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实验数据曲线拟合方法研究,实验,数据,曲线拟合,方法,研究
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本科毕业设计论文题 目 实验数据曲线拟合方法研究 专业名称 自动化 学生姓名 李亮 指导教师 王敏 毕业时间 2014.6 设计论文毕业 任务书一、题目实验数据曲线拟合方法研究二、指导思想和目的要求通过毕业设计，使学生对所学自动控制原理、现代控制原理、控制系统仿真、电子技术等的基本理论和基本知识加深理解和应用；培养学生设计计算、数据处理、文件编辑、文字表达、文献查阅、计算机应用、工具书使用等基本事件能力以及外文资料的阅读和翻译技能；掌握常用的实验数据曲线拟合方法，培养创新意识，增强动手能力，为今后的工作打下一定的理论和实践基础。 要求认真复习有关基础理论和技术知识，认真对待每一个设计环节，全身心投入，认真查阅资料，仔细分析被控对象的工作原理、特性和控制要求，按计划完成毕业设计各阶段的任务，重视理论联系实际，写好毕业论文。三、主要技术指标设计系统满足以下要求：数据拟合误差要尽量的小的同时保证曲线的线形形状最佳。四、进度和要求1、搜集中、英文资料，完成相关英文文献的翻译工作，明确本课题的国内外研究现状及研究意义； （第1、2周）2、撰写开题报告； （第3、4周）3、应用最小二乘法进行曲线拟合； （第5、6周）4、应用Matlab命令曲线拟合； （第7、8周）5、应用Matlab图形用户界面曲线拟合； （第9、10周）6、研究其他曲线拟合方法； （第11周）7、整理资料撰写毕业论文；（1）初稿 ； （第12、13周）（2）二稿 ； （第14周）西北工业大学明德学院本科毕业设计论文8、准备答辩和答辩。 （第15周）五、主要参考书及参考资料1卢京潮，自动控制原理，西北工业大学出版社，2010.62胡寿松，自动控制原理，科学出版社，2008，63薛定宇，陈阳泉，系统仿真技术与应用，清华大学出版社，2004.44王正林，Matlab/Simulink与控制系统仿真，电子工业出版社，2009.75李桂成，计算方法，电子工业出版社，2013.86蒋建飞，胡良剑，唐俭.数值分析及其Matlab实验【M】.北京：科学出版社，2008学生 李亮 指导教师 王敏 系主任 史仪凯 摘 要在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据作出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。本文介绍了几种常用的数据拟合方法，线性拟合、二次函数拟合、数据的n次多项式拟合等。并着重对曲线拟合进行了研究，介绍了线性与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、牛顿迭代法等。在传统的曲线拟合基础上，为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。采用最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小，并不一定能使原响应变量的离均差平方和最小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。随着计算机技术的发展，实验数据处理越来越方便。但也提出了新的课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。所以提高拟合的准确度是非常有必要的。关键词：数据拟合、最小二乘法、曲线拟合、多项式摆动ABSTRACTIn our experiments and exploration, it will produce large amounts of data. In order to explain these data to make predictions based on these data to determine, provide an important basis for policy makers . Need to fit the measured data to find a function to reflect data changes in the law. This article describes several commonly used data fitting methods, and focused on a nonlinear curve fitting of the model.This paper introduces some commonly used data fitting method, linear fitting, secondary function fitting, data n times polynomial fitting etc. T And focuses on the curve fitting, introduced the linear