概率论与数理统计猴博士

1、概率论第一课、 无放回类题目 例 1 ：盒子中有 4 红 3 白共 7 个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回 的摸 4 次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？例 2 ：隔壁山头共有 11 只母猴儿，其中有 5 只美猴儿、 6 只丑猴儿，在大黑天看起 来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来 5 只，问天亮后，发现有 2 只美 猴儿、3 只丑猴儿的概率是多少？、 有放回类题目例 1 ：盒子中有 5 红 6 白共 11 个球，不用眼瞅， 11 个球摸起来是一样的，现有放回的摸 5 次，那 摸出两个红球三个白球的概率是多少？例 2 ：在小弟为我抓回的 5 只母猴儿中， 有 2 美 3

2、 丑，每天我都随机挑一只母猴儿来， 为她抓虱子。 就这样，过去了 101 天，抓了 101 次虱子，问这 101 次中，为美猴儿服务 50 次、丑猴儿服务 51 次的概率是多少？三、需要画图的题目例 1：已知 0x1 ， 0yy 的概率是多少？ 表现已知条件 表现待求概率的条件 找出 重合部分 P(xy)= =例 2 ：已知 1x1 ， 1y1 ，求 x2+y2 2 时， (x)=1当 0 x2时， (x)= = +x当 x0 时， (x)=0(x)=八、已知 与 中的一种，求 P公式： P(aXb)= (b) (a)=例 1 ：设 X 的分布函数 (x)= ，求概率 PP( 4)=P( 2x

3、2)= (2) ( 2)=ln2 0=ln2例 2 ：设 X 的密度函数 (x)= ，求概率 P( 1x2)P( 1x0)，求 a 和 b。(+ )=1 ? a+b=1? a+b =1 ? a+ =1 ? a=1=? 0=a+b? 0=a+b? a+b=0例 2：设 X 的密度函数= ，求常数 a。=1+ =1? + + =1? 0+2a+2+0=1解得 a=十、 求 分布律例 1：从编号为 1、2、3、4、5、6 的 6 只球中任取 3 只，用 X 表示从中取出的最大号码，求其分布律。 X 可能的取值为 3，4， 5，6已知含有未知数的分布列，求未知数例 1 ：已知分布列如下，求k 的值。解

4、得 k=概率论第三课十二、 已知 X 分布列，求 Y 分布列例 1 ：已知 X 的分布列，求 Y= +1 的分布列X202P0.40.30.3 根据 X 的所有取值，计算 Y 的所有取值 = 将表格里 X 那一列对应换成 YY515P0.40.30.3化简一下：Y15P0.30.7例 2 ：已知 X 的分布列，求 Y=2X 1 的分布列X3456P 根据 X 的所有取值，计算 Y 的所有取值= 将表格里 X 那一列对应换成 YX57911P也可以表示成：Y十三、 已知 ，求，求 Y=2X 的分布例 1 ：设 X 的分布函数为=函数。 写出 X=?YY=2X ? X= 用?y 替换中的 x，结果

5、为= 判断 ?y 中是否有负号 若无，则 (y)= (?y) 若有，则 (y)=1 (?y)例 2 ：设 X 的分布函数为=，求 Y= X 的分布函数。 写出 X=?YY= X ? X= Y 用?y 替换中的 x，结果为 判断 ?y 中是否有负号 若无，则 (y)= (?y) 若有，则 (y)=1 (?y)(y)=1( y)=十四、 已知 ，求例 1 ：设 X 的密度函数为= ，求 Y=2X 的密度函数 写出 X=?YY=2X ? X= 用?y替换中的 x，结果为= 令 = = = 判断 ?y 中是否有负号若无，则 (y)=若有，则 (y)=概率论第四课十五、 符合均匀分布，求概率公式： P=

6、例 1：设 X在2,5上服从均匀分布，求 X的取值大于 3 的概率 总长度： 3大于 3 的长度： 2=例 2：设 X在2,5上服从均匀分布，求 X的取值小于 3 的概率 总长度： 3小于 3 的长度： 1十六、 符合泊松分布，求概率公式： P(X=x)=例 1 ：某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为 5 的泊松分布。 求在一分钟内呼叫次数不超过 6 次的概率。X 表示一分钟内接到呼叫的次数P(X 6)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6) =+=十七、 符合二项分布，求概率公式： P(X=x)=例 1 ：重复投 5

