电磁场及电磁波(第1章矢量分析)(14-15-1)

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.1 矢量代数矢量代数 本节内容：矢量的表示方法及其运算。本节内容：矢量的表

2、示方法及其运算。1.1.1 标量与矢量标量与矢量 1、标量：只有大小、没有方向的量。、标量：只有大小、没有方向的量。 如温度、电位、能量、时间等。如温度、电位、能量、时间等。 2、矢量：不但有大小，而且有方向的量，又称、矢量：不但有大小，而且有方向的量，又称向量。向量。 如力、速度、电场强度、磁场强度、电流密度等如力、速度、电场强度、磁场强度、电流密度等都是矢量。都是矢量。 矢量矢量常用黑体字母或常用黑体字母或带箭头的字母表示，带箭头的字母表示， 。如如矢矢量量 A电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 矢量的表示方法有：矢量的表示方法有： 1、矢量几何表示：一段有向线

3、段。、矢量几何表示：一段有向线段。AB 矢量的大小或模：矢量的大小或模：A、A 单位矢量单位矢量1 Ae 2、矢量的代数表示：、矢量的代数表示：AeAeAAA ,AAeA 常矢量：大小和方向均不变的矢量。常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。注意：单位矢量不一定是常矢量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 3、矢量用坐标分量表示、矢量用坐标分量表示xyzOAAxAyAzzzyyxxAeAeAeA cosAAx cosAAy cosAAz )coscoscos( zyxAA coscoscoszyxAeeee 的的方方向向余余弦弦。称称为为、

4、A coscoscos222zyxAAAA模模AAeAAeAAeAAezzyyxxA 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.1.2 矢量的加法和减法矢量的加法和减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA ABBA ABBA ABBBA ABBA 交交换换律律：CBACBA )()(结结合合律律：电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.1.3 矢量的乘法矢量的乘法 1、标量乘以矢量、标量乘以矢量zyxuAzuAyuAxAu 在直角坐标系中，在直角坐标系中，x、y和和z方向的单位矢量也常方向的单位矢量也常用用表表示示。和和、zyx

5、 2、矢量的标积（点积，点乘）、矢量的标积（点积，点乘） cosABBA ABBA0 BABAABBABA /AB电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回0 xzzyyx1zzyyxxzzyyxxBABABABA2AAABA 222zyxAAAA 1coscoscos222 AexAxA yAyA zAzA 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 3、矢量的矢积（叉积，叉乘）、矢量的矢积（叉积，叉乘） sin ABeBACn ABC0zzyyxxyxzxzyzyx，)()(zyxzyxBzByBxAzAyAxBA)(yzzyBABAx)( zxxz

6、BABAy)( xyyxBABAz 叉乘规律：每一叉乘规律：每一坐标分量坐标分量都是由两项的差组成：都是由两项的差组成： 每一项的下标每一项的下标不含该分量符号；不含该分量符号； 若每一项由若每一项由A的分量乘以的分量乘以B的分量，则的分量，则正项下标顺序是：正项下标顺序是：xyzx；负项是：负项是：zyxz。 sinAB电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回zyxzyxBBBAAAzyxBAABBA ABBABA 0/ BABA电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 4、矢量的混合运算、矢量的混合运算CBCACBA )(CBCACBA )()(

7、)()(BACACBCBA)()()(BACCABCBA分配律分配律分配律分配律标量三重积标量三重积矢量三重积矢量三重积电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 小结：小结： 1、矢量的表示方法、矢量的表示方法 数学符号数学符号 有向线段（几何符号）有向线段（几何符号） 坐标分量坐标分量 2、矢量的代数运算、矢量的代数运算 两矢量的加减两矢量的加减 矢量乘标量矢量乘标量 两矢量的点乘两矢量的点乘 两矢量的叉乘两矢量的叉乘电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相

8、互正交曲三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。线的交点来确定。 在电磁场与电磁波理论中，在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线三种常用的正交曲线坐标系为：坐标系为：直角直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为三条正交曲线称为坐标坐标轴轴；描述坐标轴的量称为描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.2.1 直角坐标系直角坐标系 坐标变量：坐标

