第7章 数字滤波器概念

1、一一. .数字滤波器的概念数字滤波器的概念. .滤波器：滤波器： 指对输入信号起滤波作用的装置。指对输入信号起滤波作用的装置。 , , 对其进行傅氏变换得对其进行傅氏变换得: : )(ny)()()(nhnxny)()()(eHeXeYjjj)(nh 2 2、当输入、输出是离散信号，、当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h h（n n）时，）时，这样的滤波器称作这样的滤波器称作数字滤波器数字滤波器。)(nxc c)(jeX00c c)( jeY0c c)(jeHH(eH(ejj) )为矩形窗时为矩形窗时的情形的情形二、数字滤波器的系统函数与差分

2、方程二、数字滤波器的系统函数与差分方程NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(H(z)X(z)Y(z)1 1、系统函数、系统函数 2 2、差分方程、差分方程 对上式进行对上式进行Z Z反变换，即得反变换，即得NkMkkkknxbknyany10)()()( 3 3、滤波器的功能与实现、滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列滤波就是对输入序列 进行一定的运算操进行一定的运算操 作从而得到输出序列作从而得到输出序列 实现滤波从运算上看实现滤波从运算上看, ,只需三种运算：只需三种运算： 加法、单位延迟、乘常数加法、单位延迟、乘常数。 因此实现的方法有两种：因此实现的方法有两种： （1

3、 1）利用通用计算机编程，即软件实现）利用通用计算机编程，即软件实现; ; （2 2）数字信号处理器（）数字信号处理器（DSPDSP）即专用硬件实现。）即专用硬件实现。)(nx)(ny)e (Hj)e (Hj)e (Hj0c234023低通低通0c23高通高通带通带通)e (Hj)e (Hj002233带阻带阻全通全通 一个理想的选频滤波器，可以让信号中的某些频一个理想的选频滤波器，可以让信号中的某些频率分量完全通过，同时完全抑制另外那些无用的频率率分量完全通过，同时完全抑制另外那些无用的频率分量，它的期望特性分量，它的期望特性( (设计指标设计指标) )一般都是以幅频响应一般都是以幅频响应和

4、相频响应的形式给出的。例如，一个理想的低通滤和相频响应的形式给出的。例如，一个理想的低通滤波器，其频率响应为：波器，其频率响应为： 1 ()0 cjcH e即在滤波器的通频带内，其幅频响应为一常数，相频即在滤波器的通频带内，其幅频响应为一常数，相频响应为数字角频率的线性函数。它的单位冲激响应为响应为数字角频率的线性函数。它的单位冲激响应为 sin( )cccnh nn 可见该系统是非因果的，因此是物理不可实现的。这个可见该系统是非因果的，因此是物理不可实现的。这个结论可以扩展到更一般的情况，就是说任何具有平坦的通带结论可以扩展到更一般的情况，就是说任何具有平坦的通带和阻带或者具有陡峭截止特性的

5、滤波器，无论它是和阻带或者具有陡峭截止特性的滤波器，无论它是LPLP、HPHP、BPBP或或BSBS都是非因果的，物理不可实现。都是非因果的，物理不可实现。 因此在工程上，我们总是用一物理可实现的线性时不变因此在工程上，我们总是用一物理可实现的线性时不变系统去逼近理想情况，例如在上例中，一般在冲激响应系统去逼近理想情况，例如在上例中，一般在冲激响应h(n)h(n)引入较大的延时引入较大的延时 n n0 0，使它逼近于因果系统，使它逼近于因果系统 0() 0( )0 0h nnnh nn 这样，这样，h(n)h(n)的傅里叶变换的傅里叶变换H(eH(ejwjw) )就不再具有理想的就不再具有理想

6、的频率特性。好在工程上的滤波器设计只要满足一定的容差频率特性。好在工程上的滤波器设计只要满足一定的容差条件就可以了，容差条件可以用容线图来描述条件就可以了，容差条件可以用容线图来描述 11 1 1、DFDF的性能要求的性能要求)e (Hj0cst211 :c:st通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率2：阻带容限阻带容限1: 通带的容限通带的容限通带通带阻带阻带过渡带过渡带 平滑过渡平滑过渡2)(,jsteH,stc111)(1 ,jceH低通滤波器的性能指标低通滤波器的性能指标高通滤波器的性能指标高通滤波器的性能指标fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止

7、频率：fp(wp)又称为通带下限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fp(ws)又称阻带上限截止频率。阻带衰减：As带通滤波器的性能指标带通滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws2带阻滤波器的性能指标带阻滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。

