第三章点、直线、平面投影

1、第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影第三章第三章 点、线、面的投影点、线、面的投影3.2 3.2 点的投影点的投影3.3 3.3 线的投影线的投影3.1 3.1 投影法及三视图的形成投影法及三视图的形成3.4 平面的投影平面的投影第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影3.1 3.1 投影法及三视图的形成投影法及三视图的形成 投影法投影法:就是投射线通过物体，向选定的面透射，并就是投射线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法。在该面上得到图形的方法。 透射中心透射中心就是所有透射线的起源点。就是所

2、有透射线的起源点。 投射线投射线就是发自透射中心且通过被表示物体上各点的就是发自透射中心且通过被表示物体上各点的直线。直线。 投影面投影面就是投影法中得到投影的面。就是投影法中得到投影的面。 投影（投影图）投影（投影图）就是根据投影所得到的图形。就是根据投影所得到的图形。3.1.1 3.1.1 概述概述第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影一、中心投影法一、中心投影法 投射线都从透投射线都从透射中心出发的投影射中心出发的投影称为中心投影。称为中心投影。3.1.23.1.2投影法的分类投影法的分类第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影中心投影法中心投影法投射线投射

3、线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改变，投物体位置改变，投影大小也改变影大小也改变第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 1）正投影法）正投影法 投射线与投投射线与投影面影面 相互相互垂直的平行垂直的平行投影法。投影法。 机械图样主机械图样主要用正投影要用正投影 因为这种投因为这种投影图能正确影图能正确地表达物体地表达物体的真实形状的真实形状和大小，作和大小，作图比较方便。图比较方便。二、平行投影法二、平行投影法 投射线相互平行的投影法，也称为平行投影法。投射线相互平行的投影法，也称为平行投影法。 平行投影法又分为：平行投影法又分为：第三章第三章 点、直线、

4、点、直线、平面的投影平面的投影 投射线与投投射线与投影面相倾斜影面相倾斜的平行投影的平行投影法。法。 斜投影法常斜投影法常用于绘制械用于绘制械零件的立体零件的立体图图，特点是特点是直观性强，直观性强，但作图比较但作图比较麻烦麻烦2)2)斜投影法斜投影法第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法投射线互相平行投射线互相平行且垂直于投影面且垂直于投影面投射线互相平行投射线互相平行且倾斜于投影面且倾斜于投影面 正投影法正投影法第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影正投影的基本特性正投影的基本特性 1）真实性）真实性 平行于投影面的直平行

5、于投影面的直线或平面图形，在该投线或平面图形，在该投影面上的投影反映线段影面上的投影反映线段的实长或平面图形的真的实长或平面图形的真形，即真实性。形，即真实性。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影2）积聚性）积聚性 垂直于投影面垂直于投影面的直线或平面图形，的直线或平面图形，在投影面上积聚成在投影面上积聚成一点或一直线，即一点或一直线，即积聚性。积聚性。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影3）类似性）类似性 直线或平面图形直线或平面图形倾斜于投影面，它倾斜于投影面，它们在投影面上的投们在投影面上的投影长度缩短或是一影长度缩短或是一个比是实形小、但个比是实形小

6、、但形状相似，边数相形状相似，边数相等的图形，即类似等的图形，即类似性。性。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影多面正投影多面正投影 物体在互相垂直的两个或多物体在互相垂直的两个或多个投影面所得到的正投影个投影面所得到的正投影称为多面正投影称为多面正投影. 当投影面和投影方向确定当投影面和投影方向确定时时,空间点空间点A在投影面上只在投影面上只有唯一的投影有唯一的投影 a, 但只凭点但只凭点B的一个投影的一个投影b,不不能确定点能确定点B的空间位置的空间位置.第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 物体的一个投影往往不能维物体的一个投影往往不能维一地确定物体的