9、变量：x，y，z。 3个相互垂直的坐标轴是：个相互垂直的坐标轴是：x轴、轴、y轴和轴和z轴，并且轴，并且3个坐标轴满足右手螺旋关系。个坐标轴满足右手螺旋关系。 3个坐标轴方向的单位矢量是：个坐标轴方向的单位矢量是：。和和、zyx 从坐标原点指向空间位置点（从坐标原点指向空间位置点（x,y,z）的矢量，称）的矢量，称为为位置矢量，位置矢量，即即zeyexerzyx 用用直直角角坐坐标标分分量量表表示示为为),(zyxAzzyxAyzyxAxzyxAzyxAzyx ),(),(),(),( 单位矢量是单位矢量是常矢量。常矢量。),(zyxeee电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返

10、返 回回1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系 场点场点P的位置坐标是：的位置坐标是：。、z xyz),(zP Or轴轴的的距距离离。到到是是点点OzP 轴轴为为界界的的且且以以是是过过点点OzP 平平面面之之间间半半平平面面与与 xOz的的夹夹角角。在在其其直直角角坐坐标标是是点点Pz坐坐标标。中中的的zzyx),(zzyx,sin,cos zzxyyx ，arctan22 ， 0,20 z电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 圆柱坐标轴单位矢量：圆柱坐标轴单位矢量：。、)( )( )(zezee : 点点的的外外的的圆圆柱柱面面在在为为轴轴、半半径径为为以以),(zz

11、法法线线方方向向。xyz),(zP Or : 点点轴轴及及垂垂直直于于Pz组组成成的的平平面面，沿沿增增大大一一侧侧的的方方向向。 : z 在在P点，与点，与z轴方轴方 向平行。向平行。z 不不是是常常矢矢量量。、 （方向随（方向随P点位置改变）点位置改变）zzr 的的方方向向。坐坐标标将将影影响响 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回xyzP Or 常常数数 以以Oz轴为界的半平面。轴为界的半平面。常数常数 常常数数 以以Oz轴为轴的圆柱面。轴为轴的圆柱面。=常数（圆柱面）常数（圆柱面）常常数数z平行于平行于xOy平面的平面。平面的平面。z=常数常数电磁场与电磁波电

12、磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 矢量场的圆柱坐标系分量：矢量场的圆柱坐标系分量：zrArArArAz )()()()( zzz， 圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系中的单位圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系中的单位矢量的转换：矢量的转换： sincosyx cossinyx sincos x cossin yof fxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系f fxeye ef fe电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.2.3 圆球（球面）坐标系圆球（球面）坐标系xyzP o r。、点点的的

13、三三个个坐坐标标是是在在球球面面坐坐标标系系中中， rP它们分别称为它们分别称为矢径长度、极角和方位角。矢径长度、极角和方位角。的的距距离离；是是原原点点到到点点 PrOzOP与与是是有有向向线线段段 轴轴正正向向之之间间的的夹夹角角；轴轴为为且且以以是是过过点点OzP 平平面面之之间间界界的的半半平平面面与与 xOz的的夹夹角角。,0 r,0 20 与柱坐标一样。与柱坐标一样。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回xyzP o r,cossin rx ,sinsin ry cosrz 222zyxr zyx22arctan xyarctan sinr cosr电磁场与

14、电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回。、是是：球球面面坐坐标标轴轴的的单单位位矢矢量量 r: r 以以r为半径、原点为球心的球面在为半径、原点为球心的球面在P点的外法点的外法 线方向。线方向。: 点点轴轴及及垂垂直直于于Pz组组成成的的平平增增大大一一侧侧的的方方向向。 : 以原点为顶点、以原点为顶点、z为轴的为轴的 圆锥在圆锥在P点的外法线方向。点的外法线方向。三三者者都都不不是是常常矢矢量量。（方向随（方向随P点位置改变）点位置改变）球坐标系球坐标系0ff（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000frP面面，沿沿 rrr，与柱坐标一样。与柱坐标一样

