第八章_静电场中导体和电介质

1、00qWqE21221021214rerqqF niiFF1库仑定律库仑定律与电力叠与电力叠加原理加原理0qFE rerqE204 rerdqE204点电荷的点电荷的场强和场场强和场强叠加强叠加0SqSdE 内内 真空中的真空中的高斯定理高斯定理0内qsdES高斯定理高斯定理环路定理环路定理0LldE E2021Ewre PPrdE dVwWe qdqW21 rdq04rq04 点电荷的点电荷的电势和电电势和电势叠加势叠加q2R2R1IIIIII球和球面球和球面rerE02112: I IrerE0122: I II IreRrrE2120132: I II II I 2R2R1IIIIII无

2、限长柱和柱面无限长柱和柱面 =0rerqqE202114: I IrerqE20124: I II IreRrrqE31320134: I II II IrR20211ln2 rR2012ln2 )1(4ln22120112013RrRR rqq02114 20201244Rqrq )(84422131012021013rRRqRqRq iE02112: I IiE02122: I II IiE02132: I II II IIIIIII无限大平面无限大平面 1 2 =0idddx021021122 x02122 )(20213x 求电场和电势分布求电场和电势分布 8.1 静电场中的导体静电场

3、中的导体 8.2 静电场中的电介质静电场中的电介质 8.3 有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理 8.4 电容、电容器电容、电容器 8.5 静电场的能量静电场的能量一、金属导体：一、金属导体：固定在晶格点阵上的固定在晶格点阵上的正离子正离子和不规则和不规则运动的运动的自由电子自由电子的集合的集合二、导体的静电平衡条件二、导体的静电平衡条件导体的静电平衡状态：导体的静电平衡状态：导体内部和表面都没有电荷导体内部和表面都没有电荷 定向移动的状态。定向移动的状态。EEEE 内内 导体静电平衡导体静电平衡 的微观过程的微观过程E- - - - - - -+ + + + + + +0 内内E表表面面 S

4、E 静电平衡条件静电平衡条件: :静电平衡条件下，导体是等势体，导体表面是等势面。8.1.1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件 0int EE8.1.2 静电平衡时导体上电荷的分布静电平衡时导体上电荷的分布 (Charge Distribution) 处于静电平衡导体，内部各处净电荷为零，电荷只分布在表面。处于静电平衡导体，内部各处净电荷为零，电荷只分布在表面。 处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与当地表面处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与当地表面紧邻处的电场强度大小成正比。紧邻处的电场强度大小成正比。取如图所示高斯面，由高斯定理和静电平衡条件取如图所示高斯面，由高斯

5、定理和静电平衡条件 SiqSdE0 0SSdESdESdE 下下底底侧侧面面上上底底 0SSE E0 0E 孤立导体孤立导体处于处于静电平衡静电平衡时，它的表面各处的面电荷密度与各处时，它的表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷密度也越大。表面的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷密度也越大。r小小 大大 RQqRrrR rqRQ0044 RRQ 24 rrq 24 解：导体表面某处的面元 dS 处的面电荷密 度为 ，它在其两侧紧邻处的场强为 E1 = E2 = / 20 例：面电荷密度为 的无限大均匀带电平面，其两侧 (或有限大均匀带电面两侧紧邻处）的场强为 / 20；

6、静电平衡的导体表面某处面电荷密度为 , 在表面外紧邻处的场强为 /0。为什么前者比后者小一半？导体dS1E2E3E4E除除 dS 外，导体表面其它电荷在外，导体表面其它电荷在 dS 内侧紧邻内侧紧邻处的场强为处的场强为 E3，在外侧紧邻处的场强为，在外侧紧邻处的场强为 E4 。由场强叠加原理和静电平衡条件得 E内内= E1 E3 = 0，由场强叠加原理得 E外外= E2 + E4 = 2E2 = / 0 E1 = E2 = E3 = E4 因为两个紧邻处相对于其它表面可看成一个因为两个紧邻处相对于其它表面可看成一个点，故点，故 E3 = E4应用：尖端放电应用：尖端放电E0 0 Er小，小，大

7、，大，E大大+ + + + + + + + + + + +- - - + + +电风电风为避免漏电危险，高电压的零部件必需做得十分光滑为避免漏电危险，高电压的零部件必需做得十分光滑或成球面或成球面, ,相反相反, ,避雷针利用其尖端的电场强度大，空避雷针利用其尖端的电场强度大，空气被电离，形成放电通道。气被电离，形成放电通道。尖端附近的场强特别强尖端附近的场强特别强, ,当场当场强达到一定程度后强达到一定程度后, ,空气会被空气会被击穿击穿, ,产生尖端放电现象产生尖端放电现象Q一、导体（带电量一、导体（带电量 Q）空腔处于静电平衡时）空腔处于静电平衡时S SqS S若腔内无带电体：若腔内无带