7、次硬币，求正面朝上次数为 3 次的概率 x=3 n=5 P(正面朝上 )=P(X=3)=例 2 ：在二红一绿三个球中有放回地摸 3 次，求摸到红球次数为 2 次 的概率。x=2 n=3 P(摸到红球 )=P(X=2)=十八、 符合指数分布，求概率公式：f(x)=例 1：某种电子元件的使用寿命 X (单位 :小时 ) 服从 = 的指数 分布。求： (1)一个元件能正常使用 1000 小时以上的概率；(2) 一个元件能正常使用 1000 小时到 2000 小时之间的概率X 的密度函数为 f(x)=(1)P(X1000)= dx= dx=(2)P(1000X2000)= = dx十九、 符合正态分布

8、，求概率公式：例 1 ：设随机变量 X 服从正态分布 N(1.5,4) ，求： (1)P(1.5X3.5) ；(2)P(X3.5) 。其中： (0)=0.5， (0.75)=0.7734 ， (1)=0.8413 ， (2.25)=0.9878 =1.5，= =2(1)P(1.5X3.5)=) ( )= (1) (0)=0.3413(2)P(X3.5)= ( )= (1)=0.8413二十、 正态分布图像公式： 图像关于 对称 面积表示概率，总面积为 1 越小，图像越陡例 1 ：例 2 ： 常见分布的其他表示方法 均匀分布 Ua,b 二项分布 Bn,p 指数分布 E() 正态分布 N例： X在

9、2,5上服从均匀分布，求 X的取值大于 3 的概率 即 XU2,5 ，求 X 的取值大于 3 的概率。 某种电子元件的使用寿 X(单位:小时)服从 = 的指数分布 即 某种电子元件的使用寿命 X(单位:小时)服从 XE( ) 概率论第五课二十一、 已知二维离散型分布律，求 ?例 1 ：已知二维随机变量 X， Y 的分布律如下表： 求： (1)P(X=0) ， P(Y=2)(2) P(X1 ，Y 2)(3) P(X+Y=2)(4) X ，Y 的分布律(5) Z=X+Y 的分布律解： (1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4P(Y=2)=0.1+0.2=0.3(2)P(X1 ，Y 2)=

10、0.2+0.1=0.3(3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4(4)(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2 P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4 P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1二十二、 已知二维离散型分布律，判断独立性公式：如果任意 ， 均满足 P(X= ，Y= )=P(X= ) P(Y= )那么 X、Y 相互独立否则 X、Y 不相互独立例 1 ：已知二维随机变量 X， Y 的分布律如下表： 请判断 X、Y 的独立性。例 2 ：已知二维随机变量

11、 X， Y 的分布律如下表： X、Y 是相互独立的，求 、的值。+ + + + + =1二十三、 已知 F(x,y) ，求 f(x,y)公式：f(x,y)=二十四、 已知 f(x,y) ，求 F(x,y)例 1 ：已知二维随机变量的联合密度函数f(x,y)=求 F(x,y) 。例 2 ：已知二维随机变量的联合密度函数为：f(x,y)=，求 F(x,y) 。二十五、 已知 F(x,y) ，求 P公式： P(X ，Y )=F( ， )例 1 ：二十六、 已知 f(x,y) ，求 P例 1 ：例 2 ：二十七、 求 F(x,y) 或 f(x,y) 中含有的未知数公式： F(+ , + )=1， F(

12、 , )=0，F(x , )=0 ， F( , y)=0二十八、 求均匀分布的 f(x,y) 与 P公式：例 1：概率论第六课二十九、 求边缘分布函数公式： (x)=F(x,+ )， (y)=F(+ ,y) 例 1 ：三十、 求边缘密度函数三十一、 判断连续型二维变量的独立性公式：例 1 ：三十二、 已知 f(x,y) ， Z=X+Y ，求 (z)公式： (z)= dx例 1 ：三十三、 已知 f(x,y) ， Z= ，求 (z)公式： (z)=|y|dy三十四、 已知 f(x,y) ，且 X,Y 相互独立， Z=max(X,Y) ，求 (z)公式： (z)= (z) (z)例 1：设随机变量

13、 X， Y独立同分布，且 X 的分布函数为，求 Z=max(X,Y) 的分布函数 。三十五、 已知 f(x,y) ，且 X,Y 相互独立， Z=min(X,Y) ，求 (z)公式： (z)=1 例 1：设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X的分布函数为，求 Z=minX,Y 的分布函数。概率论第七课三十六、 求离散型的期望 E(X)公式：例 1：已知一周获利 10 万元的概率为 0.2 ，获利 5 万元的概率为 0.3 ，亏损 2 万元的概率为 0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？X1052P0.20.30.5三十七、 求连续型的期望公式：例 1：三十八、 已知 求公式：离散型 ，连续型例 1：例 2：三十九、 求方差公式： 离散型 连续型 /离散型例 1：例 2：=四十、 根据 的性质进行复杂运算公式：例 1：四十一、 与各种分布的综合题公式：例 1