高考第一轮复习——直线、圆方程及其位置关系-29

1、年 级高三学 科数学版 本通用版课程标题高考第一轮复习直线、圆的方程及其位置关系编稿老师孙洪成一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点扫描考点直线方程的相关概念与公式圆的方程位置关系要求理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式等），了解斜截式与一次函数的关系。掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。能根据一些给定的条件求圆的方程。能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据

2、给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。初步了解用代数方法处理几何问题的思想。题型单纯考查直线的问题多出现在选择题中，常考查斜率与位置关系。更多情况是与圆和圆锥曲线综合，出现在各种题型中。多以与直线、圆锥曲线综合的形式出现在各种题型中。多出现在选择、填空题中，偶尔出现在解答题中。分值1217分512分512分二、重难点提示重点：直线与圆的各种形式的方程及相关公式；直线与圆的位置关系的判断。难点：利用直线与圆的方程和相关公式解决相切、相交弦长、距离（相离）等问题。一、知识脉络图二、知识点拨1. 直线方程的相关概念与公式直线的倾斜角与斜率：倾斜角的取值范围是0，1

3、80） 直线的倾斜角与斜率k的关系：当时，k与的关系是；当时，直线的斜率不存在；经过P1（x1,y1），P2（x2,y2）（x1x2）两点的直线的斜率公式是。直线方程的五种形式：点斜式方程是；不能表示的直线为垂直于轴的直线。斜截式方程为；不能表示的直线为垂直于x轴的直线。两点式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线。截距式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。一般式方程为。两条直线的平行与垂直关系（分斜率存在与不存在两种情况讨论）：若两条不重合的直线的斜率都不存在，则这两条直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线垂直。已知直线，若与相交，则；

4、若，则；若/，则且；若与重合，则且几个公式：已知两点，M为中点，则已知两点，则 设点，直线点到直线的距离为设直线则与间的距离如：过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是（ ）A. x2y1=0 B. x2y+1=0 C. 2x+y2=0 D. x+2y1=0答案：A2. 圆的方程圆的标准方程为，其中圆心为，半径为r；圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为。方程表示圆的充要条件是。随堂练习：圆M的圆心在直线y=2x上，经过点A（2，1），且与直线x+y=1相切，则圆M的方程为（ ）A. （x+1）2+（y2）2=2B. （x+1）2+（y+2）2=2C. （x1）2+（y+2）2=2D.

5、（x1）2+（y2）2=2答案：C3. 位置关系判断直线与圆的位置关系的两种方法：几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为，圆的半径为，若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则。代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离。点与圆的位置关系：在圆内在圆上 在圆外两圆的的位置关系：设两圆的半径分别为，圆心距为d若两圆相外离，则，若两圆相外切，则，若两圆相交，则，若两圆内切，则，若两圆内含，则。如：已知圆，为过点的直线，则（ ）A. 与相交 B. 与相切 C.

6、 与相离 D. 以上三个选项均有可能答案：A夯实基础例题1 （1）已知直线，直线，则“”是“直线”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（2）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件思路导航：根据直线平行与垂直的充要条件，通过考察其斜率的关系判断，注意斜率不存在的情况。解答过程：（1）若出现斜率不存在的情况，比如b=0，则a0，由可推知n=0，m0，此时可推两直线平行，若斜率存在，显然由可推

7、斜率相等，可推平行；反之若，当斜率不存在时，可得b=n=0，可推，当斜率存在时，显然仍可推。所以选B。（2）当m=或2时，两条直线垂直，所以m=是两条直线垂直的充分不必要条件，选B。点评：本题考查利用斜率研究直线的位置关系，此类题目常出现在选择题中，常与简易逻辑结合起来考查，属于中等题，关键是注意考虑斜率不存在的情况。例题2 已知直线l：y=kx2和两点P（1，2）、Q（4，1），若l与线段PQ相交，求k的取值范围。思路导航：用运动的观点结合图形得出倾斜角的范围，利用两点的斜率公式求出临界值，从而得出斜率的取值范围。解答过程：由直线方程y=kx2可知直线过定点（0，2），要使直线l与线段PQ有

8、交点，则k的取值范围是k4和k3/4点评：本题是一道经典的例题，难度中等。从知识点上说比较简单，就是考查了两点的斜率公式，从思想方法上看主要考查了数形结合思想和用运动的观点看问题。另外，在观察动直线运动的过程中，要特别注意倾斜角是否含有角，若含有，则斜率的范围是，若不含有，则斜率的范围是（分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率），这也是对思维的严谨性以及极限思想的培养。本题以及类似本题的题目虽然在高考中不太可能出现，但其训练价值是显而易见的。例题3 （1）圆关于直线y=2x对称的圆的标准方程是 。（2）求以O（0,0），A（2,0），B（0,4）为顶点的三角形OAB外接圆的方程。（3）一圆与y

