第1章线性空间及线性变换

1、系统与控制中的矩阵理论北京科技大学自动化学院北京科技大学自动化学院北京科技大学自动化北京科技大学自动化系统与控制中的矩阵理论系统与控制中的矩阵理论 方保方保镕镕等等. . 矩阵论矩阵论第第2 2版版. . 清华大学出版社，清华大学出版社，20132013 . . 黄琳黄琳. . 系统与控制理论中的线性代数系统与控制理论中的线性代数. .科学出版社，科学出版社，19841984 须田信英等须田信英等. .自动控制中的矩阵理论自动控制中的矩阵理论. . 科学出版社，科学出版社，1979. 1979. 许以超等许以超等. .线性代数与矩阵论线性代数与矩阵论. .机械工业出版社，机械工业出版社，201

2、02010 何希勤何希勤 、张大庆张大庆. .控制理论与控制工程中的矩阵分析基础控制理论与控制工程中的矩阵分析基础. .科学出版社，科学出版社，2010.2010. 程云鹏等程云鹏等. . 矩阵论矩阵论第第3 3版版. . 西北工业大学出版社，西北工业大学出版社，2006.2006. 俞立俞立. . 鲁棒控制鲁棒控制: : 线性矩阵不等式处理方法线性矩阵不等式处理方法. .清华大学出版清华大学出版社，社，2002.2002. Stephen Boyd. Linear matrix inequalities in system and control Stephen Boyd. Linear m

3、atrix inequalities in system and control Theory. SIAM studies in applied mathematicsTheory. SIAM studies in applied mathematics，1994.1994. ustb2012北京科技大学自动化北京科技大学自动化总学时：总学时： 32 32 学分：学分：2 2先修课程先修课程: : 高等数学、高等数学、线性代数线性代数、现代控制理论现代控制理论教学目的教学目的: :矩阵理论是系统与控制科学的数学基础之一矩阵理论是系统与控制科学的数学基础之一，本课程主要介绍系统与控制学科中用到的

4、矩阵理论，本课程主要介绍系统与控制学科中用到的矩阵理论，包括，包括线性空间与线性变换、线性空间与线性变换、- -矩阵与矩阵与Jordan Jordan 标准型、标准型、矩阵矩阵分解分解、特征值估计与矩阵方程特征值估计与矩阵方程、 矩阵范数矩阵范数、矩阵矩阵分析分析、线性线性矩阵不等式等矩阵不等式等，为从，为从事系统和控制科学的各专业领域的教学和科研奠定良事系统和控制科学的各专业领域的教学和科研奠定良好的基础。好的基础。考核方式考核方式：闭卷闭卷考试考试（100100%）教师：教师：刘冀伟（刘冀伟（1-41-4）、张维存（张维存（5-75-7）系统与控制中的矩阵理论系统与控制中的矩阵理论北京科技

5、大学第一章第一章 线性空间线性空间与线性变换与线性变换20122012年年11 11月月4 4日日北京科技大学自动化北京科技大学自动化本章的主要内容本章的主要内容 线性空间线性空间 1.1 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质 1.2 线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标 1.3 线性子空间线性子空间 1.4 线性空间的同构线性空间的同构 线性变换线性变换 1.5 线性映射与线性变换线性映射与线性变换 1.6 线性变换的值域与核线性变换的值域与核 1.7 不变子空间不变子空间 1.8 特征值与特征向量特征值与特征向量 内积空间与酉空间内积空间与酉空间 1.9内积空间与酉空间内积空间与酉空间

6、北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.1线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质0空间空间为为体，体，矩阵为用矩阵为用北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.1线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质 多项式集合多项式集合 线性微分方程的线性微分方程的解集合解集合 温度场温度场 图像图像- -数字图像数字图像推广推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构和几何结构。的集合上定义具有线性运算的代数结构和几何结构。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.1线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质 数环与数域的概念数环

7、与数域的概念定义：定义：设设Z为非空数集且其中任意两个相同或互异的数为非空数集且其中任意两个相同或互异的数之和、差和积仍属于之和、差和积仍属于Z，则称，则称Z是一是一个个数环数环。 如果如果P是至少含有两个互异数的数环，并且其中是至少含有两个互异数的数环，并且其中任何两个数任何两个数a与与b（b0）的商仍属于）的商仍属于P，则说，则说P是一个是一个数数域域。全体整数全体整数-Z-Z、全体有理数全体有理数-Q-Q、全体实数、全体实数- -R、全体复数、全体复数- -C定理：任何一个数域比包含有理数域定理：任何一个数域比包含有理数域北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.1线性空间的定义与性质线性