8、电体：若腔内有电荷若腔内有电荷 q: :Q电荷只分布在外表面上电荷只分布在外表面上内表面内表面: -: -q外表面外表面: : Q+qQQ+q-q8.1.3 静电屏蔽静电屏蔽 (Electrostatic Shielding)二、空腔导体可以屏蔽外电场。二、空腔导体可以屏蔽外电场。静电屏蔽静电屏蔽:静电平衡时静电平衡时导体内部的导体内部的电场为零电场为零 E EQ Q + + E Eq q 外表面以内空间外表面以内空间 = 0= 0当当Q Q大小或位置改变时，大小或位置改变时，q q ( (感应电荷感应电荷) )将自动调整，保证上述关系成立。将自动调整，保证上述关系成立。0 内内E+ + +

9、+ + + + + + + + + + + +- - - -Qq q 三、接地空腔导体既可以屏蔽外电场，也可以屏蔽内电场三、接地空腔导体既可以屏蔽外电场，也可以屏蔽内电场+ +- - - - - - - - -+ + + + + + + + + E Eq q + + E Eq q 内表面以外空间内表面以外空间 = 0= 0+ +- - - - - - - - -q qqq导体空腔内部有电荷，作高斯面，可以证明空腔内壁带导体空腔内部有电荷，作高斯面，可以证明空腔内壁带电为电为 q，由于导体本身不带电，由于导体本身不带电, , 因此其外表面必带电因此其外表面必带电量量 + +q q，会在外部产生电

10、场会在外部产生电场, ,而起不到屏蔽效果。而起不到屏蔽效果。如果将导体接地如果将导体接地, ,导体外表面的电荷就会沿导线移走导体外表面的电荷就会沿导线移走, ,使使外部场强为外部场强为0,0,因而因而接地空腔导体可保护腔外空间不受腔接地空腔导体可保护腔外空间不受腔内带电体的影响内带电体的影响，起到屏蔽作用，起到屏蔽作用. .QS例例1：一块大金属平板，面积：一块大金属平板，面积 S，总电量，总电量 Q，在其近旁平行放置第，在其近旁平行放置第二块大金属平板，此板不带电。二块大金属平板，此板不带电。(1) 求静电平衡时，金属板上的电求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布。荷分布及周围

11、空间的电场分布。(2)如果把第二块金属板接地，最如果把第二块金属板接地，最后情况又如何？（忽略金属板的边缘效应。）后情况又如何？（忽略金属板的边缘效应。）解：解：（1）1 12 23 34 4由由电荷守恒定律电荷守恒定律可知：可知：SQ 21 043 (1)(1)(2)(2)取如图柱型高斯面，由于板间电场与板面取如图柱型高斯面，由于板间电场与板面垂直，板内电场为零，所以通过此垂直，板内电场为零，所以通过此高斯面高斯面的电通量的电通量为零。由高斯定理得：为零。由高斯定理得：032 (3) (3)考虑金属板内任一点考虑金属板内任一点 P 的场强为零，得：的场强为零，得：0222204030201

12、04321 (4)(4)P PQS1 12 23 34 4联立求解可得：联立求解可得：S2QS2QS2QS2Q4321 ,电场的分布为：电场的分布为：在在区，区，在在区，区，在在区，区，方向向左方向向左SQ02 E方向向右方向向右ESQ02 方向向右方向向右ESQ02 IIIIEEESQSQEE22220021 1 2 3 41 2 3 40E Q1 12 23 34 4 IIIISP P（2 2）如果把第二块金属板接地，）如果把第二块金属板接地，04 第一块金属板上电荷守恒第一块金属板上电荷守恒SQ 21 由高斯定律仍可得由高斯定律仍可得032 金属板内金属板内 P 点点的场强为零，所以的场

13、强为零，所以0321 联立求解可得：联立求解可得：0, 04321 SQSQE电场分布为：电场分布为：E=0=0，ESQ0 方向向右方向向右, , EIII=0其右表面上的电荷就会分散到其右表面上的电荷就会分散到地球表面上，所以地球表面上，所以例例2 2：半径为：半径为 R1 1 的金属球电量为的金属球电量为 q1 1，外面有一同心金属球壳电，外面有一同心金属球壳电量为量为 q2 2，内外半径分别为，内外半径分别为 R2 2 和和 R3 3。求场强和电势分布。求场强和电势分布。R3 3R2R1q1q2解：场强分布：解：场强分布：电势分布：电势分布：3021201101R4qqR4qR4qU 3