and nonlinear model of curve fitting method, the least square method, Newton iterative method, etc. In the traditional curve fitting basis, in order to improve the curve fitting precision, this paper also studies the polynomial swing, from the perspective of the practice the oscillation and deviation of factors and characteristics, and summarizes the decrease in practice the treatment method of these deviations. The least square method to variable after converting from new variables are the sum of squared residuals minimum, not necessarily make the original response from all the variables of the sum of squared residuals minimum, so the model fitting precision still has room to improve. With the development of computer technology, the experiment data processing more and more convenient. But also put forward the new subject, which is in the data processing method of choice should be more careful than ever before. Because carelessly a bit, it can be very easily according to the correct experimental data that not the exact and even the wrong conclusion. Therefore, to raise the fitting accuracy is very necessary.KEY WORDS： Data Fitting , Least square method , Curve fitting , Polynomial swing目录摘 要IABSTRACTII第1章 绪论51.1引言51.2研究背景51.3研究意义71.4本论文主要内容7第2章 曲线拟合及最小二乘法92.1线性模型的曲线拟合92.2最小二乘法基本原理92.3用正交多项式作最小二乘拟合112.4非线性模型的曲线拟合132.4.1常见非线性模型132.4.2牛顿迭代15第3章 基于MALTAB实现最小二乘法183.1 Matlab简介183.1.1 Matlab的概况183.1.2 Matlab的语言特点183.1.3 Matlab工作界面193.1.4优势特点203.2 用MALTAB实现曲线拟合203.2.1最小二乘法203.2.2非线性曲线拟合243.2.3多项式曲线25第4章 多项式的摆动274.1多项式摆动介绍274.2影响多项式拟合偏差的因素294.2.1实验数据的不均匀性294.2.2数据的密度304.2.3拟合曲线的适用区间304.3使用多项式拟合的注意事项304.3.1尽量避免高阶多项式的拟合304.3.2保持密度314.3.3其它的非线性拟合方法31第5章 全文总结32参考文献33致 谢34毕业设计小结35III西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 第1章 绪论1.1引言 在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据作出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。 在解决实际工程问题和科学实验的过程中，经常需要通过研究某些变量之间的函数关系，帮我们去认识事物内在的规律和本质属性，这些变量间的未知的关系一般隐含在从观测、试验而得到的一组离散的数据之中。所以，是否能够根据一组试验观测数据来找到变量之间的相对准确的函数关系成为了解决工程实际问题的关键。 归纳总结数据拟合理论在工程中实际应用，发掘各个数据拟合算法的在实际应用中的应用范围适用性。通过对本项目的研究和分析，使得实际中的工程问题根据不同的需求使用最合适的拟合算法，从而提高拟合的精确度。研究和发展数据拟合理论，发掘各种数据拟合的优化方案。根据离散的数据，我们想要得到连续的函数或更加密集的离散方程与已知数据相吻合。如何选择数学模型，如何减小误差，如何使得逼近函数图像最靠近那些数据点，使得优化拟合算法变得十分重要。