15、。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回球坐标系球坐标系0ff（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000frP常常数数r以原点以原点O为球心的球面。为球心的球面。常常数数 以以Oz轴为轴的圆锥面。轴为轴的圆锥面。常常数数 以以Oz轴为界的半平面。轴为界的半平面。 cossinsinsincoscoscoscossinsincossinyxzyxzyxr sincoscossincossinsinsincoscoscossin rzryrx AAArArrrr电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.2.4 三种坐标系中的微

16、分元三种坐标系中的微分元 1、直角坐标系、直角坐标系 直角坐标系中，在直角坐标系中，在x轴、轴、y轴和轴和z轴方向的长度微分轴方向的长度微分元分别为元分别为dx、dy、dz，则，则lelldd zeyexezyxddd zyeSxxddd zxeSyyddd x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxddd yxeSzzddd zxeSyyddd yxeSzzddd zyxVdddd 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 2、圆柱坐标系、圆柱坐标系 圆柱坐标系中，圆柱坐标系中，轴轴方方向向的的长长度度微微

17、分分轴轴和和轴轴、在在z ，则则、元元分分别别为为zddd lelldd z zddd zeSddd 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元zeSddd dddzzeS zVdddd 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 3、圆球坐标系、圆球坐标系 圆球坐标系中，圆球坐标系中，轴轴方方向向的的长长度度微微分分轴轴和和轴轴、在在 r，则则、元元分分别别为为 dsinddrrr dsindddrererelr ddsind2reSrr 球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元 ddsindrreS dddrreS dddsin

18、d2rrV 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 小结：小结： 5、不同坐标系的单位矢量及矢量的坐标分量之间、不同坐标系的单位矢量及矢量的坐标分量之间的关系的关系 1、三种坐标系中场点的坐标位置、三种坐标系中场点的坐标位置 2、不同坐标系中坐标变量之间的关系、不同坐标系中坐标变量之间的关系 3、位置矢量、位置矢量 4、三种坐标系中矢量的坐标分量、三种坐标系中矢量的坐标分量 6、不同坐标系中的线元，面积元和体积元、不同坐标系中的线元，面积元和体积元电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.3.1 标量场和矢量场标量

19、场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个应，称在该区域上定义了一个场场。 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场。标量场。 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场。矢量场。 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场；静态场；反之为反之为时变场。时变场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 静态标量场和矢量场分别表示为：静态标量场和矢量场分别表示为：。、),()(zyxFzy,x,u 时变场可分别表示为：时变场可分别表示

20、为：。、),()(tzyxFtz,y,x,u电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.3.2 等值面等值面 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面称为间形成的曲面称为等值面。等值面。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) ) 意义：形象直观地描述了物理意义：形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。量在空间的分布状态。 等值面方程：等值面方程：Czy,x,u )( 等值面的特点：等值面的特点： （1）C取一系列不同的值，就得到取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成一系列不同的等值面，形成等值面族；等值面族； （2）标量场的等值面充满场

21、所在）标量场的等值面充满场所在的整个空间；的整个空间； （3）标量场的）标量场的等值面互不相交。等值面互不相交。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.3.3 方向导数方向导数表示函数的变化率。表示函数的变化率。xxfd)(dzzyxuyzyxuxzyxu ),(,),(,),(表示函数沿表示函数沿x轴方向的变化率轴方向的变化率 定义定义空间方向：空间方向： coscoscoszyxlel 个个坐坐标标轴轴方方向向的的夹夹角角。分分别别为为该该方方向向与与 3 、 方向导数：方向导数：标量场标量场u(x，y，z)在某点沿在某点沿 方向的变方向的变llu 化化率率lzz

22、ulyyulxxu coscoscoszuyuxu 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 lululM 0lim0 coscoscoszuyuxu 0lu 0lu 0 lu方方向向增增加加；沿沿表表示示lMu)(方方向向减减小小；沿沿表表示示lMu)(方方向向无无变变化化。沿沿表表示示lMu)( 特点：特点：方向导数既与点方向导数既与点M0有关，也与方向有关。有关，也与方向有关。 问题：问题：在什么方向上变化率最大？其最大的变化在什么方向上变化率最大？其最大的变化率为多少？率为多少？电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下