9、轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程。思路导航：（1）抓住对称圆的圆心，用点关于直线对称的点的求法可解，半径是不变的；（2）用圆的一般方程待定系数可解；（3）因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程待定圆心与半径。与弦长有关的问题，考虑利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解。解答过程：（1）已知圆的圆心为（1，4），设其关于直线y=2x对称的点为（a,b），则，求得所以对称圆的方程为（2）采用一般式，设圆的方程为，将三个已知点的坐标代入得，解得：故所求圆的方程为（3）因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0上，故设圆的方程为（x3b）2+（yb

10、）2=9b2。又因为直线y=x截圆所得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圆的方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9。点评：本题考查圆的方程的求法，难度中等。在求圆的方程时，应当注意以下几点：（1）确定用圆的标准方程还是一般方程；（2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）在待定系数法的应用上，列式时要尽量减少未知量的个数。例题4 已知圆，求（1）的最大值；（2）的最大值与最小值；（3）的最大值。思路导航：根据所求式子的几何意义求解或转化为函数的最值。解答过程：（1）表示圆上的点到原点的距离的平方因圆心到

11、点的距离为2，的最大值为3，从而的最大值为9（2）表示圆上的点与原点连线的斜率，所以的最大值与最小值是直线与圆相切时的斜率，设直线的方程为，由得，的最大值与最小值分别为和（3）解法1：考虑圆上的动点（x,y）到直线x2y=0的距离，所以解法2：代入圆的方程并化简得：，解得：点评：本题考查有关圆的最值问题，其常用方法有几何法、函数法、判别式法。用几何法时，要见“数”想“形”，即所求式子的几何意义，体现了数形结合思想的应用；用函数法时，常用三角换元以避开含根号的函数；判别式更具“解析”味道（用代数研究几何问题）。厚积薄发例题1 已知圆，直线=0（1）证明不论取何值，直线过定点； （2）证明直线恒与

12、圆C相交，并求出相交弦最短时的m。思路导航：（1）可对m取不同的值得两条具体直线，其交点为定点，再结合点斜式方程整理一般式可完成证明，也可采用直线系方程证之。（2）相交弦最短可转化为圆心到直线的距离恰为圆心到定点的距离，或者说圆心与定点的连线恰好垂直于直线。解答过程：（1）将直线l化为：，故直线l是经过和的交点（3，1）的直线系，故其过定点（3，1）（2）因为，所以（3,1）为圆内的点。故直线恒与圆C相交。圆心（1，2），定点（3,1），由，得m=点评：（1）在处理动直线过定点的问题时，分离参数、转化为过两条定直线的交点的直线系是最简单的方法，一般地，过定点的直线系可先找到两条交于该点的直线，

13、直线系可表示为。（2）利用了直线与圆的几何性质解决，优于代数解法，本题为中高档题。例题2 如图，已知、，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）A. B. C. D. 思路导航：直接确定M，N的坐标计算量太大，考虑利用对称知识，将折线的长度转化为折线的长度，光线所经过的路程是折线的最短长度CD，C，D点坐标可由点P对称得到。解答过程：设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，则光线所经过的路程的长，选A。点评：本题体现了关于直线对称的点的应用光线反射问题，光在相同介质中总是沿最短路程传播是其特性，于是利用这点将折线问题转化为直线问题来解决。本

14、题为中高档题。例题3 设直线系，对于下列四个命题： A. 中所有直线均经过一个定点 B. 存在定点不在中的任一条直线上 C. 对于任意整数，存在正边形，其所有的边均在中的直线上 D. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）。思路导航：显然斜率发生变化，不是平行直线系，改成点斜式，也不过定点，考虑点（0,2）与该直线的距离，发现为定值，所以该直线系由定圆的切线构成。再结合图形逐一判断。 解答过程：因为，所以点到中每条直线的距离，即为圆：的全体切线组成的集合，从而中存在两条平行直线，所以A错误；又因为点不存在于任何直线上，所以B正确；对任意，存在正边形使其

15、内切圆为圆，故正确；中的直线只能组成两个大小不同的正三角形和，故D错误，故真命题的代号是B，C。点评：本题考查直线系、点到直线的距离等知识，关键是发现直线系是圆的切线系，D选项还考查了思维的严密性，外切正三角形容易想到，但小的正三角形容易忽视。本题为高档题。例题4 已知O的半径为3，直线l与O相切，一动圆与l相切，且与O相交的公共弦恰为O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。思路导航：问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点。解答过程：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系，设动圆圆心为M（x，y）

16、，O与M的公共弦为AB，M与l切于点C，则|MA|=|MC|。AB为O的直径，MO垂直平分AB于O，由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|，化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程。点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化（把图形放在最特殊的位置上），这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。本题将直线与圆、圆与圆的位置关系综合起来，同时考查了轨迹方程的求法，为高档题。（高考江西）过直线x+y2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是