8、空间的定义与性质定义定义 1.1.11.1.1设设 V是一个非空集合，它是一个非空集合，它的元素用的元素用 x,y,z 等表示等表示, ,并称之为并称之为向量向量. .K 是一个数域是一个数域, ,它的元素用它的元素用 k,l,m等表示等表示. . 如果如果 V满足下列条满足下列条件件; ;1. 1. 在在V中定义一个中定义一个加法运算加法运算, ,即当即当x,yV 时时, ,有唯一的和有唯一的和x+y V , ,且加法运算满足下列性质且加法运算满足下列性质 结合律结合律 (x+y)+z= x+(y+z); 交换律交换律x+y=y+x; 存在存在零元素零元素 0,0, 使得使得x+0=x; ;

9、 存在存在负元素负元素, ,即对任一向量即对任一向量 xV, ,存在存在yV使得使得x+y=02.2. 在在 V中定义中定义数乘数乘( (数与向数与向量的乘法量的乘法) )运算运算, ,即当即当 xV, , kK时时, ,有唯一的有唯一的kxV, ,且数乘运算满足下列性质且数乘运算满足下列性质 数因子分配律数因子分配律k(x+y)=kx+ky; ; 分配律分配律(k+l)x=kx+lx; ; 结合律结合律k(lx)=(kl)x; ;1x=x. .则称则称V为数域为数域 K上的上的线性空间线性空间. .实线性空间实线性空间- -K=R复线性空间复线性空间- -K=C北京科技大学自动化北京科技大学

10、自动化1.1线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质北京科技大学自动化北京科技大学自动化 零空间零空间-=0=0 问题：问题： 一般线性空间有无穷多个元素组成，能否找到有一般线性空间有无穷多个元素组成，能否找到有限个向量使得线性空间中的任意一个向量都可以限个向量使得线性空间中的任意一个向量都可以用这有限个向量表示？用这有限个向量表示？ 线性空间中的向量是抽象的，能否把向量与数域线性空间中的向量是抽象的，能否把向量与数域K上的数组联系起来，将向量的线性运算转化为数上的数组联系起来，将向量的线性运算转化为数域域K上数组的运算？上数组的运算？1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标北京科技大学自动

11、化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标定义定义1.2.11.2.1设设V V是数域是数域K K上的一个线性空间，上的一个线性空间， 是是V V中的一组向量，中的一组向量， 是数域是数域K K中的数，那么向中的数，那么向量量 称为向量称为向量 的的一个一个线性组合线性组合，有时也称向量，有时也称向量 可以由可以由 线性表出线性表出。 r,21rkkk,21rrkkk2211r,21r,21定义定义1.21.2.2.2设设V V是数域是数域K K上的一个线性空间，上的一个线性空间， 和和 是是V V上的两个向量组，如果（上的两个向量组，如果（1 1）中）中的任一向量都可由向

12、量组（的任一向量都可由向量组（2 2）表表出出，则称向量组（，则称向量组（1 1）可由向量组（）可由向量组（2 2）线性表出。如果向量组（）线性表出。如果向量组（1 1）和（）和（2 2）可以互相线性表出，则称向量组（）可以互相线性表出，则称向量组（1 1）和（）和（2 2）是）是等价等价的。的。r,) 1 (21s,)2(21一、维数与坐标一、维数与坐标北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标定义定义1.2.3 1.2.3 线性空间线性空间V V中的一组向量中的一组向量 称称为为线性相关线性相关的，如果在数域的，如果在数域K K中存在中存在r r个不全为

13、零的数个不全为零的数， 使得使得 。如果向。如果向量组量组 不线性相关，就称为不线性相关，就称为线性无关线性无关。1;,21rrrkkk,2102211rrkkkr,21北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标定义定义1 1. . 2.4 2.4 如果线性空间如果线性空间V V中有中有n n个线性无关的向量，但个线性无关的向量，但没有更多数目的线性无关的向量，那么没有更多数目的线性无关的向量，那么V V就称为是就称为是n n维维的表示为：的表示为：dimV=ndimV=n。如果在。如果在V V中可以找到任意多中可以找到任意多个线性无关的向量，那么个线性无关

14、的向量，那么V V就称为就称为无限维无限维的。的。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标n,1nxxx,21定义定义1. 1.2.5 2.5 n n维维线性空间线性空间V V中，中，n n个个线性无关向量线性无关向量 称为称为V V的一组的一组基基。V V中的任一中的任一向量向量，则则可以可以由这由这组组基线性表出，即基线性表出，即 其中其中 被被唯一确定的，这组数就称为唯一确定的，这组数就称为在在基基 下下的的坐标坐标，记，记为为 。nnxxxa2211n,21nxxx21定理定理1.2.11.2.1若若线性空间线性空间V V中有中有n n个个线性无关

15、向量线性无关向量 且且V V中任意向量都可以用它线性表出，那么中任意向量都可以用它线性表出，那么V V是是n n维维的的，而且，而且 就是就是V V的一组基。的一组基。n,21n,21北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标n,21对任意给定的对任意给定的n+1n+1个向量个向量 其均可由向其均可由向量组量组 线性表出，若其线性无关则有线性表出，若其线性无关则有n+1nn+1n，矛盾！命题得证。，矛盾！命题得证。Vn121,证明：证明：因为因为 线性无关的向量线性无关的向量, ,所以所以dimVn dimVn 要证明要证明V V是是n n维的维的，只要证明