8、通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws22、通常具体技术指标通常具体技术指标，即归一化）（式中均假定：阻带应达到的最小衰减通带允许最大衰减：1)()(lg20)()(lg20)()(lg20)()(lg20000jjwjwjjwjwjeHdBeHeHeHAsdBeHeHeHApststcc3 3、DFDF频响的三个参量频响的三个参量 （1 1）幅度平方响应）幅度平方响应 （2 2）相位响应）相位响应)()()()()(*2jjjjjeHeHeHeHeHjezzHzH)()(1)(Im)(Re)()()(jje

9、jjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(1jjjeHeHtge（3 3）群延迟）群延迟dedejj)()(它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。表示每个频率分量的延迟相同。4 4、DFDF设计内容设计内容 （1 1）按任务要求确定）按任务要求确定FilterFilter的性能指标；的性能指标； （2 2）用）用IIRIIR或或FIRFIR系统函数去逼近这一性能要求；系统函数去逼近这一性能要求； （3 3）选择适当的运算结构实现这个系统函数；）选择适当的运算结构实现这个系统函数； （4 4）用软件还

10、是用硬件实现。）用软件还是用硬件实现。第第7 7章章 IIR IIR滤波器的设计滤波器的设计7.1 7.1 引言引言一一 、IIRIIR数字数字filterfilter的设计方法的设计方法 （1 1）借助模拟）借助模拟filterfilter的设计方法的设计方法 a. a. 将将DFDF的技术指标转换成的技术指标转换成AFAF的技术指标；的技术指标； b. b. 按转换后技术指标、设计模拟低通按转换后技术指标、设计模拟低通filterfilter的的 ； c. 将将 d. 如果不是低通，则必须先将其转换成低通如果不是低通，则必须先将其转换成低通AFAF的的 技术指标。技术指标。 （2 2） 计

11、算机辅助设计法（最优化设计法）计算机辅助设计法（最优化设计法） 先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下最大误差最小准则等，然后在此准则下 ， 确定系确定系统函数的系数。统函数的系数。) s (Ha)()(zHsHa 以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是时数字滤波也可看作是“模仿模仿”模拟滤波

12、器。在模拟滤波器。在IIRIIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。逐渐增多。 二、二、将将DFDF的技术指标转换为的技术指标转换为ALFALF的技术指标的技术指标1 1、意义、意义 AFAF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃什，切比雪设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃什，切比雪夫等。夫等。2 2、一般转换方法、一般转换方法 （1 1） （2 2） （3 3） （4 4）AL

13、FDLF ALFAHFDHFALFABFDBFALFABSFDBSF3 3、转换举例、转换举例 例如，一低通例如，一低通DFDF的指标：在的指标：在 的通带的通带范围，幅度特性下降小于范围，幅度特性下降小于1dB1dB；在；在 的的阻带范围，衰减大于阻带范围，衰减大于15dB15dB；抽样频率；抽样频率 ；试将这一指标转换成试将这一指标转换成ALFALF的技术指标。的技术指标。 解：按照衰减的定义和给定指标，则有解：按照衰减的定义和给定指标，则有2 . 03 . 0kHzfS101)e (H/ )e (Hlg202 . 0 j0 j15)e (H/ )e (Hlg203 . 0 j0 j 假定

14、假定 处幅度频响的归一化值为处幅度频响的归一化值为1 1，即即01)e (H0 j这样，上面两式变为这样，上面两式变为1)(lg202 . 0jeH15)(lg203 . 0jeH由于由于 ，所以当没有混叠时，根据关系式，所以当没有混叠时，根据关系式模拟模拟filterfilter的指标为的指标为T),()()(jHTjHeHaaj1)102(lg20)2 . 0(lg203jHTjHaa15)103(lg20)3 . 0(lg203jHTjHaa三、三、ALFALF的设计的设计 ALFALF的设计就是求出的设计就是求出filterfilter的系统函数的系统函数 Ha(S) ，使其逼近理想使

15、其逼近理想LFLF的特性，逼近的形式（的特性，逼近的形式（filterfilter的类型）的类型）有巴特沃什型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近有巴特沃什型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是依据是幅度平方函数幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统，即由幅度平方函数确定系统函数。函数。1 1、由幅度平方函数确定系统函数、由幅度平方函数确定系统函数 （1 1）幅度平方函数）幅度平方函数)()()()(*22jHjHjHAaaa由于由于 所以所以)()(*jHjHjsaaaasHsHjHjHA)()()()()(2 其中，其中， 是是AFAF的系统函数，的系统函数， 是是AFAF的频响，的频响，

