建筑力学---梁应力

1、Chapter . Stress Analysis of Beam Architetural Mechanics 截面的几何性质截面的几何性质 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的正应力和切应力强度条件梁的正应力和切应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面 9 梁的应力梁的应力面积矩与形心位置面积矩与形心位置惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩平行移轴定理平行移轴定理 9-1 9-1 截面的几何性质截面的几何性质 9-1-1 面积矩与形心位置面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 是面积与

2、它到轴的距离之积。PTPTWMGIMANmaxmaxmaxmax ; ; yASxddxASyddAAyyAAxxAxSSAySSdddddAxyyx二、形心：二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)(:正负面积法公式累加式AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxASdAxyyx等厚均质mmyymmxxmmdd质心：ASAAyAtAytASAAxAtAxtxAAyAAdddd等于形心坐标xy212121AAAxAxAAxxii3 .2010801101011010357 .341080110101101060y例例1 试确定下图的形心。解 ： 组合图形，用正负面积法解之。1.用正

3、面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801201010 xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)3 .201107080120)11070(5图(b)C1（0,0）C2（5,5）212121AAAxAxAAxxiiC2负面积C1xy9-1-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：一、惯性矩：(与转动惯量类似）与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。 AyAxAxIAyIdd22dAxyyx二、极惯性矩：二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。yxAIIAId2dAxyyx三、惯性积：三、惯性积：面积与其到

4、两轴距离之积。AxyAxyId如果如果 x 或或 y 是对称轴，则是对称轴，则Ixy =09-1-3 平行移轴定理平行移轴定理一、平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）CCybyxax以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图0CxCyASAbbSIAbbyyAbyAyIxCxCCACACAx222222 d)2( d)( dAbIIxCx2dAxyyxabCxCyC注意注意: C点必须为形心点必须为形心AbIIxCx2AaIIyCy2abAIIxCyCxyAbaIIC2)( 例例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是

5、用平行移轴定理等知识求。B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyxIIIdI2324圆 飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。是中国最大跨度的预应力混凝土简飞云江桥位于浙江省瑞安县、跨飞云江。是中国最大跨度的预应力混凝土简支梁桥。桥全长，分跨为支梁桥。桥全长，分跨为(），），最大跨度最大跨度，梁高，高跨比；混凝土标号；，梁高，高跨比；混凝土标号；桥面宽。桥面宽。92 梁横截面上的弯曲正应力梁横截面上的弯曲正应力FNBAFQBAMBA引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q

6、 切应力 弯矩M 正应力 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法、研究方法纵向对称面纵向对称面P1P2例如： 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、 纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上

7、的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴bdacabcdMM横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。A1B1O1O4. 几何方程：(1) . yx abcdABd xy11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )yyddd)( （二）物理关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。(2) . EyExx x x

8、（三）静力学关系：（三）静力学关系：0dddzAAAxESAyEAEyAN轴过形心中性)( 0zSz0dd)d(yzAAAyEIAyzEAEyzzAM（对称面）（对称面）MEIAyEAEyyAMzAAAzdd)d(22zzEIM1 (3)EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。(4) . zxIM y （四）最大正应力：（四）最大正应力：zWMmax (5)DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圆环bBhH)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz回字框maxyI Wzz 抗抗弯弯截截面面模模量量。例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2

9、）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 6)2/(hIWzzMPa7 .6110832. 56060 5121zIyM求应力18030MPa6 .921048. 66041max1zWMm4 .1941

10、060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmaxzWM求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180309-3 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1、两点假设： 切应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，切应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡0)(112dxbNNXdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b图图a图图b图图cdxxQ(x)+d Q(

11、x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b图图a图图b图图czzAzAIMSAyIMANdd1zzISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1由切应力互等由切应力互等zbIQSy1)()4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz(First moment of area)5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩Q 方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：zzbIQ

12、S1其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩 (First moment of area) ；2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 Iz为整个截面对z轴之惯性矩(moment of inertia of an area)；b 为y点处截面宽度。工字钢截面：工字钢截面：maxmin; maxA Q f结论：结论： 翼缘部分max腹板上的max，只计算腹板上的max。 铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且max min 故工字钢最大剪应力Af 腹板的面积。; maxA Q f 圆截面：3434maxAQ 薄壁圆环：22maxAQ槽钢：exyzPQRRzzbIQS，合力为腹板上; 。合

13、力为翼缘上HzIQA; 210)d(AxdAM力臂RHhe QeQeh 9-4 梁的强度条件梁的强度条件 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Q M 一、梁的正应力和切应力强度条件一、梁的正应力和切应力强度条件2 2、正应力和切应力强度条件：、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲） zzIbSQmaxmaxmax zWMmaxmax3 3、

14、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： MQ 4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷： ;maxmaxmaxMWz)( ;maxmaxMfPWMz解：画内力图求危面内力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比

15、,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAQy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面

16、形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMMPa2 .2710763524813zBLAIyMMPa2 .4610763884824zByAIyMLL2 .28maxyy2 .46maxT字头在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y

17、2GA3A4二、梁的合理截面二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhbhAQ3433. 1mmax 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1)2/( ;,41221 DRaaD时当强度：正应力：剪应力：1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 zWM zz

18、bIQS* 其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaam2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时当1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWm5 . 1maxzD0.8Da12a1z)(= 3 . 2mmaxfAQ工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上

19、侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 Gz（二）采用变截面梁（二）采用变截面梁 ，如下图：，如下图：最好是等强度梁，即)()()(maxxWxMx若为等强度矩形截面，则高为)(6)(bxMxh同时)(5 . 1maxxbhQ5 . 1)(bQxhPx 例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力许用应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 CL8TU1010kN / m2m4m100200解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kN

20、15kNQ()kN202515M()kN m201125.tzMWmax20100102632. 30MPa 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全 例：图示三种截面梁，材质、截面内例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。最经济。CL8TU11A1A2A32bbaad解：由题意可知解：由题意可知WWWzzz123A1A2A32bbaad即即bbad()26632233AAA123:24222bad:bada063001193. 0794 1 112.: : . 例：图示铸铁梁，许用拉应力例：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力许用压应力c =60MPa,z=7.6310-6m4，试，试校核此梁的强度。校核此梁的强度。CL8TU129kN4kNCz52881m1m1mABCDtzI2588.9kN4kNCz52881m1m1mM(kN m)25 . kN105 . kN25 .4ABCDczI2552.tzI452czI488C截面截面：B截面截面： 288 . MPa 170 . MPa 273 . MPa 461 . MPa 例：简支梁例：简支梁AB，在截面下