16、任意，只要证明任意n+1n+1个向量必定线性个向量必定线性相关。相关。 n,21北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标二、坐标变换二、坐标变换 设设 和和 都是都是n维线性空间维线性空间V的基，的基，并且：并且： n,2121,nnnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111 V，在两组在两组基下基下的坐标分别为的坐标分别为：nxxx2121nxxx在不同基下坐标间的关系？在不同基下坐标间的关系？北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间

17、的基与坐标线性空间的基与坐标nnnnnnnnaaaaaaaaa2122221112112121两个基间的两个基间的过渡矩阵过渡矩阵A：nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211A是是可逆矩阵？可逆矩阵？北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标1112121222121212nnnnnnnnbbbbbbbbb111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb1212nnAB北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标xAxAxxxxxaaaaaaaaaxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnn

18、n121212222111211212121212122112211北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.3线性子空间线性子空间一、定义与性质一、定义与性质定义定义1.3.1 1.3.1 数域数域K上线性空间上线性空间V的一个非空子集的一个非空子集W称为称为V的的线性子空间线性子空间，如果，如果W对于对于V的两种运算也构成数域的两种运算也构成数域K上的线性空间。上的线性空间。分类：分类：平凡子空间平凡子空间V和和；非平凡子空间。；非平凡子空间。定理定理1.3.11.3.1 如果线性空间如果线性空间V的非空子集的非空子集W对于对于V的两种运的两种运算是封闭的，那么算是封闭的，那么W是是V的一个

19、子空间。的一个子空间。例：线性空间例：线性空间Rn中的齐次线性方程组中的齐次线性方程组Ax=0的全部解向的全部解向量组成一个子空间，这个子空间称作齐次方程组的解量组成一个子空间，这个子空间称作齐次方程组的解空间，解空间的基就是方程组的基础解系，其维数为空间，解空间的基就是方程组的基础解系，其维数为n-r，其中，其中r=rankA，n为为x的维数。的维数。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.3线性子空间线性子空间定义定义1.3.2 1.3.2 设设 是数域是数域K上线性空间上线性空间V中的一组中的一组向量，则这组向量所有可能的线性组合所组成的集合向量，则这组向量所有可能的线性组合所组成的集合

20、记为记为 。 定理定理1.3.21.3.2 是线性空间是线性空间V的一个子空的一个子空间，称为由间，称为由向量组向量组 生成的子空间生成的子空间。定理定理1.3.3 1.3.3 两个不同向量组生成相同线性子空间的充要两个不同向量组生成相同线性子空间的充要条件是两个向量组是等价的。并且子空间的维数是向条件是两个向量组是等价的。并且子空间的维数是向量组的秩。量组的秩。证明：证明： 生成相同线性子空间生成相同线性子空间两向量组是等价的两向量组是等价的 设设 两个向量组，如果两个向量组，如果r,21rspan,21rspan,21srspanspan,2121sr,2121r,21北京科技大学自动化北

21、京科技大学自动化1.3线性子空间线性子空间ririiiiriiisisiiiisiiibbbstbbbsikkkstkkkri221121221121., 0, 2 , 1,., 0, 2 , 1,所以两组向量等价所以两组向量等价两组向量等价两组向量等价srspanspan,2121srssssrspanspanspankkkstkkkspan,., 0,21212122112121反之亦然，命题成立反之亦然，命题成立北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.3线性子空间线性子空间定理定理1.3.4 1.3.4 设设W是数是数域域K上上n维线性空间维线性空间V的一个的一个m维子空维子空， 是是W

22、的一组基，那么这组向量必定可以的一组基，那么这组向量必定可以扩展为整个空间扩展为整个空间V的基的基。（基的扩展定理）（基的扩展定理）m,21证明：证明： 对维数差对维数差n-m作归纳作归纳 n-m=0，命题成立；，命题成立； 设设n-m=k，命题成立；，命题成立； 证明证明n-m=k+1时命题成立；设时命题成立；设 线性线性 无关，但不是无关，但不是V的一组基，则存在的一组基，则存在 与向量组与向量组m,211m设向量组设向量组等价，等价，1212,rtspanspan 12dim,rspant r,21的秩的秩为为t，而而12,t 是他的是他的一个极大线性无关组，所以一个极大线性无关组，所以

23、r,2112,t 与与由由定理定理1.2.11.2.1，北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.3线性子空间线性子空间定理定理1.3.5 1.3.5 V1、V2是线性空间是线性空间V的两个线性子空间，则它的两个线性子空间，则它 们的交集们的交集V1V2也是也是V的线性子空间。的线性子空间。 使得使得的维数为的维数为m+1，因为，因为n-(m+1)=k121,mmspan121,mm由归纳假设知对由归纳假设知对是线性空间是线性空间V的一组基。的一组基。存在存在线性无关，所以线性无关，所以nmm,32也线性无关，由定理也线性无关，由定理1.3.31.3.3121,mmnmm,2121二、子空间的交