1.2研究背景在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据作出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。这两类函数最大的不同之处是，对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点。例如，在某化学反应中，测得生成物的质量浓度y (10 3 g/cm3)与时间t （min）的关系如表(1-1)所示 表1-1 某化学反应数据t12346810121416y4.006.418.018.799.539.8610.3310.4210.5310.61图1-1 显然，连续函数关系y(t)是客观存在的。但是通过表中的数据不可能确切地得到这种关系。何况，由于仪器和环境的影响，测量数据难免有误差。因此只能寻求一个近拟表达式 （1-1）寻求合理的近拟表达式，以反映数据变化的规律，这种方法就是数据拟合方法。数据拟合需要解决两个问题：第一，选择什么类型的函数作为拟合函数（数学模型）；第二，对于选定的拟合函数，如何确定拟合函数中的参数。数学模型应建立在合理假设的基础上，假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变化的趋势（总体的变化规律）。拟合函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作出选择。为了问题叙述的方便，将例1的数据表写成一般的形式表1-2 函数一般形式tx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10yy1y2y3y4y5y6y7y8y9y101.3研究意义曲线拟合，俗称拉曲线，是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式。科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合。在科学实验或社会活动中，人们常常需要观测很多数据的规律， 通过实验或者观测得到量x与y的一组数据对（）(i=1，2， ，N)，其中 是彼此不同的。人们希望用一类与数据本质规律相适应的解析表达式 来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。常称作拟合模型，当c在中线性出现时，称为线性模型，否者称为非线性模型。线性模型是回归模型中最常见的一种，但在实际中，许多现象之间的关系往往并不是线性的，而是呈现某种曲线关系。如服药后血药浓度与时间的关系，病毒剂量与致死率的关系，化学反应的反应物浓度与反应速度的关系。这就产生的曲线拟合，用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。采用最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小，并不一定能使原响应变量的离均差平方和最小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。随着计算机技术的发展，实验数据处理越来越方便。但也提出了新的课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。所以提高拟合的准确度是非常有必要的。1.4本论文主要内容本文介绍了几种常用的数据拟合方法，并着重对曲线拟合进行了研究，介绍了线性与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、牛顿迭代法等。介绍一种科学计算软件Matlab，Matlab是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。应用Matlab处理既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。并用Matlab逐一实现最小二乘法，非线性曲线，多项式曲线的仿真，并着重对最小二乘法进行研究。在传统的曲线拟合基础上，为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。 第2章 曲线拟合及最小二乘法 在科学实验或社会活动中，人们常常需要观测很多数据的规律，通过实验或者观测得到量x与y的一组数据对（）(i=1，2， ，N)，其中是彼此不同的。人们希望用一类与数据本质规律相适应的解析表达式，来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。常称作拟合模型，当c在中线性出现时，称为线性模型，否者称为非线性模型。2.1线性模型的曲线拟合 已知某函数的若干离散函数值f1，f2，fn，通过调整该函数中若干待定系数f(1， 2，m)， 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合1。下面介绍计算线性拟合的基本方法。