14、02120101444RqqRqrqU 30214RqqU rqqU0214 用导线将球和球壳连接起来，场强和电势如何变化？用导线将球和球壳连接起来，场强和电势如何变化？0ERrR32 ,0ERr1 ,r20213er4qqERr ,r20121er4qERrR , 32312120212014040RRRrRrRRrdrqqdrrdrqdrEdrU 时，时，1Rr 例例3:3:同心导体球面，半径分别为同心导体球面，半径分别为 R1 1 和和 R2 2，电量分别，电量分别 为为 Q1 1 和和 Q2 2。当把内球接地时，内球带电多少？。当把内球接地时，内球带电多少？044202101 RQRQ

15、 2211QRRQ 解：内球接地，其电势为零，设其电量为解：内球接地，其电势为零，设其电量为1Q内球接地，电量不一定为零。内球接地，电量不一定为零。2Q1Q2Q1Q内球接地，其电势为零，这是在满足静电平衡条件下的某种特内球接地，其电势为零，这是在满足静电平衡条件下的某种特定的空间电荷分布的必然结果，这种特定分布的空间电荷产生定的空间电荷分布的必然结果，这种特定分布的空间电荷产生的电场能保证从球内任意点沿任意路径到无穷远的场强的线积的电场能保证从球内任意点沿任意路径到无穷远的场强的线积分为零，或者这些电荷在球内任意点产生电势的叠加都为零。分为零，或者这些电荷在球内任意点产生电势的叠加都为零。+q

16、ROrr例4 一个不带电的金属球接近点电荷+q，当距离为 r 时，求 (1) 感应电荷在球心的电场强度, 金属球的电势；(2) 若将金属球接地，球上的净电荷。解：(1) 球心电场 0 E感应电荷电场 rrqE4202 rqV014 由电势叠加，球心总电势rqVVV0214 球球RqdV024+q 在球心处产生电势感应电荷在球心电势 球球qdR041 0 (2) 设金属球接地后有净电荷 q1（位于表面），则总电势为04401021 RqrqVVV qrRq 1例5 如图，求 O 点处感应电荷密度 。O直线+d导体板xO/解：取导体板内很邻近 O 点的O/点，直线在O/点产生的电场dxdxEd02

17、0144 感应电荷在 O/ 点产生的电场022 E总电场021 EEEOd 2 例例 6：在：在 x 1r ：dd真空真空 r= 1空气空气(0,1atm) r= 1.00059纯水纯水(0,1atm) r= 80玻璃玻璃 r= 5 - 10钛酸钡钛酸钡 r= 103 - 104 r 标志电介质对静标志电介质对静电场影响的程度，电场影响的程度，是反映物质电学性是反映物质电学性能的一个重要参数。能的一个重要参数。一、电介质的极化现象一、电介质的极化现象 束缚电荷：束缚电荷：电介质在电场的作用电介质在电场的作用下，下，表面上表面上出现的电荷不能脱离电出现的电荷不能脱离电介质，叫束缚电荷（极化电荷）

18、。介质，叫束缚电荷（极化电荷）。 电介质的极化：电介质的极化：在外电场的作用下，均匀电介质在外电场的作用下，均匀电介质表面出现束缚电荷的现象，叫做电介质的极化。表面出现束缚电荷的现象，叫做电介质的极化。+-Q-Q+-Q-Q束缚电荷也产生静电场，其产生电束缚电荷也产生静电场，其产生电场符合所有静电场基本规律。场符合所有静电场基本规律。8.2.2 电介质的极化电介质的极化(Polarization)二、电介质极化的微观解释两种电介质：分子电偶极矩模型两种电介质：分子电偶极矩模型 分子有正、负电荷分布中心，根据它们是否重合划分为极性分子极性分子(Polar molecule)ip+非极性分子非极性分

19、子(Non-polar molecule)H2, CO2, CH4, He等等H2O, NH3, 有机酸等有机酸等分子无电偶极矩分子无电偶极矩分子有电偶极矩分子有电偶极矩 有外电场无外电场 极性 分子非极性 分子00 iipp00 iipp00 iipp正负中心发生位移，产生 电偶极矩，发生位移极化。ip 受力矩，向外电场方向转动，发生取向极化。0, 0 iipp混乱取向三、电极化强度三、电极化强度 (Polarization) VpPi 定义：定义： 单位：单位：2C/m描述描述电介质极化程度的物理量电介质极化程度的物理量介质处于极化状态时：介质处于极化状态时：0 ipV单位体积内分子单位体