16、是是AFAF的幅频特性。的幅频特性。) s (Ha)j (Ha)( jHa（2 2）H Ha a（S S）H Ha a（-S-S）的零极点分布特点）的零极点分布特点 a. a. 如果如果S1是是Ha（S）的极点，那麽的极点，那麽- S1就是就是H Ha a（-S-S）的极点；同样，如果的极点；同样，如果S0是是Ha（S）的零点，那麽的零点，那麽- S0就是就是Ha（-S）的零点。所以的零点。所以Ha（S） Ha（-S）的零极点是呈的零极点是呈象限对称的象限对称的, ,例如：例如： b. b. 虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的是实数时的Ha

17、（S）的零极点以共轭对存在；的零极点以共轭对存在； c. c. 虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）； d. d. 由于由于filterfilter是稳定的，所以是稳定的，所以Ha（S）的极点一定在的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。的零点。 ;1111jj;2222jj;3344jjj11j3322j22j11j4j4 j(3) (3) 由由 确定确定 的方法的方法 a. a. 求求 b. b. 分

18、解分解 得到各零极点，将左半面的得到各零极点，将左半面的 极点归于极点归于 ，对称的零点任一半归，对称的零点任一半归 。 若要求最小相位延时，左半面的零点归若要求最小相位延时，左半面的零点归 （全部零极点位于单位圆内）。（全部零极点位于单位圆内）。 c. c. 按频率特性确定增益常数。按频率特性确定增益常数。 22)()(jHAa)(sHa22)()()(2SaaAsHsH),S(H)S(Haa)S(Ha)S(Ha)S(Ha例例 由由)36)(49/()25(16)(22222A确定系统函数确定系统函数 。)(SHa解：解：)36)(49()25(16)()()(2222222SSSASHSH

19、Saa所以，极点为所以，极点为 零点为零点为, 6s , 7s4, 32, 1, 5 j均为二阶的。我们选极点均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点，一对虚轴零点5 j为为 的零极点，这样的零极点，这样)S(Ha)6S)(7S()25S(K)S(H20a由由 ，可确定出，可确定出 ，)0(A)0(Ha0K76K25)0(H0a,76254)0(A所以所以 。4K0因此因此42S13S100S4)6S)(7S()25S(4)S(H222a因因7.2 7.2 常用模拟滤波器设计常用模拟滤波器设计一、巴特沃什低通滤波器一、巴特沃什低通滤波器 1 1、 巴特沃什模拟低通滤波器的响应及其特点巴特

20、沃什模拟低通滤波器的响应及其特点NCajjjHA222)(11)()(其中，其中，N N 为为filterfilter的阶数；的阶数； 为通带截止频率。为通带截止频率。 a a、C特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f f 幅频特性幅频特性A(QA(Q2 2) )单调单调 。1)(, 0)( , 102jQHQQQQ，QQaNccc则时当21)(, 1jQHQQ，QQacc则时当0)(, 1)( , 12jQHQQQQ，QQaNccc则时当注：巴特沃什模拟低通滤波器的带宽恒为注：巴特沃什模拟低通滤波器的带宽恒为3dB3dB带宽，与阶数无关带宽，与阶数

21、无关(b).(b).巴特沃什滤波器在通带内和阻带内均为单调变化，巴特沃什滤波器在通带内和阻带内均为单调变化，单单 调下降调下降函数。函数。(d).随阶次的随阶次的增大增大而越来越接近于理想低通滤波器。而越来越接近于理想低通滤波器。(c).(c).当当 并且由于幅度平方函数并且由于幅度平方函数 的的 前前2N-12N-1阶导数在阶导数在Q=0Q=0处为零，故又称为处为零，故又称为最大平坦最大平坦响应滤响应滤 波器。波器。 1)(, 0jQHQa2)( jQHa幅频特性幅频特性)j (Ha1.01.02/10 0N=2N=2N=4N=4N=8N=8c 通带：使信号通过的频带通带：使信号通过的频带

22、阻带：抑制噪声通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带 过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 c c ：通带边界频率。：通带边界频率。理理想想滤滤波波器器过渡带为零过渡带为零阻带阻带|H(j)|=0|H(j)|=0通带内幅度通带内幅度 |H(j)|=const.|H(j)|=const. H(j) H(j)的相位线性的相位线性2 2、 巴特沃什巴特沃什filterfilter的系统函数的系统函数)(SHa由由 所以其零点全所以其零点全部部在在 处；即所谓全极点型，假设处；即所谓全极点型，假设Qc=1Qc=1，则它，则它的极点为的极点为,)(1/1)()(2NCaajS

23、SHSHS也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃什圆上（半径为在巴特沃什圆上（半径为 ），共有），共有2N2N点。点。C为偶数时当为奇数时当为偶数时当为奇数时当N，eN，eSN，eN，eSNNkjNkjk）kj（kjNN)2(2212) 1(12210N、k例如，例如，N=2N=2时，时，,431jCeS,eS45jC2,eS47jC3N=3N=3时，时，,eS35jC4;eS49jC4,eS32jC1,eSjC2,eS34jC3,eS2jC537jC6eSj2N 1S2S3S4S1S2S3S4S5S6Sj3N 4NkeSkjck2,.