23、一页返返 回回1.3.4 标量场的梯度标量场的梯度grad u 1、梯度的概念、梯度的概念 标量场标量场u在点在点M处的梯度是一个矢量，它的方向处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量沿场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率。变化率最大的方向，大小等于其最大变化率。maxgradlueul 单单位位矢矢量量。变变化化率率最最大大的的方方向向上上的的是是场场量量 uel 2、梯度的计算、梯度的计算 定义矢量函数：定义矢量函数：zuzyuyxuxzyxG ),( coscoscoszyxl coscoscoszuyuxulu leG cosG 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返

24、返 回回GlG数数的的值值最最大大，且且等等于于的的方方向向一一致致时时，方方向向导导与与当当。的的模模 G 根据定义：根据定义：的的梯梯度度。称称为为标标量量场场),(),(zyxuzyxG 在直角坐标系中，在直角坐标系中，zuzyuyxuxzyxGu ),(grad 在直角坐标系中定义运算符号：在直角坐标系中定义运算符号：zzyyxx 称为称为哈密顿算子。哈密顿算子。AAAA，uu grad电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 圆柱和圆球坐标系中的梯度公式：圆柱和圆球坐标系中的梯度公式：zuzuuu 1 ururrurusin11 3、梯度的性质、梯度的性质 （1

25、）标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大的方向，其数值表示变化最方向表示该点场变化最大的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。大方向上场的空间变化率。 （2）标量场在某个方向上的方向导数，是梯度标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。在该方向上的投影。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回：上上的的任任一一方方向向沿沿等等值值面面clu.)const(cclulu0 （3）梯度的方向与过该点的等值面）梯度的方向与过该点的等值面相垂直。相垂直。 等值面的法线方向单位矢量为：等值面的法线方向单位矢

26、量为：uun 4、一、一些常用的梯度运算恒等式：些常用的梯度运算恒等式：0 CuCCu )(vuvu)(uvvuuv)()(12vuuvvvuuufuf)()(电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例1.3-1 参看下图，场点参看下图，场点P与源点与源点P间距离为间距离为R，试证试证xyzO),(zyxP P(x,y,z)r RR11。运运算算表表示示对对带带撇撇坐坐标标作作微微分分)(为为动动点点取取为为定定点点，将将PPzzyyxx )( )( )(zzzyyyxxxrrR证证：222)()()(zzyyxxR rRRRRR 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上

27、一页下一页下一页返返 回回 R123222)()()()( )( )(zzyyxxzzzyyyxxx3RR31RRR31RRRRR11 zzyyxx222)()()(1zzyyxx 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 R222)()()()( )( )(zzyyxxzzzyyyxxx RR R 在电磁场中，通常以在电磁场中，通常以 表示源点（电荷或表示源点（电荷或电流）的坐标；电流）的坐标；),(zyx 以以(x,y,z)表示场点的坐标。表示场点的坐标。222)()()(zzyyxx zzyyxx电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 例题例

28、题 在点电荷在点电荷q的的静电场静电场中，中，P(x,y,z)点的电位为点的电位为22204),(zyxrrqzyx， f f求求P P点的电位梯度。点的电位梯度。rqzyx14),(0 f f解解：rrq304 f fE（静电场）（静电场）电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 小结：小结： 1、多元函数（标量场）的偏导数、多元函数（标量场）的偏导数 2、方向导数、方向导数 3、标量场梯度的定义、标量场梯度的定义 4、梯度的计算、梯度的计算 5、梯度与等值面的关系、梯度与等值面的关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.4 矢量场的通量与散

29、度矢量场的通量与散度1.4.1 矢量线矢量线 矢量线：是一族曲线，曲线上矢量线：是一族曲线，曲线上每一点的切线方向代表该点矢量场每一点的切线方向代表该点矢量场的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr 意义：形象直观地描述了矢量意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。场的空间分布状态。zzyyxxr ),(),(),(),(zyxFzzyxFyzyxFxzyxFzyx zzyyxxrdddd 平平行行，则则与与若若Frd),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx 矢量线方程：矢量线方程：电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.4.2 矢量场