20、积内分子电偶极矩矢量和电偶极矩矢量和介质未极化时：介质未极化时：0 ipV宏观小微观大宏观小微观大 非极性分子：非极性分子：pnP n 为分子数体密度为分子数体密度四、电介质的极化规律四、电介质的极化规律 各向异性各向异性 (anisotropy) 线性电介质线性电介质EPe0为电极化率，无量纲为电极化率，无量纲,eE与与无关。无关。eE与与和晶轴的方位有关，用张量描述和晶轴的方位有关，用张量描述 各向同性电介质各向同性电介质 实验证明，电极化强度与电场强度成正比，方实验证明，电极化强度与电场强度成正比，方向向 相同。相同。 EEEcEEbEaPqrEE /0 q五、束缚电荷分布及与电极化强度

21、的关系五、束缚电荷分布及与电极化强度的关系+-Q-QrEE /0 -Q0内qSdES)(qq010qq0内qSdESPSPqP sSdPqnnPP21 EPe 0 EEEEEe 00reEEE001 r r 相对介电常数相对介电常数 0EE 0 EEEe reEEE 001 er 1mpme一极化的电介质，在其内部任取体积为一极化的电介质，在其内部任取体积为 V 的一块介质，考虑其的一块介质，考虑其内部因极化而引起的净电荷的变化：内部因极化而引起的净电荷的变化：考虑一小面元考虑一小面元 S，以此面为中分面，沿电偶极矩方向做斜高为，以此面为中分面，沿电偶极矩方向做斜高为 l 的柱体，只有在这一体

22、积内的分子才因极化而被的柱体，只有在这一体积内的分子才因极化而被 S 面切断，从而面切断，从而对对 V 内的净电荷有贡献。介质内分子数密度为内的净电荷有贡献。介质内分子数密度为 n，其贡献的电荷，其贡献的电荷数为：数为：S只有被只有被 S 面切割的那些电偶极子才对面切割的那些电偶极子才对 V 内的净电荷有贡献。内的净电荷有贡献。cosSlnN其贡献的电荷为：其贡献的电荷为：cosSqnlq cosSnpmcosSPSP包围在包围在 S 内的净电荷为：内的净电荷为： sSdPql2P1真空真空P2 = 0介质和真空分界面介质和真空分界面P2P1两种均匀介质分界面两种均匀介质分界面P1一种均匀介质

23、一种均匀介质SSS sSdPq)(1122侧侧面面SPSPSP SPSPnn 12011 SPPqnn)(SPPqnn )(21nnPP21 SPqn 1cos11PPn nene ne0 在均匀介质内部，无体分布的极化电荷分布；在均匀介质内部，无体分布的极化电荷分布；在两种不同介质的交界面上有极化电在两种不同介质的交界面上有极化电 荷分布，极化电荷面密度等于两种荷分布，极化电荷面密度等于两种介介 质的极化强度的法向分量之差；质的极化强度的法向分量之差；在介质和真空的交界面上，极化电荷在介质和真空的交界面上，极化电荷 面密度等于极化强度的法向分量。面密度等于极化强度的法向分量。Pne ne+-

24、nenenene-计算某介质内在交界面上极化电荷面计算某介质内在交界面上极化电荷面 密度时，法线方向总指向介质外。密度时，法线方向总指向介质外。P例：例： 求均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，求均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，并求极化电荷在球心处的场强。已知电极化强度并求极化电荷在球心处的场强。已知电极化强度 。P cosPnP 解： 为 与 的夹角，Pnn如图所示细圆环包含的极化电荷在如图所示细圆环包含的极化电荷在球心处生成的电场为球心处生成的电场为Rd cos420RdqdE cos4sin220RRdR 022sincos dP 00203sincos2 PdPE 方向向左

25、方向向左sSdPq电介质中 电场 E电介质极化 PEPe0极化电荷电场与自由电荷电场叠加极化电荷电场与自由电荷电场叠加nnPP21 极化面电荷 nP )(10qqSdES 高斯定律：高斯定律：E?/+PESD取如图高斯面取如图高斯面 )(10qqSdES SSdPq01()SSE dSqP dS 定义电位移矢量定义电位移矢量PED 0 自自由由qSdDS 的高斯定律的高斯定律DqSdPES )(0 在没有电介质的情况下，在没有电介质的情况下，, 0 PD的高斯定律还原为第一章的高斯定律还原为第一章中的高斯定律。中的高斯定律。EP 0 EEDr 00)1 ( r 0 电介质的电介质的介电常数介电