7、形状。一地确定物体的形状。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 因此，通常将物体向两个或两个以上互相垂直因此，通常将物体向两个或两个以上互相垂直的投影面进行正投影，如下图所示。的投影面进行正投影，如下图所示。当物体在互相垂直的两个或多个投影面得到正投当物体在互相垂直的两个或多个投影面得到正投影后将这些投影面旋转展开到同一图面上，使该影后将这些投影面旋转展开到同一图面上，使该物体的各正投影图有规则地配置，并相互之间形物体的各正投影图有规则地配置，并相互之间形成对应关系。成对应关系。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影

8、平面的投影HWV1.投影面投影面正面投影面（简称正面或正面投影面（简称正面或V面）面）水平投影面（简称水平面或水平投影面（简称水平面或H面）面）侧面投影面（简称侧面或侧面投影面（简称侧面或W面）面）2.投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直3.1.3 三视图的形成三视图的形成1 1、 三面投影体系三面投影体系第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影VWHx0yzy俯视俯视主视主视左视左视YXZO规定规定 : V面保持不动，面保持不动，H面向下向后面向

9、下向后绕绕OX轴旋转轴旋转900，W面向右向后绕面向右向后绕OZ轴旋转轴旋转900。2 .2 .三视图的形成三视图的形成第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 用正投影法在一个投影面上绘制的物体的用正投影法在一个投影面上绘制的物体的图形只能反映物体的一个方向的形状因此，常用图形只能反映物体的一个方向的形状因此，常用三视图来表达。三视图来表达。 主视图：将物体由前向后向正投影面投影得到的视图。主视图：将物体由前向后向正投影面投影得到的视图。俯视图：将物体由上向下向水平投影面投影得到的视图俯视图：将物体由上向下向水平投影面投影得到的视图左视图：将物体由左向右向侧投影面投影得到的视图

10、左视图：将物体由左向右向侧投影面投影得到的视图第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影3、三视图、三视图 投影关系投影关系物体有长、宽、高三个方向尺寸。物体有长、宽、高三个方向尺寸。主视图反映物体的长、高尺寸。主视图反映物体的长、高尺寸。俯视图反映物体的长、宽尺寸。俯视图反映物体的长、宽尺寸。左视图反映物体的宽、高尺寸。左视图反映物体的宽、高尺寸。 根据三视图之间的投影关系，根据三视图之间的投影关系，归纳以下三条投影规律：归纳以下三条投影规律： 主、俯视图主、俯视图长对正长对正。 主、左视图主、左视图高平齐高平齐。 俯、左视图俯、左视图宽相等宽相等。 第三章第三章 点、直线、点、

11、直线、平面的投影平面的投影2.2.三视图之间的方位对应关系三视图之间的方位对应关系OXY ZVWH上上下下左左右右后后上上下下前前后后左左右右前前上上下下左左右右前前后后第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影“主、俯视图长对正主、俯视图长对正”即长度相等即长度相等,并互相对正并互相对正;”主、左视图高平齐主、左视图高平齐”即高度相等并相互平齐即高度相等并相互平齐;“俯、左视图宽相等俯、左视图宽相等“宽相等宽相等”表现为俯视图的竖直方向与左视图的水平方表现为俯视图的竖直方向与左视图的水平方向相对应向相对应,即即“竖对横竖对横”。“长对正长对正,高平齐高平齐,宽相等宽相等”是三视图

12、之间的投影规律是三视图之间的投影规律,是是画图和读图的重要依据画图和读图的重要依据.三视图的投影规律三视图的投影规律上下左右前后长宽高上下左右前后宽第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 Pb AP过空间点过空间点A的投射线与投影面的投射线与投影面P的交点的交点即为点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 3.3.2 2 点、线、面的投影点、线、面的投影3.3.2.1 2.1 点的三面投影点的三面投影点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。不能确定点的空间位置。第三章第三章 点、直线、点

13、、直线、平面的投影平面的投影二、二、 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影 如图如图, 设立两个相互设立两个相互垂直的的正投影面垂直的的正投影面V面和水平投影平面和水平投影平面面H面，组成了两面，组成了两投影面体系。投影面体系。 V面面和和H面的交线称面的交线称X轴。轴。两投影面将空间划两投影面将空间划分为四个分角。这分为四个分角。这里只介绍第一分角里只介绍第一分角中的投影。中的投影。1.两投影面体系的引入两投影面体系的引入第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影2.点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影规律：规律： 点的正面投影与水平投影的连线垂直于点的正