30、的通量矢量场的通量),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量面积元法向单位矢量面积元法向单位矢量 穿过面积元的通量：穿过面积元的通量：SeFSFnddd 穿过曲面穿过曲面S的通量：的通量： SnSSeFSFdd 如果曲面如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是 SnSSeFSFdd 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 =0(无源无源) 0 (有正源有正源)通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢有净的矢量线进入量线进入进入与穿

31、出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.4.3 矢量场的散度矢量场的散度 1、散度的概念、散度的概念VsAASV dlimdiv0是标量是标量表示单位体积中的通量。表示单位体积中的通量。 某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中的通量源，也称通量源密度。体积中的通量源，也称通量源密度。 2、散度的表达式及直角坐标系下表达式的推导、散度的表达式及直角坐标系下表达式的推导AdivzAyAxAzyx A 直角坐标系：直角坐标系： 柱坐标系：柱坐标系：zAAAAz 1)(1电

32、磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 球坐标系：球坐标系： ArArArrrArsin1)(sinsin1)(122 直角坐标系下散度表达式的推导：直角坐标系下散度表达式的推导：xyzO1S3S5Sx y z 在方体中心点，矢量场在在方体中心点，矢量场在x方向上的坐标分量是方向上的坐标分量是Ax， 则在则在S1面上的场坐标分量是面上的场坐标分量是21xxAAAxxx 变化率变化率 则在则在S2面上的场坐标分量是面上的场坐标分量是22xxAAAxxx 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回zyxxAASASAxxSxS 2dd111zyxxAASA

33、SAxxSxS 2dd222zyxxASASAxSS 21ddzyxzAzyxyAzyxxASAzyxS dzyxV VsAASV dlimdiv0zAyAxAzyx 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 3、一些常用的散度运算恒等式：、一些常用的散度运算恒等式：,)(BABA,)(ACAC uAAuAu )( 定理的内容：定理的内容：矢量场矢量场散度的体积分等于该矢量散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面穿过包围该体积的封闭面的总通量，即的总通量，即 SVsAvAdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S1.4.4 散度定理散度定理电磁场与电磁波电磁场与

34、电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 小结小结: 1、矢量场的通量、矢量场的通量 通量的定义通量的定义 封闭曲面通量的意义封闭曲面通量的意义 2、散度的定义、散度的定义 3、散度的计算、散度的计算 4、散度定理、散度定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.5.1 环流（量）环流（量） 环流不为零时表示存在环流不为零时表示存在旋涡源。旋涡源。 ClAd的的线线积积分分，沿沿场场中中某某一一封封闭闭曲曲线线环环流流：矢矢量量场场CA 环量越大，矢量场的涡旋越强。环量越大，矢量场的涡旋越强。 矢量场的涡旋是由某种矢量场的涡

35、旋是由某种“力力”（涡旋源）引起的。（涡旋源）引起的。 闭合回路的环流与该回路所围成的面上的涡旋源闭合回路的环流与该回路所围成的面上的涡旋源有关。有关。 面上的涡旋源愈强，围绕涡旋源的闭合回路的环面上的涡旋源愈强，围绕涡旋源的闭合回路的环流愈大。流愈大。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回S CMFn 环流强度（也称环流密度）：环流强度（也称环流密度）：SlACS dlim0 某面上一点的环流强度是指此面某面上一点的环流强度是指此面上该点的邻域内单位面积的环量。上该点的邻域内单位面积的环量。 环流强度是面上的函数，表示环流在面上的分布。环流强度是面上的函数，表示环流在

36、面上的分布。 环流强度的面积分就等于面边界闭合回路的环流。环流强度的面积分就等于面边界闭合回路的环流。 某面上各点的环流强度与该面的取向有关。某面上各点的环流强度与该面的取向有关。 不同的方向，环流强度不同。不同的方向，环流强度不同。 一定存在一个方向，其环流强度比其它方向的大。一定存在一个方向，其环流强度比其它方向的大。 问题：哪一个方向的环流强度最大？问题：哪一个方向的环流强度最大？电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.5.2 旋度旋度 某一点矢量场的旋度某一点矢量场的旋度 是一矢量：是一矢量： 大小定义为：大小定义为： 该点上最大的环流强度。该点上最大的环流强