24、,1,)41221(考虑到系统的稳定性，取考虑到系统的稳定性，取 左半平面的左半平面的极点为极点为 的极点，这样极点仅有的极点，这样极点仅有N 个，即个，即其中，常数其中，常数 由由 的低频特性决定。的低频特性决定。)()(SHSHaa)(SHaNkeSNkjCk, 2 , 1,)21221( 则则NkkaSSKSH10)()(0K)(SHa注：极点不可能出现在虚轴上，而是等间隔的分布在注：极点不可能出现在虚轴上，而是等间隔的分布在 以以QcQc为半径的圆周上，间隔为为半径的圆周上，间隔为N/23j21eS34j3 例例 导出三阶巴特沃什导出三阶巴特沃什LFLF的系统函数，设的系统函数，设s

25、/rad1C解：解：所以所以)1(6622111/1)()(jjjHA6aaS1/1)S(H)S(H其极点为其极点为因此有因此有,23j21eS32j1, 1eSj2,23j21eS35j4, 1eS2j523j21eS37j6取前三个极点，则有取前三个极点，则有1S2S2SK) 1S)(23j21S)(23j21S(K)S(H2300a1210,N、keSNkjk, 1)0(AK)0(H0a1S2S2S1)S(H23a3 3、 归一化的系统函数归一化的系统函数 如果将系统函数的如果将系统函数的S, S, 用滤波器的截止频率去除，这用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为样对应的截止频率

26、变为1 1，即所谓归一化，相应的系统，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作函数称作归一化的系统函数记作例如，对于巴特沃什例如，对于巴特沃什filterfilter)S(Han,)SS(K)S(HN1kk0a)N21k221( jCkeSN, 2 , 1k )21221(10,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH如果将低通如果将低通filterfilter归一化，就称作归一化原型滤波器。归一化，就称作归一化原型滤波器。4 4、归一化原型、归一化原型filterfilter的设计数据的设计数据 不论哪种形式（巴特沃什，切比雪夫）的不论哪种形式（巴特沃什，切比雪夫）的fil

27、terfilter，都有自己的归一化原型都有自己的归一化原型filterfilter，而且它们都有现成的数，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式据表可查和设计公式 例如，归一化巴特沃什原型例如，归一化巴特沃什原型filterfilter的系统函数（这的系统函数（这里的里的S S即即 ）为）为当当 , ,增益为增益为1 1，则有，则有 ，N=1-10N=1-10阶的各阶的各个系数，如表所示。个系数，如表所示。 如果如果 ，则，则 E E（S S）的根。即）的根。即 的极点所示。的极点所示。 * * 由归一化系统函数由归一化系统函数 得得 ，只需将，只需将S S代代入入 即可。即可。SN2210

28、anSSaSa1d)S(H 01ad00)S(E/d)S(H0an)S(Han)S(Han)S(HaC/S 5 5、设计举例（巴特沃什、设计举例（巴特沃什filterfilter） a. a. 技术指标技术指标 b. b. 计算所需的阶数及计算所需的阶数及3dB3dB截止频率截止频率 将技术指标，代入上式，可得将技术指标，代入上式，可得1)102 j (Hlg203a15)103 j (Hlg203a)(1/1)j (HN2C2a)(1lg10)j (Hlg20N2Ca1)102(1lg10N2C315)103(1lg10N2C3解上述两式得：解上述两式得：1 . 0N2C310)102(15

29、 . 1N2C310)103(1因此，因此，3C1004743. 7,8858. 5N取取N=6N=6，则，则3C100321. 7c. c. 的求得的求得查表，可得查表，可得N=6N=6时的归一化原型模拟巴特沃什时的归一化原型模拟巴特沃什LFLF的的系统函数为系统函数为3456anS1416202. 9S4641016. 7S8637033. 3S/(1)S(H) 1S8637033. 3S4641016. 72) 1S4142135. 1S)(1S51763809. 0S/(122)1S931851652. 1S(2)(sHa将将S用用 代入，可得代入，可得3C100321. 7/SS)S

30、(Ha)104504.49S1064003. 3S/101 .120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475. 9S(632632二、切比雪夫（二、切比雪夫（chebyshevchebyshev）滤波器）滤波器 特点：误差值在规定的频段上等幅变化。特点：误差值在规定的频段上等幅变化。 巴特沃什滤波器在通带内幅度特性是单调下降的巴特沃什滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率，如果阶次一定，则在靠近截止频率 处，幅度下处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要降很多，或者说，为了使通常内的衰