26、常数ED 2/ mC单位：单位： nPEDPEDqSdDPEDqr00电介质中求解电场和束缚电荷分布的方法：电介质中求解电场和束缚电荷分布的方法：单位试验电荷的受力单位体积内的电偶极矩的矢量和无物理意义，EPEDr 00 真空中关于电场的讨论都适用电介质：高斯定律、环路定理、电势等各向同性均匀电介质中表面束缚电荷EPe 0 nP 穿过任意闭合曲面的 的通量只与面内自由电荷有关D自自由由qSdDS EPD物理意义物理意义特点特点电介质中三个物理量的意义和特点电介质空隙空隙导体导体+qqq/+q/E0 00E 00E DP三种力线的三种力线的 分布特点分布特点解：解：(1) 取如图所示柱形高取如图

27、所示柱形高斯面斯面 (上上)，应用高斯定律，应用高斯定律d导体板导体板b电介质rS例例1 如图，求如图，求 (1) 导体板与电介质板之间空隙中的电导体板与电介质板之间空隙中的电场强度场强度 E0；(2) 电介质中的电场强度电介质中的电场强度 E；(3) 两导体板两导体板间的电势差。间的电势差。, SqDqDSSdDqDSdSDSdDS cos(3) V = E0 (d b) + Eb方向向下方向向下000/ DE SqD/(2) 仍取柱形高斯面仍取柱形高斯面 (下下)，rrDE 00/ 方向向下方向向下qq/R例2 一个带正电的金属球，半径为 R，电量为 q，浸在油中，油的相对介电常数为 r，

28、求球外的电场分布以及贴近金属球表面上的束缚电荷 q /。D解：,4,4,22rqDqrDqSdDS rrqDErrqDrr,200244 可见，当带电体周围充满电介质时，场强减弱为真空时的 1/r 倍。n2000411RqDDEDPrr)( PPnP cosr高斯面qqqRqr ,)/(1142当均匀电介质充满整个电场当均匀电介质充满整个电场存在的空间时，介质对电场存在的空间时，介质对电场的影响可以归结为场源由的影响可以归结为场源由 qi 变为变为 (qi/ r)，这反映了，这反映了极化电荷对自由电荷的场有极化电荷对自由电荷的场有一定程度的屏蔽作用。一定程度的屏蔽作用。PED,r121n2n解

29、：解：(1)SQ SQD SQSQEPrrrr 1)1(000PPnP cos11PPnP 0cos22 SQDErr 00 例3 在两平行金属板之间以如下不同方式插入电介质，已知 +Q 和 Q ，面积 S，忽略边缘效应，试求 ,PEDr114r232DDSQD SQPSQEDPrrrr 222111011,1 112111110cos,cosPPPPnP (2)SQ SQESQDErrr20210101, 2242230cos,cosPPPP r112SS 每个金属板自身为等势体，每个金属板自身为等势体，0220111)( SdSESdSE 211 rrDED 0101111/, 由电荷守恒

30、，有由电荷守恒，有QSS 2/2/21 1111 rrP ,111011 rrEDP 联立上面三个方程，解得联立上面三个方程，解得SQSQSQrrrrr211,211,21121 V1 = V2, E1d = E2d, E1 = E2(3)r1r2r1r2 静电场的边界条件的切向分量E的法向分量DlE1tE2tD2nSD1n021SDSDSdDnn取扁柱形高斯面，由 的高斯定律 (界面无自由电荷)D得 D1n = D2n 即分界面两侧电位移矢量的法向分量相等。取矩形回路，由环路定理021lElErdEtt得 E1t = E2t 即分界面两侧电场强度的切向分量相等；r1r21D2Dr1r21E2

31、E上面例题就是静电场边界条件的两种特殊情况：界面法向分量 D1 = D2界面切向分量 E1 = E2r1r2121D2D界面两侧的 线如图，它们与界面法线夹角分别为 1 和 2D静电场边界条件：D1n = D2n , E1t = E2ttrtrttntntEEDDDDDD221121221121 /tgtgD由此得到 线的折射定律2121rr tgtg电容是指导体储存电荷的能力。它依赖于导体的大小、形状，表示升高单位电势所需要的电量。例如球状导体,40RQV 所以RVQC04求得地球的电容仅为 0.74 mF。8.4.1 孤立导体的电容对一块带电导体，其电势 V（取无穷远为电势零点) 与其电量