2.2最小二乘法基本原理 曲线拟合又称函数逼近，是指对一个复杂函数f(x)，求出一个简单的便于计算的函数p(x)，要求使f(x)与p(x)的误差在某种度量意义下最小。我们把近似值和测定值的插值称为残余误差，即显然，残差的大小事衡量拟合好坏的重要标志。经常采用的三种衡量的准则为：(1) 是残差的最大绝对值最小：；(2) 使残差的绝对值之和最小：；(3) 使残差的平方和最小： 。分析上面的三种准则，准则(1)，(2)的提法都比较自然，但是由于含有绝对值，所以不利于实际计算，而按照准则(3)来确定参数。得到拟合曲线的方法称作曲线拟合的最小二乘法，它的计算比较简单，是工程实际当中常用的一种函数逼近的方法。设给定的一组实验数据，及各点的权系数，求出自变量x与因变量y的函数关系，最小二乘法不要求y=s(x)通过测量点，而只要求残余误差最小。设逼近函数为： (2-1)假设给出一组数据以及对应的一组权： 求使 (2-2)的值最小，则是多元函数取得极小值的点，这就是最小二乘法曲线拟合。求由极值的必要条件可得： (2-3)根据内积定义引入相应的带权内积记号： (2-4)则式（2-3）可改写成： (2-5)这是关于参数的线性方程组，用矩阵的形式表示为： (2-6)由于线性无关，故方程组存在唯一的解于是有： (2-7)2.3用正交多项式作最小二乘拟合如果是关于点集带权正交的函数族，即 (2-8) (2-9)且平方误差为现在我们根据给定节点及权函数，造出带权正交的多项式，注意，用递推公式表示，即 (2-10)这里是首项系数为1的k次多项式，根据的正交性，得 (2-11)下面用归纳法证明这样给出的是正交的，由（2-11）式第二次及(2-11)式中的表达式，有现假定对及均成立，要证对均成立。由（2-10）式有 (2-12)由归纳法假定时，另外，是首项系数为1的s+1次多项式，它可由的线性组合表示，而，故由归纳法假定又有于是由（2-12）式，当时。再看 (2-13)由假定有，利用（2-11）式中表达式及以上结果，得最后，由（2-7）式有至此已证明了由(2-10)式及(2-11)式确定的多项式组成一个关于点集的正交系。用正交多项式的线性组合作最小二乘曲线拟合，只要根据公式(2-10)及(2-11)逐步求的同时，相应计算出系数 并逐步把累加到)中去，最后就可得到所求的拟合曲线 这里n可事先给定或在计算过程中根据误差确定。用这种方法编程序不用解线性方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余不用改变。这就是目前用多项式作曲线拟合最后的计算方法。2.4非线性模型的曲线拟合当前研究的非线性模型主要是指参数或自变量是非线性的，形式复杂多样，常见的有多项式形式、双曲线形式、对数形式、幂函数形式等等，更复杂的有修正指数曲线Compterz曲线以及Logistic曲线等。如何根据数据的大致规律来选择合适的模型，是拟合的关键。总的来说有两中可参考的方法：一是根据散点图来确定类型，即由散点图的形状大体确定模型类型；二是根据专业知识和经验，判断研究的数据曲线属于什么类型。现在研究非线性模型的方法用得最多的就是最小二乘法。2.4.1常见非线性模型对于解释变量是非线性的，但参数之间是线性的模型，可以利用变量直接代换的方法将模型线性化，通过线性拟合来计算。1.多项式函数模型多项式函数形式令 原模型可化为线性形式即可利用多元线性回归分析的方法处理了。这类模型广泛地用于生产和成本函数。例如总成本函数可表示为：其中，y表示总成本，表示产出。2双曲线模型双曲线函数形式 3.双对数函数模型函数形式 所以弹性为一常数。它表示x变动1%，y变动 了。由于这个特殊的性质，双对数模型又称为不变弹性模型。4.半对数函数模型 函数形式 对于线性-对数模型 它表示x变动1%，y将变动 个单位的绝对量。即y的绝对变化量等于 乘以x的相对变化量。5.逻辑斯蒂（Logistic）曲线函数形式 令 则有 6.指数曲线函数形式 两边取对数得：令 则有 7.幂函数曲线 函数形式 两边取对数得： 令 则有 8.龚伯兹（Gompertz）曲线函数形式 两边取对数得：令 则有 2.4.2牛顿迭代无论采取什么方式变换都不可能实现线性化，这样的模型称为不可线性化模型2。对于不可线性化模型，一般采用高斯一牛顿迭代法进行参数估计，即借助于泰勒级数展开式进行逐次的线性近似估计。第一步：做Logit-Ln线性回归，求 ， ， x和p的初值。此时x不能为0值，若输入的x有0值，则将其设为一小值（例如：0.00001）。首选将原方程变形为如下线性形式： 将初值设为输入的y值的最大值加1，的初值设为输入的y值的最小值减0.1。通过简单的直线拟合即可求出p和的初值。第二步：对Logistic方程四个参数求偏微分，得到y对给定系数的增量（， ， ， ）的泰勒级数展开式。 泰勒级数展开式为： 由此，将曲线回归转化为多元线性回归，通过迭代计算，得到四个参数的变量， ， x， p，逐步修正四参数的值。多元线性回归与多项式拟合方法相同。每一次迭代可计算出参数变量值，新的参数值为原参数值与变量值的叠加。第三步：为保证迭代收敛，在计算相关系数时，引入一系数a，初值设为2，将a与参数的变量矩阵相乘，计算相关系数。