14、面投影与水平投影的连线垂直于OX轴。轴。 点的正面投影到点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到轴的距离，反映该点到H面的距离；点的水平投影到面的距离；点的水平投影到OX轴的距离，反轴的距离，反映该点到映该点到V 面的距离。面的距离。 点的水平投影在点的水平投影在OX轴下方（上方），表示空轴下方（上方），表示空间该点在间该点在V面的前方（或后方）。点的正面投面的前方（或后方）。点的正面投影在影在OX轴的上方（或下方），表示空间该点轴的上方（或下方），表示空间该点在在H面的上方或（下方）。面的上方或（下方）。 第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影1.空间点空间点A在三个投影面上的

15、投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影WHVoXa aa AZY空间点用大写字母表示，点空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。的投影用小写字母表示。三、点在三投影面体系中的投影三、点在三投影面体系中的投影 第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影三、点在三投影面体系中的投影三、点在三投影面体系中的投影 点的三面投影体系是在点的三面投影体系是在两投影面体系的基础上，两投影面体系的基础上，再增加一个侧立投影面再增加一个侧立投影面W构成的。构成的。 过空间任一点过空间任一点A向三个向三个投影面做垂线，求得

16、点投影面做垂线，求得点A三个投影面上的投影。三个投影面上的投影。 利用三个投影面上投影，利用三个投影面上投影，可以唯一确定点可以唯一确定点A在空间在空间的位置。的位置。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影点的三面投影动画演示点的三面投影动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影. 点的三面投影点的三面投影和坐标的关系为：和坐标的关系为： 水平投影水平投影 a 反映反映A点点X和和Y的坐标；的坐标；正面投影正面投影 a反映反映A点点X和和Z的坐标；的坐标；侧面投影侧面投影a反映反映A点点Y和和Z的坐标。的坐标。yxzOAVHWaaaXZY aax= a az

17、=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动2.投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影XYZOVHWAaa a 3.2.2.点的投影规律点的投影规律: a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离

18、xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一: :通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规直接量取取a az=aaxa 第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 d d e e f f e f dzxYW YH0例：已知点的两投影，求其第三投影例：已知点的两投影，求其第三投影 d a a a第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影5.特殊位置点：特殊位

19、置点：第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影6.6.各种位置点的投影各种位置点的投影 空间点空间点 点的点的X X、Y Y、Z Z三个坐标均不为零，其三个三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。投影都不在投影轴上。投影面上的点投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与所点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点与原点重合的点 点的三个

20、坐标为零，三个投影都与点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。原点重合。 第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 两点的正面投影反映两点的上下、左右位置关系：两点的正面投影反映两点的上下、左右位置关系： 两点的水平投影反映两点的左右、前后位置关系。两点的水平投影反映两点的左右、前后位置关系。 两点的侧面投影反映两点的上下、前后位置关系。两点的侧面投影反映两点的上下、前后位置关系。 空间两点的相对位置，由它们的坐标差所确定。空间两点的相对位置，由它们的坐标差所确定。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影3.2.4 3.2.4 两点相对位置的判别：两点相对位置的判别

21、： 两点的相对位置指两点在空间的上两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。下、前后、左右位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前z z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b bXYHYWZB点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例 已知已知A A点在点在B B点之前点之前5 5毫米，之上毫米，之上9 9毫毫米，之右米，之右8 8毫米，求毫米，求A A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 985第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的

22、投影小结两点的相对位置小结两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X X坐坐标值大的点在左；标值大的点在左；Y Y坐标值大的点在前；坐标值大的点在前；Z Z坐坐标值大的点在上。标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。出其三面投影。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 8.8.重影点及投影可见性：重影点及投影可见性： 空间两点在某