31、减足够小，需要的阶次（的阶次（N N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的多项式逼近所希望的 。 切比雪夫滤波器的切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃什滤波伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃什滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于围）提出要求，如要求波动范围小于1db1db。 c2)( jH2)( jH1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxTN1 1、T TN

32、 N（x x）NN阶切比雪夫多项式，定义为阶切比雪夫多项式，定义为coshxcoshx返回返回x x的双曲余弦值，定义为的双曲余弦值，定义为 (exp(x) + exp(-x)/2 (exp(x) + exp(-x)/2 利用递推公式：利用递推公式： 及及可以得任意阶数的切比雪夫多项式的展开式：可以得任意阶数的切比雪夫多项式的展开式：11( )2( )( )NNNTxxTxTxxx，TxT)(1)(1022( )21T xx33( )43T xxx424( )881T xxx535( )16205T xxxx一般而言，有一般而言，有(a).N(a).N阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式 为为x

33、x的的N N阶多项式阶多项式)(xTN)(xTN)(xTN为偶数为奇数为偶数为奇数时当NN，TNNT，xNN10)0(10)0(021)1(1N，Tx时(b).N(b).N为奇数时，为奇数时， 为奇函数；为奇函数；N N为偶数时，为偶数时， 为偶函数为偶函数)(, 11)(,1xTxxxTxNN时(c).(d).(d).当当振幅平方函数为振幅平方函数为)(11)()(2222cNaTjHAc10有效通带截止频率有效通带截止频率与通带波纹有关的参量，与通带波纹有关的参量， 大大 ，波纹大。，波纹大。 2 2、频率响应及其特点、频率响应及其特点 如图如图 ,通带内通带内 变化范围变化范围1 c ，

34、随，随/c ， 0 (迅速趋于零迅速趋于零)平方幅频特性在过渡区和阻带内单调下降平方幅频特性在过渡区和阻带内单调下降, ,当其幅度减小到当其幅度减小到1/A1/A2 2处时的频率称为阻带截止频率处时的频率称为阻带截止频率当当 =0时，时， N为偶数，为偶数， ，min ， N为奇数，为奇数， ， max，)2(cos11)0arccos(cos11)(22220NNjHa22011)(jHa1)(02jHa1)2(cos2N0)2(cos2N2111c2a)( jH2a)( jH2minmax111lg20)()(lg20jHjHaa)1lg(1021101.02)(dB 给定通带波纹值分贝数

35、给定通带波纹值分贝数 后，可求后，可求 。3 3、 有关参数的确定有关参数的确定: : a a、通带截止频率、通带截止频率c c，预先给定，预先给定 b b、通带波纹为、通带波纹为 c c、阶数、阶数NN由阻带的边界条件确定。（由阻带的边界条件确定。（ 、A A事先给定）事先给定） r1lg ) 1(lg22ssQQggN则处的衰减为阻带,12sQA)(1) 1(22sNjQHAAg其中)(sHN0)(122jsTNNNNNkkkkkkkbaQbabQajQS1212121222221121112111211121,1:,由以下两式确定其中方程为圆上则极点在一个椭如果极点位置表示为（3 3）

36、滤波器的传递函数滤波器的传递函数 的确定的确定: : NkbQNkakk2) 12(cos2) 12(sinNNNNNNNNkNssbsbsbbsVVkNVkNksVksskSHS112210212)()1()0()0(,)()()(:为偶数时当为奇数时当为归一化因子其中传递函数为平面极点可以求得系统利用左半例：试设计一切比雪夫例：试设计一切比雪夫LFLF，使其满足下述指标：，使其满足下述指标： 1 1、要求在通带内的波纹起伏不大于、要求在通带内的波纹起伏不大于2dB2dB 2 2、截止频率为、截止频率为40rad/s40rad/s 3 3、阻带、阻带52rad/s52rad/s处的衰减大于处

37、的衰减大于20dB20dB解解（1 1）归一化处理）归一化处理a.a.归一化截止频率归一化截止频率QcQc为为1rad/s.1rad/s.b.b.归一化阻带归一化阻带Qs=52/40=1.3rad/sQs=52/40=1.3rad/s （2 2）参数求取）参数求取765. 02)1 (1lg20) 1(lg20212求得jHN)693. 0459. 0081. 0(081. 0)()()1 . 3(25443322105ssssbsbsbsbbksHc函数求得归一化滤波器系统查表53 . 41lg1lg01.13) 1(1020)1 (lg20)3 . 1(lg2022222NQQggNAgA