a=a/2，循环10次，每次a的值减半。取循环中得到的相关系数最大的变量矩阵， ， x， p。第四步：默认总的迭代次数为1000次，或者当相关系数不再减小时，则迭代停止。返回得到的四参数值。第3章 基于MALTAB实现最小二乘法3.1 Matlab简介3.1.1 Matlab的概况Matlab是矩阵实验室（MatrixLaboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。Matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学，工程中常用的形式十分相似，故用Matlab来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多。当前流行的Matlab5.3/Simulink 3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(Toolbox).工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。功能工具包用来扩充Matlab的符号计算，可视化建模仿真，文字处理及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包，控制工具包，信号处理工具包，通信工具包等都属于此类。开放性使Matlab广受用户欢迎，除内部函数外，所有Matlab主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件，用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包。3.1.2 Matlab的语言特点一种语言之所以能如此迅速地普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同于其他语言的特点，正如同FORTRAN和C等高级语言使人们摆脱了需要直接对计算机硬件资源进行操作一样，被称作为第四代计算机语言的Matlab，利用其丰富的函数资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。Matlab最突出的特点就是简洁。Matlab用更直观的，符合人们思维习惯的代码，代替了C和FORTRAN语言的冗长代码。Matlab给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下Matlab的主要特点。语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。Matlab程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用Matlab进行科技开发是站在专家的肩膀上。具有FORTRAN和C等高级语言知识的读者可能已经注意到，如果用FORTRAN或C语言去编写程序，尤其当涉及矩阵运算和画图时，编程会很麻烦。例如，如果用户想求解一个线性代数方程，就得编写一个程序块读入数据，然后再使用一种求解线性方程的算法（例如追赶法）编写一个程序块来求解方程，最后再输出计算结果。在求解过程中，最麻烦的要算第二部分。解线性方程的麻烦在于要对矩阵的元素作循环，选择稳定的算法以及代码的调试动不容易。即使有部分源代码，用户也会感到麻烦，且不能保证运算的稳定性。解线性方程的程序用FORTRAN和C这样的高级语言编写，至少需要四百多行，调试这种几百行的计算程序可以说很困难。3.1.3 Matlab工作界面图 3-1 Matlab工作界面Matlab是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、FORTRAN）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。Matlab和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。Matlab可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。Matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用Matlab来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且Matlab也吸收了像Maple等软件的优点，使Matlab成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C+，JAVA的支持。可以直接调用，用户也可以将自己编写的实用程序导入到Matlab函数库中方便自己以后调用，此外许多的Matlab爱好者都编写了一些经典的程序，用户直接进行下载就可以用。