23、一投影面上的投影空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。面的重影点。a a c c ( )a c A、C为为H面的重影点面的重影点被挡住的被挡住的投影加投影加( )第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影重影点投影动画演示重影点投影动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影3.3 3.3 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同名两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投投影用直线连接，就得到直线的同名投影。影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一

24、、直线的投影一、直线的投影ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabm第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影二、二、 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水

25、平线（平行于面水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影b a aba b b aa b ba 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。并反映直线与另两投影面倾角的实大。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。轴。

26、水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角: 实长实长实长实长实长实长ba aa b b 1.投影面平行投影面平行线投影线投影第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影正平线正平线水平线水平线侧侧平平线线通过观察图中三通过观察图中三种直线的投影情种直线的投影情况，归纳总结投况，归纳总结投影面平行线的投影面平行线的投影特性。影特性。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影正平线投影特性动画演示正平线投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影水平线投影特性动

27、画演示水平线投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影侧平线投影特性动画演示侧平线投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上， 投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )2.2.投影面垂直线投影面垂直线投影投影第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影正垂线投影特性动画演示正

28、垂线投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影铅垂线投影特性动画演示铅垂线投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影侧垂线投影特性动画演示侧垂线投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影总结：投总结：投影面垂直影面垂直线的投影线的投影特性特性 在所垂直的投影面上积在所垂直的投影面上积聚为一点；聚为一点； 其它两投影垂直于相应的其它两投影垂直于相应的投影轴。投影轴。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影3. 一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 直线的各投影均对投直线的各投影均对投影轴倾斜

29、；影轴倾斜； 1)直线的各投影与投直线的各投影与投影轴的夹角并不反映影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影空间直线与相应投影面的倾角。面的倾角。 2)当直线当直线AB倾斜于倾斜于投影面时，它在该投投影面时，它在该投影面上的投影影面上的投影ab长度长度小于实长，缩短多少，小于实长，缩短多少，根据对投影面夹角大根据对投影面夹角大小确定。小确定。 第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影一般位置直线投影特性动画演示一般位置直线投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影讨论：如何判讨论：如何判断直线与投影断直线与投影面关系面关系投影面平行线投影面平行线：有一个平

30、行于投影轴的投影有一个平行于投影轴的投影投影面垂直线投影面垂直线：有两个垂直于投影轴的投影有两个垂直于投影轴的投影有一个投影积聚成一点有一个投影积聚成一点一般位置直线一般位置直线：有两个不平行于投影轴的投影有两个不平行于投影轴的投影第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影|zA-zB |ABABbbaaCXO例例 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影ABbbaaCXO例例 求直线的实长及对正面投影面的夹求直线的实长及对正面投影

31、面的夹角角 角角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影XZYO例例 求直线的实长及对侧面投影面的求直线的实长及对侧面投影面的夹角夹角 角角ABbbabaaZXaaaOYHYWbbb|XA-XB|XA-XB|第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影一般位置直线对一般位置直线对面的倾角面的倾角ABbaa b 第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影NEW第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 一般位置直线对一般位置直线对面的倾角面的倾角aba b abBA

32、NEW第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 一般位置直线对一般位置直线对面的倾角面的倾角abbaAa b BNEW第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例：求：求一般位置直线对面的一般位置直线对面的倾角倾角xxb a AB实长第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影若点在直线上若点在直线上, 则点的投影必在则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的同名投影分割成与空间相同的比例。即：的比例。即： 若点的投影有一个不在直线的同名投影上，若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线则

33、该点必不在此直线上。上。点在直线上的判别方法点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理3.3.3. 直线与点直线与点1)点在直线上点在直线上第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性： 1)1)从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。在直线上。 2)2)定比性定比性 属于线段上的点分割线段之

34、比等于其投影之比。属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即即A CA C: C B = a c : c b= a: C B = a c : c b= a c c : c: c b b = a = a c c : c : c b b ABbbaaXOccCc第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影点点C不在直不在直线线AB上上例例 判断点判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例 已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正的正面投影。面

