第4章 非线性方程(组)迭代解法

1、第四章第四章 非线性方程非线性方程( (组组) )的迭代解法的迭代解法设设有有一一元元非非线线性性方方程程s若若存存在在常常数数 , ,个个解解或或一一个个根根，能能分分解解成成(4.1)sm则则称称 是是方方程程一一个个 重重根根， ( )0mf xxsxs( )( )( )( )零零点点。 ( )0f s 使使得得，(4.1)s则则 是是方方程程的的一一 ( )0 (4.1)f x ( )sf x也也称称 是是的的一一个个零零点点。( )f x若若( )sf xm或或称称 是是的的重重注注意意：只只有有很很少少类类型型的的非非线线性性方方程程能能求求出出解解析析解解来来，大大多多数数非非线

2、线性性方方程程只只能能求求其其数数值值解解。543 7210sin0 xxxxx 方方程程和和如如e e：都都不不能能求求出出其其解解析析解解，只只能能用用迭迭代代的的方方法法求求其其数数值值解解。4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法4.1.1 对分法对分法( ) ( )0,f a f b f (x)在区间在区间a,b上只有一根，上只有一根，且且( ) , ,f xC a b设设则可用对分法求方程则可用对分法求方程( )0f x 的近的近似根。似根。算法算法4.1(对分法对分法)v输入输入00,aa bb及精度水平及精度水平00;和和v对于对于k =0,1,执行执行(1) 计算计算;

3、2kkkabx(2) 若若kkba(),kf x或或则停止计算，则停止计算， 取取,ksx否则执行否则执行(3)；(3) 若若() ()0,kkf xf a则令则令11,;kkkkaa bx若若() ()0,kkf xf b则令则令11,kkkkax bb。()/2)1 0 1.5707963 0.07829142 0 0.7853982 -0.53118053 0.3926991 0.7853982 -0.24242104 0.5890486 0.7853982 -0.08578715kabfab 0.6872234 0.7853982 -0.00464036 0.7363108 0.785

4、3982 0.03660747 0.7363108 0.7608545 0.015928416 0.7390432 0.7390911 -0.000030117 0.7390671 0.7390911 -0.0000100401139918 0.7390791 0.7390911 -0.00000001165581*0.739085x ( )cos0f xxx 求求方方程程的的根根，要要求求根根或或函函解解例例1- -7 7数数值值绝绝对对误误差差限限不不超超过过1 10 0 。4.1.2 简单迭代法及其收敛性简单迭代法及其收敛性简单迭代法的基本步骤：简单迭代法的基本步骤：v 将方程将方程(

5、)0f x 化为等价方程化为等价方程v 选定方程的解选定方程的解 s 的一个初始近似值的一个初始近似值0;xv 按递推式按递推式产生序列产生序列 ;kx其极限必为方程其极限必为方程(4.2)的解的解s，( )xx(4.2)1(),0,1,2,kkxxk(4.3) kx收敛，收敛，v 若若则当则当k 足够大时可用足够大时可用kx作为根的近似值。作为根的近似值。称称( ) x为为迭代函数迭代函数，( )ss为为的的不动点；不动点；( ) x简单迭代法简单迭代法(4.3)又称为又称为不动点迭代法不动点迭代法。( )yxy x0P1Q1P2P*P2Q( ) ) yxxxy(x的交点即真根。 迭代过程的

6、几何表示 *x1x0 xOxy2x例例2*1*. ( ) , 1 , ( );(2)01, , , ( )( )( ) , , , , ()(0,1,) nnxa bxa baxbLx ya bxyL xyxxa bxa bxxnx0定理 设函数在区间上满足条件（ ）对任意，都有存在常数使得对一切都有则方程在内有唯一的根且对任何初值x迭代序列均收敛于，并有*10 x1nnLxxxL收敛充分性定理(一) 收敛充分性定理(二) *1*. ( ) , 1 , ( );(2)01, , , ( )( ) , , , , ()(0,1,) xnnxa bxa baxbLxa bxLxxa bxa bxx

7、nx0定理 设函数在区间上满足条件（ ）对任意，都有存在常数使得对一切都有则方程在内有唯一的根且对任何初值x迭代序列均收敛于，并有101nnLxxxL收敛充分性定理(三) *01* ( )(,)( )()1, () (0,1,2,).nnxxO xxxxxxxxxxnx 定理：如果函数在 的一邻域内连续可微， 为方程的根，且则存在正数使得对任意迭代序列收敛于020000( )0 02f x xTaylor()f(x)f() (x-)()!fxxfxxxx在真根附近点展开成级数：4.2. Newton 法 非线性问题的最简单解法是线性近似. 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的

8、解，这就是Newton法的基本思想)0( 000011)()()f(xxxfxfxxx：作为近似根解出 , 2 , 1 , 0 ),()( Newton 1nfxfxxxnnnn法：依次产生迭代格式，称00 000 xx)(xf)f(x:f(x)取线性部分近似代替 Newton 法的几何解释 )x(f)x(fxxx)y01011 0( x：为第二个近似根轴交点与000000 ,() ( ) ()()()ff xyfxxxxfxxx当在取后（在真根附近），过作的切线，则切线方程： 0 1 (0，f(0)1*1()( ) (0112kkkkkpkxxxxxexxkeCCepppp 定义：设迭代过程

9、收敛于方程的根,如果迭代误差当时成立下列渐进关系式为常数）则称该迭代过程是 阶收敛的。为线性收敛，为超线性收敛，为平方收敛。迭代法收敛速度定义()1*(1)*()* (),( ) ()()()0;()0pkkppxxxxxxxxxp定理：对于迭代过程如果在所求根 的邻近连续，并且则该迭代过程在点邻近是 阶收敛的。*1*( )*( )( )*11()01,()()( ) ()()()!( )()()!kkkppkkpppkkkpkxxxxxxxxxpexxxxxppe证：由于故具有局部收敛性。将在根 处展开，由条件有 12* ( ) , ( )0,() ()( ) ( ) ( )( )( ) (

10、 ) ( )( )(kkkkxxa bxfxxxfxfxxxfxfx fxxfxxfxfx迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数的选取。如果当时则该迭代过程只可能是线性收敛。 对牛顿公式其迭代函数为由于假定是的一个单根，即*)0,()0,()0,fxxx则由上式知由上述定理知，牛顿法在根的邻近至少是平方收敛的。10 10. ( ) 1,( )(1)( ) ( )1( ) 10.5kxxxxxkkkkxef xxefxexf xxexxxxfxxexxxx例：用牛顿法解方程解：牛顿法迭代函数为牛顿公式为可先用二分法或经验确定迭代初值，再按牛顿公式进行迭代。 Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时， Newton法无法进行。牛顿法应用举例21 01 ().2kkkCxCCCxxx