32、 Q 成正比，其比值是一个常数。VQC 定义孤立导体的电容单位：单位：C / V = F, F = 10-6 F, pF = 10-12 F。8.4.2 电容器的电容为获得较强容纳电荷的能力 (电容)，一般不用孤立导体做电容器。baVVQC 对两导体电容器，定义电容导体之间有电介质和没有电介质的情况下电容的关系为 C = rC0，所以 r 也叫相对电容率。 平行板电容器rV+V+QQdS设金属板带电 Q，则SQD SQDErr 00 SQdEdVVVr 0 dSVQCr0一、几种典型电容器的电容一、几种典型电容器的电容2002124,4rQDERrRrQDrr 球形电容器：由两个同心的导体球壳

33、组成R1R2r+QQ仍设电容器带电 Q，得 21020114421RRQdrrQVrRRr 122104RRRRVQCr 圆柱形电容器：由两个同轴的金属圆桶组成L+QQR1R2rrLQDERrRrLQrDrr 00212,22 1200ln21221RRLQdrrLQVrRRr )ln(2120RRLVQCr 二、电容器的串并联：二、电容器的串并联：+q q +q qC1 V1 C2 V221212121212211)(CCCCCqCqqVVqCVVCVCVCq 并联：电压相等C1 q1C2 q2V2121212211CCVqqVqCCqqCqCqV 串联：每个电容电量相等 （电荷守恒的结果）

34、电容器是一种常用的电工和电子学元件。如：在交流电路中电流和电压的控制； 发射机中振荡电流产生； 接收机中的调谐； 整流电路中的滤波等等。四、电容器的应用三、电容器的两个主要指标电容：电容器储存电荷能力耐压能力：外加电压超过耐压能力，电容器会被击穿 q 串联时：总电容减小，但电容器组的耐压能力提高q 并联时：总电容增大，但电容器组的耐压能力取决 于耐压能力最低的电容rrSQCUddl0() 0 E解：(1) 缝中rE 0 电介质中SQlddlldUrrr 000)()(例1 平行板电容器 S, d，(1) 插入电介质板 S, l, r，计算其电容；(2) 插入同尺寸导体板，计算电容；(3) 上下

35、平移介质板或导体板对电容有无影响？ ldSx(2) 若把电介质板换成金属板两板电势差Udl0() SQSCCUUdl0 金属板内0 E0 E缝内(3) 上下平移介质板或导体板对电容无影响，因为电容值与 x 无关。解：解：(1)由高斯定理由高斯定理01ERr,时时rerqERrR20214 ,时时rrerqERrR20324 ,时时例例2 半径为半径为R1的金属球电量为的金属球电量为q，外面同心地放置一内外半径分别，外面同心地放置一内外半径分别为为R3和和R4的金属球壳，其带电为的金属球壳，其带电为Q。两者之间有一层内外半径分别。两者之间有一层内外半径分别为为R2和和R3的电介质，相对介电常数为

36、的电介质，相对介电常数为r 。求：（。求：（1）内球电势；（）内球电势；（2）内外球电势差；（内外球电势差；（3）把外球壳接地，求该电容器电容。）把外球壳接地，求该电容器电容。R1R2R3R4r qQ043ERrR,时时rerQqERr2044 ,时时所以内球电势所以内球电势 21321202044RRRRrRdrrqdrrqrdEU 4342040RRRdrrQqdr403202104)11(4)11(4RQqRRqRRqr (2) 内外球电势差内外球电势差 U(3) 外球接地，该电容器电容外球接地，该电容器电容)11()11(432210RRRRUqCrr 2Q例例1:1:同心导体球面，半

37、径分别为同心导体球面，半径分别为 R1 1 和和 R2 2，内球，内球 接地，外球电量为接地，外球电量为 Q2 2，求内球所带电量，求内球所带电量 Q1 1？2Q1Q044202101 RQRQ2211QRRQ 例例2:2:同心导体球面和球壳，半径分别为同心导体球面和球壳，半径分别为 R1 1、R2 2 和和 R3 3，内球接地，已知外球壳带电量为，内球接地，已知外球壳带电量为 Q2 2， 求内球所带电量求内球所带电量 Q1 1？2Q1Q0444302202101 RQRQRQ外内外内222QQQ 021 内QQ例 1 中，为什么外球面电量大于内球面电量？例 2 中，为什么外球壳电量分布于内外