35、投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影bbXaaBC例例 已知线段已知线段ABAB的投影，试定出属于线的投影，试定出属于线段段ABAB的点的点C C的投影，使的投影，使BCBC 的实长等于已知长的实长等于已知长度度L L。cLABzA-zBcab第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例 点在直线上上点在直线上上第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影abcc ca b ba 点的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律点的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。 C点在直线上点在直线上第

36、三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影ABa bab ba 2)点不在点不在 直线直线上。上。dd dDNEW第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例：例：判断点是否在直线判断点是否在直线 上上解法：解法：点的投影不符点的投影不符合点在直线上的合点在直线上的投影规律，故投影规律，故点不在直线点不在直线上。上。NEW第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影d0M0解法解法例：例：判断点是否在直线判断点是否在直线 上上O O 点的投影不符合点的投影不符合直线上点定比性，故直线上点定比性，故点点不在直线上。不在直线上。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面

37、的投影平面的投影3.3.4 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线空间两直线的相对位置的相对位置同面直线同面直线异面直线异面直线平行平行相交相交交叉交叉1) 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性：空间两直线平行，则其空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，各同名投影必相互平行，反之亦然。反之亦然。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影abcdc a b d 例例 判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线，只对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。空间两直线就平行。AB/CD第三章第三章 点、直线

38、、点、直线、平面的投影平面的投影b d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线，只有两对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影abcdb a c d kk 2) 2) 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点的投影必符合空间

39、一点的投影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影cabb a c d k kd例：过例：过C点作水平线点作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影d b a abcdc1 (2 )3(4 )3) 3) 两直线交叉两直线交叉投影特性：投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个点的投影规律。不符合空间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对重对重影点的投影，用其可帮助判断影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位

40、置。两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。123 4 第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影判断交叉两直线重影点的可见性判断交叉两直线重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判断重影点的判断重影点的可见性时，需要可见性时，需要看重影点在看重影点在另一另一投影面上的投影，投影面上的投影，坐标值大的点投坐标值大的点投影可见，反之不影可见，反之不可见，不可见点可见，不可见点的投影加括号表的投影加括号表示。示。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例 判断两直线的相对位置判断

41、两直线的相对位置baacddcbX11d1c1两直线交叉两直线交叉第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例 判别可见判别可见性性正面投影正面投影重影点重影点水平投影重影点水平投影重影点第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影3.3.53.3.5两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投

42、影仍为直角。面上的投影仍为直角。 设设 直角边直角边BC/H面面 因因 BCAB, 同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影d abca b c d例例 过过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。.AB为为正平线正平线, 正面投影正面投影反映直角。反映直角。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影f例例 过点过点E E 作线段作线段

43、ABAB、CD CD 的公垂线的公垂线EFEF。fOcbaabXcddee第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影3.4 3.4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法abca b c 不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点abca b c 直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行两平行直线直线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形1. 用几何元素表示平面用几何元素表示平面第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影2.平面的迹线表示法平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ第三

44、章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 (实形性实形性)平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 (积聚性积聚性)平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面 (类似性类似性) 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性3.4.2、平面的投影特性、平面的投影特性第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类

45、：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影VWHPPH铅垂面铅垂面投影特性投影特性： abc积聚为一条线积聚为一条线 a b c 、 a b c 为为 ABC的类似形的类似形 abc与与OX、 OY的夹角反映的夹角反映 、

46、角的真实大小角的真实大小 ABCacbababbaccc1 1） 投影面垂直面投影面垂直面第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影铅垂铅垂面的面的投影投影特性特性第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影铅垂面投影特性动画演示铅垂面投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影VWHQQV正垂面正垂面投影特性：投影特性： a b c 积聚为一条线积聚为一条线 abc、a b c ABC的类似形的类似形 a b c 与与OX、 OZ的夹角反映的夹角反映、 角的真实角的真实大小大小 ababbacccAcCabB第三章第三章 点、直线、点、直线、平