24、与和二、子空间的交与和定义定义1.3.3 1.3.3 设设V1、V2是线性空间是线性空间V的两个线性子空间，它的两个线性子空间，它们的和们的和V1+V2=1+2| 1 V1，2V2定理定理1.3.6 1.3.6 V1、V2是线性空间是线性空间V的两个线性子空间，则它的两个线性子空间，则它 们的们的和和V1+V2也也是是V的线性子空间的线性子空间。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.3线性子空间线性子空间定理定理1.3.7 1.3.7 V1、V2是线性空间是线性空间V的两个线性子空间，则的两个线性子空间，则 dimV1+dimV2-dim(V1V2)=dim(V1+V2)证明：证明： 设设d

25、imV1=n1，dimV2=n2，dim(V1V2)=m 取取V1V2的基的基 ，由定理，由定理1.3.41.3.4可可扩展扩展出出V1和和V2的基的基 和和证明证明 m,21mnm1121,mnm2121,mnmnm211121,是是V1+V2的基的基112112121212121112(,)(,)?(,)mnmmnmmnmnmVspanVspanVVspan 00211112211111111mnmnmmnmnmnmnmmqqppkkqqppkk北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.3线性子空间线性子空间三、子空间的直和三、子空间的直和定义定义1.3.41.3.4设设V1、V2是线性空间

26、是线性空间V的两个线性子空间，它的两个线性子空间，它们的和们的和V1+V2中的元素中的元素的分解是的分解是 =1 +2，其中，其中1和和2 是唯一的是唯一的，称，称V1+V2为为直和，记为直和，记为V1 V2。定理定理1.3.8 1.3.8 V1+V2是是直和的充要条件是：等式直和的充要条件是：等式1+2 =0 成立，只有成立，只有1=0，并且，并且2=0。其中。其中：1 V1，2V2证明：证明： V1+V2是是直和，所以零向量的分解式直和，所以零向量的分解式唯一唯一, ,成立成立 充分性充分性：设设 V1+V2 ，并且并且有两个分解有两个分解 = 1+ 2=1+2 其中其中1，1V1，2，2

27、V2 ( (1-1)+(2-2) =0，所以，所以1=1，2=2 所以所以分解分解式是唯一的。式是唯一的。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.3线性子空间线性子空间定理定理1.3.9 1.3.9 V1+V2是是直和的充要条件是：直和的充要条件是： V1 V2=0， 或或 Dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。定理定理1.3.101.3.10设设U是线性空间是线性空间V的一个子空间，那么的一个子空间，那么一定一定存在存在一个一个V的子空间的子空间W，使得：，使得： V=U W推广：推广：V1，V2， ，Vk是是线性空间线性空间V的子空间的子空间，那么那么如下条件是等价的。如下条件是等

28、价的。W= V1+V2+ +Vk是直和；是直和； 零向量表示唯一；零向量表示唯一；Vi V1+V2+ +Vi +Vi+1+ +Vk =0dimW=dim V1+dimV2+ +dimVk北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.4线性算子与线性空间的同构线性算子与线性空间的同构定义定义1.4.11.4.1 数数域域K上上的两个线性空间的两个线性空间V和和V称为称为同构同构的，的，如果由如果由V到到V有一个有一个1-1映上的映射映上的映射，具有以下的性，具有以下的性质质: (+)=()+() (k)=k()其中其中： 、 V，k K。同时称同时称为为同构映射同构映射。定理定理1.4.11.4.1

29、数数域域K上上的的两线性空间同构的关系为两线性空间同构的关系为等价关等价关系系。 给定给定V的一组的一组基基。V中的任一中的任一向量向量可以由这组基唯一可以由这组基唯一线性表出线性表出， 坐标坐标 。加法、数乘都可以变为坐标的加。加法、数乘都可以变为坐标的加法和数乘运算。法和数乘运算。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.4线性算子与线性空间的同构线性算子与线性空间的同构定理定理1.4.21.4.2设设数域数域K K上上的两的两个线性空间个线性空间V1到到V2的同构映的同构映射，则射，则将零向量变为零向量，且同构映射保持线性关将零向量变为零向量，且同构映射保持线性关系不变。系不变。证明：证明

30、：1) 1)(0)=(0+0)=(0)+(0) (0)=02)2)1,2,r线性相关，线性相关， (1), (2), (r)也线性相也线性相关。关。3) 1,2,r线性线性无无关关， (1), (2), (r)也也线性线性无无关关。定理定理1.4.31.4.3 数数域域K上上的两个有限维的线性空间的两个有限维的线性空间同构同构的的充充要条件要条件是它们有相同的是它们有相同的维数维数。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.5 线性映射与线性变换线性映射与线性变换定义定义1.5.11.5.1设设V，W是数域是数域K上的线性空间，上的线性空间， :VW，如，如果果满足如下条件满足如下条件(像，原像