38、表面上？外内、221QQQ1221014RRRRC 3024RC 2212CQCQ外内302202102444RQRQRQ外内内 C1C2内2Q外2Q无穷远21UU 考虑接地和无穷远等电势8.5.1 电容器的能量电容器的能量 (Energy Stored in Capacitors)对孤立导体充电，外力克服电场力做功，形成带电系统，其它形式的能 (功) 转化为电能。形成带电体 Q 外力做功CQCqdqCqdAAQQ222020 电容器储存的静电能2221212CVQVCQAWe dqCqdqqVdA )(把电量 dq 由无穷远移至带电体 q (对应电势V)，外力做功 电荷在外电场中的静电势能电

39、荷在外电场中的静电势能00qWq 电荷系的静电能电荷系的静电能niiiqW121qdqW21 静电场的能量静电场的能量dVEWV20212021Ewe对电容器，设构成其一组导体所带电量分别是 Q 和 -Q，其电势分别为 1 和 2， 则此导体系的的静电能为：)()(2121212121 QQQdqWqe2221221CVCQQVWe 与上面推导结果相同dSCr0 SQErr 00 SdSQSdQCQWrrr200022)(22121 SdEr202 电场能量密度电场能量密度2021ESdWVWwre 22212121DDEEwe dVEdVwWe 22 8.5.2 静电场的能量、能量密度静电场

40、的能量、能量密度以平行板电容器为例以平行板电容器为例公式虽然是由电容器特例导出公式虽然是由电容器特例导出, ,但它普遍成立。可以但它普遍成立。可以用它求电场储存的能量：用它求电场储存的能量：积分遍及电场分布空间积分遍及电场分布空间rLQEr 02 解：两极面间的电场解：两极面间的电场在电场中取体积元在电场中取体积元drrLdV)2( 则在则在 dV 中的电场能量为：中的电场能量为：dVEdWr202 例例1 一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为R1和和R2，两极面间充满相对介电常数为两极面间充满相对介电常数为 的电介质。求此电容的电介质。求此电容器带有电量器

41、带有电量 Q 时所储存的电能。时所储存的电能。r L+QQrR1R2 2102221RRrrdrLQdWW 1202ln221RRLQr CQ221)/ln(2120RRLCr 与前面计算结果相同与前面计算结果相同例2 (习题5.24) 平行板电容器 S, d。(1) 充电后保持电量 Q 不变，将厚为 b 的金属板平行插入, 电容器储能变化多少？ (2) 导体板进入时，外力（非电力）对它做功多少？是被吸入还是需要推入？ (3) 如果充电后保持电压 U 不变，则(1)(2)两问结果如何？解：(1) 电容器的电容由 C0 变为 C，储能增量为SbQSdSbdQCQCQWe020020222222

42、(2) A外 = We 0， 外力做负功，电场力做正功， 因而导体板被吸入, 这是边缘电场对插入导体板上的感应电荷作用的结果。(3) 电压 U 保持不变，电容器储存的能量增量为根据能量守恒eSWAA外外得到外力做功)(221)(202002021bddSbUUdSbdSUCCAWASe外外e00W =CU - C U =(C -C )U222111222仍然被吸入电压 U 保持不变，电容改变，电量改变为Q = CU C0U = (C C0)U，此电量是由电源供给的，电源所做电功为 AS = QU = (C C0)U 2例例3 求空气中平行板电容器两板间相互作用力。求空气中平行板电容器两板间相互

43、作用力。解解: 设极板电荷面密度为设极板电荷面密度为 ，极板面积为，极板面积为S，两板间距，两板间距离为离为d。把两板间的距离由。把两板间的距离由 d 缓慢拉大到缓慢拉大到 ，外力，外力所做的功为所做的功为 dd dFA它等于电容器储存电能的增量它等于电容器储存电能的增量CQCQWdF222121 dSC0 ddSC 0 SQ SF022 解得解得外力等于两极板间的吸引力，所以两极板间相互作用外力等于两极板间的吸引力，所以两极板间相互作用力为：力为：SSF 00222(既不是既不是 ，也不是，也不是 。)2024dQ SQ02 例4 半径为 R 的球体均匀分布电荷 Q，求生成电场所包含的能量。

44、解：均匀带电球体的场强分布 rRrQRrRQrE,2030404电场能量密度分布 rRrQRrRrQEwe,402260222203203221所以电场总能量RQdrrwdrrwdVwWReReee0220220344 C2QW2 E21221021214rerqqF niiFF1库仑定律库仑定律与电力叠与电力叠加原理加原理0qFErerqE204 rerdqE204点电荷的点电荷的场强和场场强和场强叠加强叠加EPEDr00 自由qSdDS 0内qSdES 真空及介真空及介质中的高质中的高斯定理斯定理0内qsdES高斯定理高斯定理环路定理环路定理0Ll dEE2r021eEw PPrdEVQC