38、AjHssN则选求得 （3 3）函数确定）函数确定)6271 .14)(152039. 5)(73. 8(1037. 8)(:,40/,402265ssssssHssQc波器传递函数即可得到所要设计的滤代换用滤波器传递函数中只要将上述归一化原型为满足)39. 035. 0)(95. 0135. 0)(21. 0(081. 0)(:)60. 017. 0)(60. 017. 0()97. 006. 0)(97. 006. 0)(21. 0(081. 0)(:)2 . 3(2255ssssssHjsjsjsjsssHC实数形式为将上式共轭对展成二次式展开式为可得极点位置和二次因查表 4 4、椭圆滤

39、波器（考尔滤波器）、椭圆滤波器（考尔滤波器） 特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。滤波器是最优的。 其振幅平方函数为其振幅平方函数为 R RN N（，L L）雅可比椭圆函数雅可比椭圆函数LL表示波纹性质的参量表示波纹性质的参量),(11)()(2222LRjHANa N=5， 的特性曲线的特性曲线 可见，在归一化通带内（可见，在归一化通带内（-11）

40、，）， 在（在（0，1）间振荡，而超过间振荡，而超过L后，后， 在在 间振荡。间振荡。 这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。 ),(25LR2L),(25LR),(25LR 椭圆滤波器的振幅平方函数椭圆滤波器的振幅平方函数 图中图中和和A A的定义的定义 同切比雪夫滤波器同切比雪夫滤波器rr当当cc、rr、和和A A确定后，阶次确定后，阶次N N的确定方法为：的确定方法为：)1()()1()(1/212121kKkKkKkKNAkkrc确定参量确定参数2/1222/1210)1 ()1 ()(tktdtkK式中式中 为第一类完全椭圆积

41、分为第一类完全椭圆积分 上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。计方法，设计时按照指标要求，合理选用。 一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃什最高，参数的灵敏度则恰恰相反。次之，巴特沃什最高，参数的灵敏度则恰恰相反。 巴特沃什滤波器巴特沃什滤波器频响在通带和阻带内均单调变化频响在通带和阻带内均单调变化带宽恒为带宽恒为3dB3dB带宽，与阶数无关带宽，与阶数无关切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器切比雪夫切比雪夫I I型频响在通带内等波纹变化，型频

42、响在通带内等波纹变化， 在阻带内单调，切比雪夫在阻带内单调，切比雪夫IIII型频响在通带内型频响在通带内 单调，在阻带内等波纹变化单调，在阻带内等波纹变化 带宽一般不是带宽一般不是3dB3dB带宽，带宽， 椭圆滤波器椭圆滤波器频响在通带和阻带内均等波纹变化频响在通带和阻带内均等波纹变化带宽一般不是带宽一般不是3dB3dB带宽，带宽， 21()1acHj()1acpHj 7.37.3 通过模拟滤波器设计通过模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 在前一节我们介绍了模拟滤波器的设计方法，可见，在前一节我们介绍了模拟滤波器的设计方法，可见，现在的模拟滤波器设计技术非常成熟，许多常用的模拟滤现

43、在的模拟滤波器设计技术非常成熟，许多常用的模拟滤波器都有现成的设计公式，只要将设计指标代入设计公式，波器都有现成的设计公式，只要将设计指标代入设计公式，就可以很容易的计算出滤波器系统参数，实现起来相当简就可以很容易的计算出滤波器系统参数，实现起来相当简单。而且，在很多场合下，用离散时间系统模拟一个连续单。而且，在很多场合下，用离散时间系统模拟一个连续时间系统是有意义的。时间系统是有意义的。思路：思路：(a). (a). 先设计一个满足性能指标的模拟滤波器先设计一个满足性能指标的模拟滤波器 (b). (b). 采用映射变换的方式从采用映射变换的方式从 得到需要的数字滤波器得到需要的数字滤波器H(

44、Z) H(Z) )S(Ha)S(Ha通常有两种方法：通常有两种方法：（1 1）冲激响应不变法；）冲激响应不变法；（2 2）双线性变换法。）双线性变换法。映射变换的基本要求映射变换的基本要求1 1、因果性不变、因果性不变2 2、稳定性不变、稳定性不变3 3、频率响应形状不变，保留模拟频响的基本特性、频率响应形状不变，保留模拟频响的基本特性 s s平面左半平面平面左半平面z z平面单位圆内平面单位圆内( (保证物理可实现性不变保证物理可实现性不变) )s s平面虚轴平面虚轴z z平面单位圆上平面单位圆上 一、冲激响应不变法一、冲激响应不变法1 1、变换原理、变换原理 利用模拟滤波器理论设计数字滤波