31、像，原像) 对任意的对任意的,V, (+)= ()+ () 对任意的对任意的V,kK, (k)=k() 则称则称是是V到到W的的线性映射线性映射(线性算子线性算子)，如果，如果W=V，称，称是是V上的上的线性变换线性变换。线性线性映射映射的性质：的性质： (0)=0， (-)=- () (k11+ +knn)=k1 (1)+kn (n) 1, ,n线性相关线性相关，则则 (1) (n)线性相关线性相关一、线性变换的定义一、线性变换的定义北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.5 线性映射与线性变换线性映射与线性变换定理定理1.5.11.5.1：线性变换的和，积和数乘还是线性变换。：线性变换的和

32、，积和数乘还是线性变换。定理定理1.5.21.5.2：线性变换的加法满足交换律和结合律，存：线性变换的加法满足交换律和结合律，存在零变换和负变换。积满足结合律。线性变换的数乘在零变换和负变换。积满足结合律。线性变换的数乘满足结合律、分配率。满足结合律、分配率。定理定理1.5.31.5.3：数域：数域K上的线性空间上的线性空间V的线性变换全体构成的线性变换全体构成的集合对于以上加法和数乘构成数域的集合对于以上加法和数乘构成数域K上的线性空间。上的线性空间。二二、线性变换的运算、线性变换的运算 设设、是线性空间是线性空间V的线性变换的线性变换 和：和： (+)(a)= (a)+ (a),a V 积

33、积： (a)= (a) ,a V 数数乘乘：(k )(a)=k(a) aV, kK北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.5 线性映射与线性变换线性映射与线性变换定义定义1.5.21.5.2：设设是线性空间是线性空间V的线性变换，称的线性变换，称是可逆是可逆的如果存在变换的如果存在变换，使得，使得=I，变换，变换称为变换称为变换的逆变换，记为的逆变换，记为-1。定理定理1.5.41.5.4：逆变换也是线性变换。逆变换也是线性变换。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.5 线性映射与线性变换线性映射与线性变换定理定理1.5.51.5.5：设设V是是K上的上的n维线性空间，维线性空间， 是是V的

34、一组基，如果线性变换的一组基，如果线性变换与与在这组基上的作用相在这组基上的作用相同，那么同，那么与与相等。相等。证明：证明： = 任意的任意的V都有都有 = n,21)()()()()()(221122112211nnnnnnxxxxxxxxx定理定理1.5.61.5.6：设设 线性空间线性空间V的一组基，的一组基， 是是V中的任意中的任意n个向量，则存在唯一的线性变换个向量，则存在唯一的线性变换 ，使，使得得： i=i，i=1,2，n。 n,21n,21三、线性变换的矩阵三、线性变换的矩阵表示表示北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.5 线性映射与线性变换线性映射与线性变换证明：证明：设

35、设 线性空间线性空间V的一组基的一组基, ,任意任意V 则有则有 =x1 1+x22+xnn 构造构造V上线性变换上线性变换 ：VV， = x1 1+x2 2+xn n 则使得：则使得： i=i，i=1,2，n。 任意的任意的 ， V (+)= + kP (k)=k () n,21定义定义1.5.31.5.3：设：设 线性空间线性空间V的一组基，的一组基， 是是V中的线性变换，基向量的像可以被基线性表出：中的线性变换，基向量的像可以被基线性表出：n,21nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111nnn21nn22121n11211Aaaaaaaaaa北京科技

36、大学自动化北京科技大学自动化1.5 线性映射与线性变换线性映射与线性变换称矩阵称矩阵A为变换为变换在基在基 下的矩阵下的矩阵),(),(2121nnn,21定理定理1.5.71.5.7：设设 线性空间线性空间V的一组基，在这组的一组基，在这组基下每个线性变换对应的矩阵具有如下性质：基下每个线性变换对应的矩阵具有如下性质： 线性变换的和对应矩阵的和；线性变换的和对应矩阵的和； 线性变换的乘积对应矩阵的乘积；线性变换的乘积对应矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积； 可逆变换对应可逆矩阵，且逆变换对应逆矩阵。可逆变换对应可逆矩阵，且逆变换对应逆矩阵

37、。n,21nnnnnnaaaaaaaaaA212212111211北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.5 线性映射与线性变换线性映射与线性变换定理定理1.5.8 1.5.8 设线性变换设线性变换在基在基1,2,n下的矩阵表示为下的矩阵表示为A，向量，向量在基下的坐标为在基下的坐标为( (y1,y2,yn) )T T，则，则在这组基下在这组基下的坐标表示为的坐标表示为： ( (x1,x2,xn) )T T=A ( (y1,y2,yn) )T T定理定理1.5.9 1.5.9 设线性变换设线性变换在在两组两组基基1,2,n和和1,2,n,下的矩阵表示为下的矩阵表示为A和和B，两组基间的过渡矩阵