45、 dVwWe00qWq qdq21W rdq04rq04 点电荷的点电荷的电势和电电势和电势叠加势叠加 静电平衡的导体上的电荷分布静电平衡的导体上的电荷分布一、一、 静电场中的导体静电场中的导体 导体的静电平衡时条件导体的静电平衡时条件0 内内E表表面面 SE导体是等势体，导体表面是等势面。导体是等势体，导体表面是等势面。 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算板状导体组板状导体组球状导体组球状导体组电荷守恒电荷守恒静电平衡条件静电平衡条件高斯定理高斯定理电势概念电势概念表面紧邻处的电场强度表面紧邻处的电场强度E0q0 ,int二、二、 静电场中的电介质静电场中的电介质s

46、SdPq电介质中 电场 E电介质极化 PEPe0极化电荷电场与自由电荷电场叠加极化电荷电场与自由电荷电场叠加nnPP21 极化面电荷 nP 自自由由qSdDS 的高斯定律的高斯定律DqSdPES )(0 )(10qqSdES 高斯定律：高斯定律：EEEDre 001)( nPEDPEDqSdDPEDqr00电位移矢量电位移矢量D 适用于电荷分布有一定有对称性的电场求解1r2rQ-Q-QSI1d2dIIR1R2R3-Qr r1 1r2r2IIIQQ-Q-QLR1R2R3I II1r2r012IrQErL 022IIrQErL 23120102320110221122lnln22RRRRrrrrQ

47、QVdrdrL rL rRRQQLRLR 01IrQES 02IIrQES 120102rrQQVddSS 0121221rrrrSCdd 0321122211lnlnrrLCRRRR 2014IrQEr 2024IIrQEr 23122201020112022311441111()()44RRRRrrrrQQVdrdrrrQQRRRR 01221122341111()()rrrrCRRRR sVdVSdE01 sSdB0 SLSdEtjl dB)(00 SLSdtBldE法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律麦克斯韦位移电流假设麦克斯韦位移电流假设运动电运动电 荷电场荷电场静电场静电场静止静止

48、电荷电荷运动运动电荷电荷静止静止电荷电荷运动运动电荷电荷稳恒磁场高斯定律稳恒磁场高斯定律安培环路定律安培环路定律0内qsdES0LldE静止电荷对静止电荷的作用：静电场静止电荷对静止电荷的作用：静电场静止电荷对运动电荷的作用：静电场静止电荷对运动电荷的作用：静电场运动电荷对静止电荷的作用：静电场运动电荷对静止电荷的作用：静电场 + 相对论相对论运动电荷对运动电荷的作用：运动电荷对运动电荷的作用：磁场磁场静电场静电场 + 相对论相对论电磁场是统一的整体电磁场是统一的整体静电场中的导体和电介质练习课静电场中的导体和电介质练习课选择题：选择题：1. 如图，若如图，若N接地时，导体接地时，导体N上上（

49、A）正电荷消失；）正电荷消失；（B）负电荷消失；）负电荷消失；（C）正负电荷都消失；）正负电荷都消失； （D）正负电荷都不消失。）正负电荷都不消失。+-NM21111CCC 1C C串联串联21QQ 11CQU 22CQU 21CC 21UU 221CUW CU不变不变 W2. 两个完全相同的电容器两个完全相同的电容器C1和和C2，串联后与电源，串联后与电源连接，现将一电介质板插入连接，现将一电介质板插入C1中，则中，则（A）电容器组总电容减小；）电容器组总电容减小；（B）C1上的电量大于上的电量大于C2上的电量；上的电量；（C）C1上电压高于上电压高于C2上电压；上电压；（D）电容器组储存的总电能增大。）电容器组储存的总电能增大。C1C23. 一球形导体，带电量为一球形导体，带电量为q，置于一个任意形状的导，置于一个任意形状的导体空腔中，当用导线将两者连接后，系统的电场能体空腔中，当用导线将两者连接后，系统的电场能（A）增大；）增大；（B）减少；）减少；（C）不变。）不变。腔内电场消失，腔外电场不变。腔内电场消失，腔外电场不变。填空题：填空题：4. 将一负电荷从无限远处移到一个不带电的导体附将一负电荷从