37、度。 方向定义为：方向定义为： 环流强度最大的方向。环流强度最大的方向。max0maxdlimcurl SlAnACS Acurl 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的分布情况。空间的分布情况。是矢量是矢量 某个方向的环量强度是旋度在该方向上的投影。某个方向的环量强度是旋度在该方向上的投影。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回zzAyyAxxAA )(curl)(curl)(curlcurlxyzO1234z y 4321dddddzAyAzAyAlAzyzyCx 在在1段上的场为段上的场为2zzAAyy yzzA

38、AyAyyy 2d1 在在3段上的场为段上的场为2zzAAyy yzzAAyAyyy 2d3电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 CxlAdzyzAy zyyAz 正方形所包围的面积为：正方形所包围的面积为：zy max0maxdlimcurl SlAnACS xA)(curlzAyyAzAcurlxzAyAyzyxAzAzxzyAxAxyA xxA)(curl yyA)(curl zzA )(curl电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回zyxAAAzyxzyxA 在柱坐标中：在柱坐标中：zAAAzzA 1 在球坐标中：在球坐标中： ArrA

39、ArrrrrArsinsinsin12电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 定理内容：定理内容：矢量场在封闭曲线矢量场在封闭曲线l上的环量等于上的环量等于l所所包围的曲面包围的曲面S上的旋度之总和。上的旋度之总和。 或表述为：矢量场的旋度穿过曲面或表述为：矢量场的旋度穿过曲面S的通量等于的通量等于该矢量在包围该曲面的闭合曲线该矢量在包围该曲面的闭合曲线l上的环流，即上的环流，即lSlAsAdd)(1.5.4 旋度的有关公式旋度的有关公式BABA)(AuAuAu )(0 C0 u0 A电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一

40、页返返 回回 例题例题 计算计算.u 解：解：zzuyyuxxuu uzuyuxuzyxzyx uyzuzyx22 uzxuxzy22 uxyuyxz220电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 例题例题 计算计算.AzAyAxyzxAzAyzxyAxAzxyAAzAyAxyzxAzAyzxyAxAzxyyxAz2zxAy2zyAx2xyAz2xzAy2yzAx20电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 小结小结 1、矢量场的环量、矢量场的环量 2、环量强度、环量强度 3、旋度的定义、旋度的定义 4、旋度的计算、旋度的计算 5、斯托克斯定理、斯托

41、克斯定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.6.1 矢量场的源矢量场的源 1、散度源：、散度源： 是标量，产生的矢量场在包围源的封是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和。源的总和。 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度。量场在该点的散度。 2、旋度源：、旋度源： 是矢量，产生的矢量场具有涡旋性是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面质，穿

42、过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环流。边界的闭合回路的环流。 在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。于）矢量场在该点的旋度。电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回1.6.2 矢量场按源的分类矢量场按源的分类 1、无旋场：、无旋场： 仅有散度源而无旋度源的矢量仅有散度源而无旋度源的矢量。 llF0d 这种场一定无旋涡这种场一定无旋涡线积分和路径无关，因此是保守场。线积分和路径无关，因此是保守场。 这种场的旋度这种场的旋度处处处处为零为零0 F 因为因为0 u 因此这种场可以用标量

43、场的梯度表示：因此这种场可以用标量场的梯度表示：uF 例：静电场例：静电场0 E E电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 2、无散场、无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场。仅有旋度源而无散度源的矢量场。 这种场无通量源这种场无通量源SSF0d 这种场的散度这种场的散度处处处处为零为零0 F 因为因为0A 因此这种矢量场可以表示为另一个矢量场的旋度。因此这种矢量场可以表示为另一个矢量场的旋度。AF 例如：恒定磁场。例如：恒定磁场。0 BAB 电磁场与电磁波电磁场与电磁波上一页上一页下一页下一页返返 回回 3、若讨论的场区，既无旋又无散、若讨论的场区，既无旋又无散 源在要讨论的区域之外。源在要讨论的区域之外。00FFuF 0)( u02 u称为拉普拉斯方程称为拉普拉斯方程 4、既可能有散，也可能有旋的矢量场、既可能有散，也可能有旋的矢量场 这样的场可分