38、两组基间的过渡矩阵为为X，则有，则有B=X-1AX，称矩阵，称矩阵A与与B是相似的。是相似的。定理定理1.5.10 1.5.10 线性变换在不同两组基下所对应的矩阵是相线性变换在不同两组基下所对应的矩阵是相似的，两个相似矩阵可以看作同一线性变换在不同基下似的，两个相似矩阵可以看作同一线性变换在不同基下所对应的矩阵。所对应的矩阵。注：注：相抵相抵- -线性算子线性算子北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.6 线性变换的像与核线性变换的像与核定义：设定义定义1.6.1：设：设是线性空间是线性空间V上的线性变换，上的线性变换， 的全体的全体像组成的集合称为像组成的集合称为的的像像，记为，记为Im

39、(R()；所有被；所有被变变为零向量的向量集合称为为零向量的向量集合称为的的核核，记为，记为Ker (N() 。0,|ImandVKerV定理定理1.6.1 ：设：设是线性空间是线性空间V上的线性变换，则上的线性变换，则Im和和Ker都是都是V的子空间。的子空间。 Im的维数称为的维数称为的的秩秩，Ker的维数的维数称为称为的的零度零度。定理定理1.6.2：设：设是线性空间是线性空间V上的线性变换，上的线性变换，1,2, ,n是是V的一组基，的一组基，在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为A，则，则 Im=span(1, 2, , n) 的秩的秩=rankA北京科技大学自动化北京科技大学自动化1

40、.6 线性变换的像与核线性变换的像与核证明：证明： xV，则有，则有x=x11+x22+ +xnn x=(x11+x22+ +xnn)= x11+x22+ +xnn 即：即：Imspan(1, 2, , n) 的秩的秩=Im的秩，矩阵的秩，矩阵A是由基像组的坐标组成，而是由基像组的坐标组成，而 基像组的秩与其坐标组成的矩阵秩相同基像组的秩与其坐标组成的矩阵秩相同 所以：所以：的秩的秩=rankA定理定理1.6.3：设：设是是n维线性空间维线性空间V上的线性变换，则上的线性变换，则 的秩的秩+的零度的零度=n证明：证明： 设设的零度为的零度为r，取，取Ker 的一组基的一组基1,2, ,r,并将

41、其并将其 扩展成扩展成V的一组基的一组基1,2, ,r, r+1, ,n,北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.6 线性变换的像与核线性变换的像与核 Im=span(1, 2, , n)= span(r+1, , n) 的秩的秩+的零度的零度=n例：例：若线性连续系统若线性连续系统(A,B,C)不完全能控，其维数为不完全能控，其维数为n，则状态空间则状态空间 X=Xc Xnc， Xc=ImWc称能控子空间；称能控子空间；Xnc=KerWc称不能控子空间。称不能控子空间。其中：其中：证明：证明：Xc=ImWc称为能控称为能控子空间子空间0000( , )( , ) ( )( , ) ( )tT

42、ctW t ttBtBd1010010011001001,( , )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( ) ( ); ( )( , ) ( )ctTcttTtxXxX stxW tt xtBtBd xtBudutBx 北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.6 线性变换的像与核线性变换的像与核Xc的所有状态是能控的的所有状态是能控的；100( , ) ( ) ( )ttxxt t B t u t dt是能控状态01010,:,( , )0( , )0( , ) ( )0cncccncncTTcncnccncncxxxwhere xXxXW t t xx W t t xt t B

43、 tx 1010101000200( , ) ( )( )( , ) ( ) ( )( ),( , ) ( ) ( )( )( , ) ( ) ( )( )00nctccttncccttTncncnccttTTnccnctxt t B t u t dtxxxt t B t u tu t dtxxxxt t B t u tu t dtt t B txu tu t dtx能能控控的状态的状态一定一定在在XcXc中中北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.7 不变子空间不变子空间定义定义1.7.1：设：设是数域是数域K上线性空间上线性空间V上的线性变换，上的线性变换，W是是V的子空间，如果的子空间，

44、如果W中的向量在中的向量在 的像仍在的像仍在W中，中，称称W是是的的不变子空间不变子空间。例：线性空间例：线性空间V上的线性变换上的线性变换的核与像都是的核与像都是V的不变的不变子空间。子空间。定理定理1.7.1：设：设是数域是数域K上线性空间上线性空间V上的线性变换，上的线性变换，W是是V的不变子空间，如果的不变子空间，如果W的基为的基为1,2, ,r，将其扩展，将其扩展成成V的一组基的一组基1,2, ,r, r+1, ,n，则，则在这组基下的矩在这组基下的矩阵有如下形式。阵有如下形式。2212110AAArr北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.7 不变子空间不变子空间证明：证明：1,2