45、器，也就是使利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。同的角度出发。 冲激响应不变法是从滤波器的冲激响应出发，使冲激响应不变法是从滤波器的冲激响应出发，使数字滤波器的冲激响应序列数字滤波器的冲激响应序列h(n)h(n)正好等于模拟滤波器正好等于模拟滤波器的冲激响应的冲激响应h ha a(t)(t)的采样值，即的采样值，即 h(n)=hh(n)=ha a(nT), T(nT), T为采样周期为采样周期 如以如以H Ha a(s) (s) 及及 H H（z z）分别表示）分别表示 h ha a

46、(t) (t) 的拉氏变换及的拉氏变换及 h(n)h(n)的的 Z Z变换，即变换，即H Ha a(s)=Lh(s)=Lha a(t) , H(z)=Zh(n)(t) , H(z)=Zh(n)2 2、映射变换、映射变换 假如已设计出满足性能指标的模拟滤波器假如已设计出满足性能指标的模拟滤波器 ，其单位冲激响应为其单位冲激响应为 , ,记记 为为 的采样，的采样，即：即：)(sHa)(tha)(tha)(tha( )( )()aanh th ttnT则由拉普拉斯变换（定义、性质）则由拉普拉斯变换（定义、性质） 12( )()aanHsHsjnTT( )( ) ( )() ( ) () () (

47、)staastanstannsTannsTnHsh t edth ttnT edth ttnT edth nT eh n e( )( )nnH zh n z 比较上面两式得，比较上面两式得， 即即s s平面与平面与z z平平面之间的映射变换为面之间的映射变换为 ( )( )sTaz eHsH zsTze 以上表明，采用冲激响应不变法将模拟滤波器以上表明，采用冲激响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的变换为数字滤波器时，它所完成的 S S 平面到平面到 Z Z 平平面的变换，正是拉氏变换到面的变换，正是拉氏变换到Z Z变换的标准变换关系，变换的标准变换关系，即首先对即首先对H Ha

48、 a(s)(s)作周期延拓，然后再经过作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到的映射关系映射到 Z Z 平面上。平面上。STez稳定性：稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 S Si i 都在都在S S左半平面，即左半平面，即 ResResi i 0 , 0 , 那么变换后那么变换后H(Z)H(Z)的极点的极点 也都在单位圆以内，也都在单位圆以内，因此数字滤波器保持稳定。因此数字滤波器保持稳定。Tsie1)(TsRTsieiee映射关系映射关系 ： S S平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，都将的横带部分，都将重叠地映射到重叠地映射到Z Z平

49、面的整个平面上平面的整个平面上: : 每一横带的左半部分映射到每一横带的左半部分映射到Z Z平面单位圆以内，平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到每一横带的右半部分映射到Z Z平面单位圆以外，平面单位圆以外， 轴映射到单位圆上，轴映射到单位圆上， 轴上每一段轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。都对应于绕单位圆一周。STezT2jjT2jsrezj,令TerT,则可以保证稳定性和因果性。又因为可以将可以保证稳定性和因果性。又因为可以将s s平面的虚轴映平面的虚轴映射为射为z z平面的单位圆，所以基本保持频率响应的形状不变平面的单位圆，所以基本保持频率响应的形状不变j0TT3T3T)Im( zj

50、)Re( z0S 平面Z 平面: 3 3、频响关系、频响关系 上面我们讨论的是上面我们讨论的是s s平面与平面与z z平面之间的映射关平面之间的映射关系，通过将模拟滤波器系，通过将模拟滤波器h ha a(t)(t)的系统函数的系统函数H Ha a(s)(s)与数与数字滤波器字滤波器h(n)h(n)的系统函数的系统函数H(Z)H(Z)联系、对照，得出的联系、对照，得出的映射关系实质上也是系统函数之间的关系。映射关系实质上也是系统函数之间的关系。 下面将讨论模拟滤波器下面将讨论模拟滤波器ha(t)ha(t)和数字滤波器和数字滤波器h(n)h(n)频率响应之间的关系，即考察频率响应之间的关系，即考察

51、ha(t)ha(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Ha(jQ)Ha(jQ)和和h(n)h(n)的变换的变换H(eH(ejwjw) )之间的关系，从而推导之间的关系，从而推导出模拟角频率出模拟角频率Q Q和数字角频率和数字角频率W W之间的关系。之间的关系。 ( )( )at nTh nh t12()()jarH eHjjrTTT因为因为所以所以根据取样定理，只有当根据取样定理，只有当AFAF的频响带限于折叠频率以内的频响带限于折叠频率以内时，即时，即才能使才能使DFDF在折叠频率在折叠频率 内重现内重现AFAF的频响，而不产生混的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际叠失真。但是，任何一个实际A