47、面的投影平面的投影正垂面投影特性动画演示正垂面投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影侧垂面侧垂面rrr第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影侧垂面投影特性动画演示侧垂面投影特性动画演示第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影VWHSWS侧垂面侧垂面投影特性：投影特性： a b c 积聚为一条线积聚为一条线 abc、 a b c 为为 ABC的类似形的类似形 a b c 与与OZ、 OY的夹角反映的夹角反映、角的真实大小角的真实大小 CabABcabbbaaccc第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影abca c b

48、c b a 投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影2 2） 投影面平行面投影面平行面如图所示，投影面平行如图所示，投影面平行面包括水平面、正平面面包括水平面、正平面和侧平面。和侧平面。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影VWH水平面水平面投影特性：投影特

49、性： a b c 、 a b c 积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性 水平投影水平投影abc反映反映 ABC实形实形 CABabcbacabccabbbaacc第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影水平面的投影水平面的投影qqq第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影正平面正平面VWH投影特性：投影特性： abc 、 a b c 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 正平面投影正平面投影a b c 反映反映 ABC实形实形 cabbacbcabacabcbcaCBA第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的

50、投影正平面的投影正平面的投影第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影投影特性：投影特性： abc 、 a b c 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 侧平面投影侧平面投影a b c 反映反映 ABC实形实形 侧平面侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影侧平面的投影侧平面的投影Rrrr第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影a b c a b c abc投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投另

51、两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。影轴平行的直线。积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影cbaabcbacACBnew3 3） 一般位置平面一般位置平面第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影投影特性投影特性 abc 、 a b c 、 a b c 均为均为 ABC的类似形的类似形 不反映不反映 、 、 的真实角度的真实角度 abcbacababbaccbacCAB第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影判断直线在判断直线在平面内的方平面内的方法法 定定 理理 一一 若一直线过平面上若一直线过平

52、面上的两点，则此直线必在的两点，则此直线必在该平面内。该平面内。定定 理理 二二 若一直线过平面上的一若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面一直线，则此直线在该平面内内。 平面上取任意直线平面上取任意直线3.5、平面上的直线和点、平面上的直线和点第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一所确定，试在平面内任作一条直线。条直线。解法一解法一解法二解法二有无数解。有无数解。根据定理一根据定理一根据定理二根据定

53、理二第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 平面上取点平面上取点第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k

54、 b k 面上取点的方法：面上取点的方法：abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例题例题2 已知已知 ABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D是否属于该平面。是否属于该平面。ddabcabcee不属于不属于第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影bckada d b c ada d b c k bc例例3：已知已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二第三章第三章 点、直线、

55、点、直线、平面的投影平面的投影3. 平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线一般位置平面上存在一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直行线，不存在投影面垂直线。线。平平面面上上的的正正平平线线平平面面上上的的水水平平线线平平面面上上的的侧侧平平线线第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影abcbac例题例题 已知已知 ABC给定一平面，试过点给定一平面，试过点C作属于该作属于该平面的正平线，过点平面的正平线，过点A作属于该平面作属于该平面 的水平线。的水平线。mnnm第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影四、直线与平面及

56、两平面的相对位置四、直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理：若一直线平行于平面上的某一直线，若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。则该直线与此平面必相互平行。第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例例2：过：过M点作直线点作

57、直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。c b a m abcmnn (正平线正平线)唯一解唯一解第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例题例题3 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影 两平面平行两平面平行 若一平面上的两相交直线若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。交直线，则这两平面相互平行。 若两投影面垂直面相互平若两投影面垂直面相互平行，则它们具

58、有积聚性的那行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。组投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例题例题1 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影例题例题2 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和 CD给定。给定。 试过点试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkk第三章第三章 点、直线、点、

59、直线、平面的投影平面的投影二、相交问题二、相交问题 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。位置的情况。直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置

60、例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，其水平是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线投影积聚成一条直线，该直线与与mn的交点即为的交点即为K点的水平投点的水平投影。影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在段在平面前，故正面投影上平面前，故正面投影上k n 为为可见。可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图图k21第三章第三章 点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影平面为特殊位置平面为特殊位置第三章第三章