45、, ,r是是W的基，所以有的基，所以有 i=ai1 1+ai2 2+ +air r，i=1,2，r 命题得证命题得证定理定理1.7.2：线性空间：线性空间V= V1 V2，V1，V2都是都是的不变的不变子空间，如果子空间，如果V1的基为的基为1,2, ,r， V2的基是的基是r+1, r+2, ,n则则在这组基下的矩阵有如下形式。在这组基下的矩阵有如下形式。221100AArr北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量定义定义1.8.11.8.1：设：设为线性空间为线性空间V上的线性变换，如果存在上的线性变换，如果存在非零向量非零向量V， K,使得使得=，则称数

46、，则称数为为的特的特征值，向量征值，向量为线性变换为线性变换的对应于特征值的对应于特征值的特征向的特征向量。量。定理定理1.8.11.8.1： 设设V上线性变换上线性变换在基在基 下的矩下的矩阵为阵为A，则，则A的特征值的特征值就是变换就是变换的特征值；若的特征值；若是是A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量，则的特征向量，则 就就是是的特征向量。（的特征向量。（变换变换- -矩阵的特征值特征向量矩阵的特征值特征向量）n,21n21121212,nnTnAA 证明：一、定义与基本性质一、定义与基本性质北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量定义定义1.8.2

47、1.8.2：A是数域是数域K上的上的nXn矩阵，定义矩阵，定义det(I-A)为为A的特征多项式。的特征多项式。0det00AIAIA矩阵矩阵A的特征根就是特征多项式的特征根就是特征多项式det(I-A)的根；的根；相应的特征向量为线性方程组相应的特征向量为线性方程组(I-A)=0的非零解。的非零解。例：上三角矩阵的特征根求解例：上三角矩阵的特征根求解问题：线性变换在不同基下的矩阵不同，不同矩阵的问题：线性变换在不同基下的矩阵不同，不同矩阵的特征值与特征向量也不同，哪么线性变换的特征值？特征值与特征向量也不同，哪么线性变换的特征值？求特征值和特征向量的方法求特征值和特征向量的方法北京科技大学自

48、动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量定理定理1.8.21.8.2：相似矩阵具有相同的特征多项式。：相似矩阵具有相同的特征多项式。定理定理1.8.31.8.3：任何一个复方阵必相似于一个上三角矩阵。：任何一个复方阵必相似于一个上三角矩阵。证明证明：对方阵的阶数使用数学归纳法：对方阵的阶数使用数学归纳法 n=1，显然成立；假设，显然成立；假设n=k-1时结论成立；时结论成立； 证明证明n=k时结论成立时结论成立 A看成线性空间看成线性空间V上的线性变换上的线性变换的矩阵的矩阵 设设是是的一个特征值，则有非零向量的一个特征值，则有非零向量1使得使得 1=1，用用1扩展出扩展出

49、V的一组基的一组基1,2, ,n 则线性变换则线性变换在这组基下的矩阵具有如下形式在这组基下的矩阵具有如下形式110*AAPP上上三三角角阵阵QAQ11QAQQAPPQ11110*001001北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量定理定理1.8.41.8.4：矩阵：矩阵A是是n阶方阵，阶方阵，f(x)是一个多项式，若是一个多项式，若1,2,n是是A的特征值，则的特征值，则f(1), f(2), f(n)是是f(A)的特的特征值征值。定理定理1.8.51.8.5：矩阵：矩阵A是是n阶方阵，阶方阵，f(x)是一个多项式，若是一个多项式，若f(A)=0，则，则f(

50、1)= f(2)= f(n)=0。定理定理1.8.61.8.6：矩阵：矩阵A是是n阶可逆方阵，若阶可逆方阵，若1,2,n是是A的特的特征值，则征值，则1-1, 2-1, n-1是是A A-1 -1的特征值的特征值。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量二、对角化二、对角化定理定理1.8.71.8.7： 设设是是n维线性空间维线性空间V上的上的线性变换，线性变换，的矩阵可以在某一组基下表示为对角阵的充要条件是的矩阵可以在某一组基下表示为对角阵的充要条件是有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量。定理定理1.8.71.8.7： 设设A是是n阶方阵，则阶方阵

51、，则A相似于对角阵的相似于对角阵的充要充要条件是条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量。定理定理1.8.81.8.8：若：若1, 2, ,m为数域为数域K上上n维线性空间维线性空间V上上线性变换线性变换的不同特征值，则的不同特征值，则 V 1+V 2+ +V m= V 1 V 2 V m特征子空间特征子空间： 属于特征值属于特征值的全体特征向量，添加的全体特征向量，添加0向量的集合构成向量的集合构成V的一个子空间的一个子空间, ,记为记为V 。( (不变子空不变子空间间) )北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量V1+V2+ +Vk=V 1

