE=CF,同时同时满足在重合的满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点一条直线上有且只有三个

14、顶点(重合的顶点算一个重合的顶点算一个),并说明理由并说明理由.ABCEFABECF4矩形矩形ABCD中中,AB=6,BC=8,先把它对折先把它对折,折痕为折痕为EF展开后再折成如图所示展开后再折成如图所示,使点使点A落在落在EF上的点上的点A处处,求第二次折痕求第二次折痕BG的长的长.ABCEDGAF34BG365.已知正方形已知正方形ABCD中中,M是是AB的中点的中点,E是是AB延长延长线上的一点线上的一点,MNDM,DM,且交且交CBECBE的平分线于的平分线于N, N, (1)(1)求证求证:MD=MN:MD=MN(2)若将上述条件中的若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M是是AB上的上的任意一点任意一点”，其它条件不变，则结论，其它条件不变，则结论“MD=MN”MD=MN”还成立吗？还成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由如果成立请证明；若不成立请说明理由ADCNEBMADCNEBM.HH.回味无穷 等边三角形的判定等边三角形的判定: 定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边