3.1.4优势特点(1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；(2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；(3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；(4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。3.2 用MALTAB实现曲线拟合3.2.1最小二乘法 Matlab是一种功能强大的系统分析和仿真工具，我们选用它作为实现曲线拟合的软件工具。用Matlab语言编程实现最小二乘法的思路3:(1)输入各参量x、y的测量值(以数组形式输入，这样便于在计算过程中引用)；(2)用Matlab语言中的plot函数x、y的曲线关系图，以此图对比典型曲线图，选择合适的经验公式；(3)按照上例中的方法，选一个系数a，求Q(a，b)对它的偏导数，求出其计算表达式；(4)编写Matlab的M函数，用来完成经验公式中待定系数a的计算，该函数输入量为x、y、b，输出量为a、Q，按照由最小二乘法推导出的公式代入数值由x、y、b计算a、Q;(5)改变b的取值，多次调用该M函数，比较结果中的Q值，最小的Q值所对应的a、b值即为所求。改变b的取值#这部分工作也可编一个循环函数，输入b可能取的区间，计算不同b对应的Q，再进行比较，保留使Q最小的b及对应的a。但通常b的改变对Q的影响不是线性的，为方便观察结果并选择适当的b，改变b的取值#这部分工作最好还是编程者自己完成。最后，只要将得到的函数图像和x、y的曲线关系图进行对比，就可以直观的看到拟合的效果了。另外Matlab语言提供了一个函数，可以完成线性曲线拟合，这就是函数polyfit。函数polyfit的输入量为x、y、n，其中x、y即为需要建立相互关系的两个量的测量值，以数组的形式输入，n为多项式的次数;输出的是多项式系数的行向量，而得到的多项式是降幂的4。如某一消失模滤波器中螺钉归一化插入深度与其对应的电纳值的数据表3-1 螺钉归一化插入深度与其对应的电纳值 h h 0.2411 4.029 0.1829 6.219 0.2328 4.226 0.1746 6.829 0.2245 4.439 0.1663 7.628 0.2162 4.690 0.1580 8.646 0.2079 4.984 0.1497 10.333 0.1995 5.296 0.1413 13.668 0.1912 5.724 0.1330 23.038现在按照上面介绍的方法用 Matlab语言求Bc= f (h)。(1)输入数据:h= 0. 2411 0. 2328 0. 2245 0. 2162 0. 2078 0. 1995 0. 1912 0. 1829 0. 1746 0. 1663 0. 1580 0.1497 0. 1413 0. 1330;Bc= 4. 029 4. 226 4. 439 4. 690 4. 984 5. 296 5. 724 6. 219 6. 829 7. 628 8. 646 10. 333 13. 668 23. 038; (2)画图， 选择经验公式: 图3-2 Bc= f (h)图形如图 3-2。选型 的经验公式。(3)由最小二乘法得(4)编写 A. m计算 a、Q:( 5)改变 b的取值， 调用 A. m 函数:经过比较， 当 b= - 3. 528时， Q = 38. 5778为最小， 此时 a= 0. 0157， 所以最后画出测量数据关系图和函数图像如图 3-3所示。图 3-3 函数 其中虚线为求得的函数图像。下面再分别选 y= a+ blogx和作为经验公式进行拟合:(1) 对于 y= a+ blogx型， 步骤如上， 结果为 a= - 30. 9， b=- 22. 8831， Q= 99. 3345;(2)对于 型，可用函数 polyfit5来做:polyfit( h， Bc， 2)ans =1. 0e+ 0.03*2. 3498 - 0. 9981 0. 1097计算 Q = 44. 1177;比较三种经验公式得到的 Q 值可知， 型得到的 Q 值最小， 因此是最合适的。3.2.2非线性曲线拟合x= 1， 3: 8. ;y= 10 5 4 2 1 1 2. ;plot( x， y) ; % 绘制出x，y数据点axis( 0. 5 9 0. 5 11 ) ; % 设置象x，y坐标轴的范围可设拟合曲线为二次多项式由 Matlab 描述该拟合函数Function y= fitline_( a， x)y= a(1)+ a( 2)*x+ a(3)*x2;a= lsqcurvefit(fitline_1， 1; 1; 1， x， y) ; % 进行曲线拟合，使x使得输出的最小二乘表达式成立Maximum number of function evaluations exceeded;increase options. MaxFunEvals ay1= fitline_1( a， x); % 进行曲线拟合plot(x， y， x， y1， o) % 绘制二维图形hold on % 保存axis内图像plot(x， y1) % 绘制x，y1的数据点仿真如图： 图 3-4 3.2.3多项式曲线拟合源程序如下：u=20.0 18.0 16.0 14.0 12.