52、V 2 V k成立成立即需要证明即需要证明V k (V1+V2+ +Vk-1)=0设设v V k (V1+V2+ +Vk-1)则则v=v1+v2+ +vk-1，vi V i ,i=1,2, ,k-1v= v1+ v2+ + vk-1kv=k (v1+v2+ +vk-1 )=1v1+2 v2+ +k-1 vk-10=(k-1)v1+(k-2)v2+ +(k-k-1)vk-1V1+V2+ +Vk-1是直和，所以是直和，所以(k-i)vi=0但但(k-i)0，vi=0，v=0证明证明：对：对m使用数学归纳法使用数学归纳法 m=1，显然成立；假设，显然成立；假设m=k-1时结论成立；时结论成立； 证明

53、证明m=k时结论成立时结论成立北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量推论推论：如果：如果n阶矩阵阶矩阵A有有n个不同的特征值，则个不同的特征值，则A必相似必相似于对角阵于对角阵推论推论：线性变换的属于不同特征值的特征向量必线性：线性变换的属于不同特征值的特征向量必线性无关。无关。定理定理1.8.91.8.9：设：设是是n维线性空间维线性空间V中的线性变换，中的线性变换，0是是的特征多项式的的特征多项式的m重根，重根，V0是属于是属于0的特征子空间，则的特征子空间，则dimV0m.北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量定理定

54、理1.8.101.8.10：矩阵：矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A有完全特有完全特征向量系。征向量系。定义定义1.8.41.8.4：设：设是有限维线性空间是有限维线性空间V上的线性变换，上的线性变换，是是的一个特征值，的一个特征值， V 是属于是属于 的特征子空间，则称的特征子空间，则称dimV 为为的的度数或几何重数度数或几何重数，线性变换线性变换的特征多项式的特征多项式根的重数称为根的重数称为的的重数或代数重数重数或代数重数，若，若的任一特征值的任一特征值的度数等于重数，则称的度数等于重数，则称有有完全特征向量系完全特征向量系。定理定理1.8.111.8.11：设：设1,

55、2, ,m为数域为数域K上上n维线性空间维线性空间V上上线性变换线性变换的不同特征值，则的不同特征值，则在某组基下的矩阵可以在某组基下的矩阵可以对角化的充要条件是对角化的充要条件是 V= V 1 V 2 V m北京科技大学自动化北京科技大学自动化 解：解： 求特征值，由求特征值，由 0 AI得：得： 2, 1321求特征向量求特征向量 ip，并组成变换矩阵并组成变换矩阵P及及P-1 111App0011p333App1102p1003p。，求设AteA210010001( (采用变换矩阵法采用变换矩阵法) ) 例例1.8特征值与特征向量特征值与特征向量北京科技大学自动化北京科技大学自动化110

56、010001P 1100100011P 求对角阵求对角阵 2000100011PAPJ1.8特征值与特征向量特征值与特征向量A A矩阵的特征值矩阵的特征值1 1的代数重数的代数重数=几何重数几何重数北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量三、极小多项式三、极小多项式Kayley-HamiltonKayley-Hamilton定理定理定理定理1.8.13 1.8.13 ：（：（Caylay-HamiltonCaylay-Hamilton定理）定理）A是数域是数域K上的上的nXn矩阵，矩阵，f()=det(I-A) )为为A的特征多项式。则有：的特征多项式。则有：

57、 f(A)=An-(trA)An-1+ +(-1)ndetA*I=0定义定义1.8.51.8.5：若：若n阶矩阵阶矩阵A适合非零首一多项式适合非零首一多项式m(x)，且，且m(x)是是A所适合多项式中次数最小者，则称所适合多项式中次数最小者，则称m(x)是是A的的极小多项式极小多项式定理定理1.8.121.8.12： m(x)是是n n阶矩阵阶矩阵A的极小多项式，则的极小多项式，则m(x)是唯一的；是唯一的； 相似矩阵具有相同的极小多项式相似矩阵具有相同的极小多项式北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量例：应用例：应用凯莱凯莱哈密顿定理求哈密顿定理求 Ate

58、若方阵若方阵 nnA的特征方程为：的特征方程为： 0.)det(0111aaaAInnn0.0111IaAaAaAnnn则必有：IaAaAaAAAIaAaAaAnnnnnnn011011111.由定理有：nA即即是是 IA,AAn-n-,21的线性组合，的线性组合， n),(kAk也均是也均是IA,AAn-n-,21的线性组合的线性组合。北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量2 2111112!(1)!Atnnn neIAtAtA tAtnn 121210( )( )( )nnnnat Aat Aa t Aa I) 10()(n,i ,tai如何确定如何确定

59、121211112122221111ntnntntnnneee011()()()na ta tat=1 1）当）当A A的特征值互异时的特征值互异时， ( )ia t的确定方法的确定方法： 北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量2)2)当当A A的特征根有重根的特征根有重根（n n重特征根重特征根）tnttnnnetteennttt1121110)!1() 1(11)()()(。，求设AteA210010001( (凯莱凯莱- -哈密尔顿定理哈密尔顿定理) ) 例例北京科技大学自动化北京科技大学自动化1.8特征值与特征向量特征值与特征向量解：解：求特征值：求特征值 2, 1321)()