52、FAF的频响却不是严格带的频响却不是严格带限的，就会产生限的，就会产生混迭失真混迭失真，如下图，如下图2T, 0)j (HSa)T/j (Ha022)(jeH)(TjHa00冲激响应不变法中的频响混淆冲激响应不变法中的频响混淆模拟滤波器频响模拟滤波器频响在折叠频率以上在折叠频率以上衰减越大，失真衰减越大，失真则越小，这时，则越小，这时，采用冲激响应不采用冲激响应不变法设计的数字变法设计的数字滤波器才能得到滤波器才能得到良好的效果。良好的效果。4 4、AFAF的数字化方法的数字化方法 （1 1）一般方法）一般方法)Z(H)S(Ha)S(HL) t (ha1a) t (ha)nT(h)n(ha例：

53、已知模拟滤波器的系统函数例：已知模拟滤波器的系统函数H(s)=A/(s-a),H(s)=A/(s-a),试试用冲激响应不变法求相应的数字滤波器的系统函数用冲激响应不变法求相应的数字滤波器的系统函数H(Z)H(Z)解解: :对对H(S)H(S)进行拉氏反变换进行拉氏反变换, ,求得模拟系统单位响应求得模拟系统单位响应: :先做先做 ，再对，再对抽样，使抽样，使 ，最后，最后)()(nhZZH一般来说过程比较复杂。一般来说过程比较复杂。)()()(| )()(:, )()()(1nueAnTuAethnhtuAeasALthnaTantnTtat激响应为则离散系统的冲1)1)()()(:ZeAnu

54、eAZnhZZHZaTaTn变换后即得对上式进行 上述方法适用于一般的模拟系统函数可以用部分上述方法适用于一般的模拟系统函数可以用部分分式展开成为上述那样单极点和的形式分式展开成为上述那样单极点和的形式. . （2 2）方法的简化）方法的简化 设设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，分子的阶次， 可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)S(Ha)S(HaN1kkkaSSA)S(HN1ktSka1a) t (ueA)S(HL) t (hkN1kN1knTSknTSka)n(u)e (A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z(H0

55、nN1kkn1TSA)ze (kN1k0nn1TSk)ze (AkN1k1TSkZe1Ak例例: :模拟系统函数如下模拟系统函数如下: :试用冲激响应不变法求出相试用冲激响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函数应的数字滤波器的系统函数. .2222)(baassassHa解解: :将上式分解为部分分式之和将上式分解为部分分式之和: :)(21)(212)(222jbasjbasbaassassHa可见该模拟系统有一对共轭极点可见该模拟系统有一对共轭极点: :相应的数字滤波器也有一对极点相应的数字滤波器也有一对极点: :)(jbaskTjbaeZ)( )1)(1 ()cos(1121121)(1

56、111)(1)(ZeeZeeZbTeZeZeZHjbTaTjbTaTaTTjbaTjbaa数字滤波数字滤波器的系统器的系统函数为函数为: :（3 3）、修正）、修正例例 将一个具有如下系统函数的模拟滤波器数字化。将一个具有如下系统函数的模拟滤波器数字化。 解：解： 3111) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT模拟滤波器的频率响应为模拟滤波器的频率响应为: : 示于图示于图a a4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs的频率响应为的频率响应为: :示于图示于图b b 显然数字滤波器的频率响应与采样间隔显然

57、数字滤波器的频率响应与采样间隔T T有关有关,T,T越小越小, ,衰减越大衰减越大, ,混叠越小混叠越小, ,当当 f fs s=24Hz ,=24Hz ,混叠可忽混叠可忽略不计略不计, ,为什么混迭呢为什么混迭呢? ? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj小结小结 1)1)冲激响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性冲激响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，的，与与是线性关系。是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应

58、与频率的关系。换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过冲激响应不变法例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过冲激响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用冲激响器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用冲激响应不变法。应不变法。 TjHeHaj/)()( 3) 3)如果如果H Ha a(s)(s)是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在S S左半平面

59、，映射后得左半平面，映射后得到的到的H(Z)H(Z)也是稳定的。也是稳定的。 4)4)冲激响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因冲激响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器器, ,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带，再用冲的频

60、带，再用冲激响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤激响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。应时才采用。 2s 二、双线性变换法二、双线性变换法 冲激响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混冲激响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从淆，这是从S S平面到平面到Z Z平面的标准变换平面的标准变换z ze esTsT的多值对的多值对应关系导致的应关系导致的, ,为了克服这一缺点，设想变换分为两为了克服这一缺点，设想变换分为两步：步： 第一步：将整