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 -0.5;i1=8.00 7.98 7.98 7.96 7.67 7.19 6.25 4.99 2.84 0.34 0.00;i2=2.38 2.38 2.38 2.36 2.36 2.30 2.12 1.82 1.30 0.19 0.00;p1=polyfit(u，i1，5); % 绘制u，i1的数据点p2=polyfit(u，i2，5); % 绘制u，i2的数据点u1=-5:0.01:20;q1=polyval(p1，u1); % 返回多项式p1在u1处的值q2=polyval(p2，u1); % 返回多项式p2在u1处的值plot(u1，q1，-r，u1，q2，-.k，u，i1，.b，u，i2，*m ); % 绘制二维图形xlabel(数据的三阶多项式拟合线1); % 标注上图像的x轴legend(拟合曲线1，拟合曲线2，原始数据1，原始数据2) % 添加图例的标注仿真如图：第4章 多项式的摆动在实验科学中，常常会遇到这样的问题，用一组给定的非线性实验数据得出指导性的经验公式，即自变量x与因变量y的函数关系，这就是曲线拟合。在曲线拟合中最小二乘法多项式拟合的应用非常普遍，在许多科学文献中，实验结果都以多项式的形式给出以供参考。虽然多项式的拟合适用普遍，通过适当的拟合多项式的阶数改善曲线逼近实验数据点的程度，但同时也带来不利的一面。提高拟合多项式的阶数，曲线在某些区间往往会产生非期望的起伏，这使得曲线的参考价值大打折扣。4.1多项式摆动介绍已知实验数据，当使用为基作多项式形式拟合时当幂次升高时，即使采用正交化的处理，格兰姆矩阵的条件数往往很大，这时正规方程是病态的，这可能导致求解的结果严重的失真，使多项式曲线在某些区间产生振荡，这就是多项式的摆动6。实践的结果也表明，这种情况常有发生。如：表4-1数据是以产生的一组数据。表4-1 x0.251.252.253.258.25y-1.386290.2231440.810931.1786552.110213分别用二、三、四阶多项式拟合得函数关系式： (a)（b） (c) （d） 图4-1 原函数及多阶函数图线图4-1(a)是原函数的图线，图4-1(b，c，d)分别是。与原函数比较结果表明，提高拟合的阶数，曲线通过实验数据点的个数增加了，但在一定的区间，曲线的走向出现了与原函数较大的偏差。如果用拟合曲线作原函数关系参考显然是不准确的。4.2影响多项式拟合偏差的因素从理论上讲，使用高阶多项式拟合，上述摆动更容易发生。从实践上讲上述摆动产生的拟合曲线偏差由三方面产生。4.2.1实验数据的不均匀性同样以在同样的区间等问隔产生一组数据如表4-2。使用四阶多项式拟得：表4-2 x0.252.254.256.258.25y-1.386290.810931.4469191.8325812.110213函数曲线如图4-2，比较图4-1(d)，图4-2的摆动大大减小。y=-0.003x4+0.0669x3-0.5419x2+2.1121x-1.8815 图4-2 四阶函数图线4.2.2数据的密度显然增加数据的密度，增强对曲线的约束，拟合曲线在实验数据的区间偏差变小。4.2.3拟合曲线的适用区间在实验数据的区间偏差一般较小，而在外推区间随着拟合阶次的提高，往往难以预测。4.3使用多项式拟合的注意事项随着计算机技术的发展，实验数据处理越来越方便。但也提出了新的课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。在使用多项式拟合非线性实验数据时，要考虑它的局限性，避免由于处理方法不当给实验带来更大的误差。4.3.1尽量避免高阶多项式的拟合事实上虽然高阶多项式的拟合在实验区间内与实验数据能尽可能地接近，但它的使用存在两大弊端。首先，应用计算困难，实践应用价值不高。其次，外推误差大，对拟合在实验区间内与实验数据吻合得较好，而在区间外的摆动常会产生不可预期的走向，不能正确反映自变量和因变量之间的函数关系的变化趋势。例如，根据表4-2数据的四阶拟合函数关系计算相应点的函数值与原函数相比较，如表4-3。从表中可以看出，当x=12.25时时已经与原函数相去甚远。因此这个拟合表达式对实践的指导意义是局限的。表4-3 采用多项式拟合取得数据 x 0.25 2.25 4.25 6.25 8.25 10.25 12.25-1.38630.81091.44691.83262.11022.32732.5055y-1.38630.81251.46371.90652.32811.7638-1.9034-1.30460.77951.41221.82482.14032.39952.62174.3.2保持密度如果确实有必要采用多项式拟合，要保持适当的数据密度同时，尽量采用等间距采样的实验数据。如图4-2所示。4.3.3在实验数据走向比较明确的前提下，可以考虑其它的非线性拟合方法在这个例子中最好是拟合成的形式。但如果在有些函数关系不明的情况下可根据散点分布特点考虑其它形式的拟合。例如：表4
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