17、. 命题意图：考查圆的切线问题以及有关圆的切线的性质。解答过程：如图所示，过点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，由已知得APO=30，所以|PO|=2，设P点坐标为（x0,y0），则解得故所求坐标为（,）。点评：两切线的夹角取决于点P到圆心的距离，这个几何性质是找到解决问题的突破口的关键。本题难度中等。作为解析几何初步的直线与圆虽然在高考中通常只出现在选择、填空题中，但它为后面学习圆锥曲线奠定了思想和方法的基础，复习时应注意下面几点：（1）直线的斜率问题要特别注意斜率不存在的情况，斜率和直线的倾斜角的关系体现了角的正切值。在坐标系中，终边旋转一周过程中的变化情况的联系。要特别注

18、意在y轴处的“突变”，在设直线方程时也要注意对斜率的存在与否的讨论。（2）明确由给定条件能解决什么基本问题，比如：给定两个点，可求距离，一点关于另一点的对称点、中点坐标、垂直平分线方程、以两点确定的线段为直径的圆的方程；给定一点一直线，可求过该点的垂线、平行线、点到直线的距离、点关于直线的对称点、直线关于点的对称点、垂足等等。（3）直线与圆的位置关系是本讲重点，解决方法有两大类，一类是几何法，一类是代数法，两种方法各有所长，前者充分利用圆的几何性质，计算量小，应是首选方法，后者有更强的思想性，且同时适用于直线与圆锥曲线，也应好好理解。（4）熟记常见的直线系与圆系对于简化运算是很有帮助的，但这必

19、须建立在对双基完全掌握的基础上，不可舍本逐末。高考第一轮复习圆锥曲线的基本量的运算一、预习新知1. 椭圆与双曲线（1）椭圆与双曲线的定义是什么？有何区别与联系？（2）标准方程及字母a，b，c，e的意义是什么？有何区别与联系？2. 抛物线（1）抛物线是如何定义的？字母p的几何意义是什么？（2）标准方程有哪些形式？3. 圆、椭圆、双曲线、抛物线有何联系？离心率对曲线的形状有何影响？二、双基自测1. （合肥月考）设P是椭圆1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于（ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 10答案：D解析：依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510。2. （兰州

20、调研）“3m5”是“方程1表示椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案：B解析：要使方程1表示椭圆，应满足解得3m5且m1，因此“3m5”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件。3. （烟台调研）设双曲线1（a0，b0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. yx B. y2xC. yx D. yx答案：C解析：由题意得b1，c，a，双曲线的渐近线方程为yx，即yx。4. （西安月考）设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 12答案：B解析：据已

21、知抛物线方程可得其准线方程为x2，又由点P到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP4，由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|xPxP2426。5. （长春模拟）抛物线y28x的焦点坐标是_。答案：（2,0）解析：抛物线方程为y28x，2p8，即p4.焦点坐标为（2,0）。 （答题时间：60分钟）一、选择题1. 已知直线l经过点P（1,2），倾斜角的正弦值为，则l的方程为（ ）A. 4x5y60 B. y2（x1） C. 3x4y50 D. y2（x1）2. “ab4”是直线2xay10与直线bx2y20平行的（ ）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条

22、件 D. 既不充分也不必要条件3. 两个圆：C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有（ ）A. 1条 B. 2条C. 3条 D. 4条*4. 若点P（1,1）为圆（x3）2y29的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为（ ）A. 2xy30 B. x2y10C. x2y30 D. 2xy10*5. 若直线axby1与圆x2y21相交，则点P（a，b）（ ）A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 以上均有可能*6. 已知M（x0，y0）是圆x2y2r2（r0）内异于圆心的一点，则直线x0xy0yr2与此圆的位置关系为（ ）A. 相离 B. 相交 C. 相切

23、D. 以上均有可能*7. 过圆x2y21上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ）A. B. C. 2 D. 3*8. 设圆：，直线，点，使得存在点，使（为坐标原点），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题9. 已知圆C1：相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为 。*10. 已知点P（x，y）在圆x2（y1）21上运动，则的最大值与最小值分别为_。*11. 将一张坐标纸折叠一次，使得点A（0,2）与点A1（4,0）重合，点B（7,3）与点B1（m，n）重合，则mn_。*12. 已知圆M：（xcos ）2（ysin ）21，直线l：ykx，

24、下面四个命题（1）对任意实数k与，直线l和圆M相切（2）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点（3）对任意实数，必存在实数k，使得直线l和圆M相切（4）对任意实数k，必存在实数，使得直线l和圆M相切其中真命题的序号为 。三、解答题：13. 过点M（0,1）作直线，使它被两已知直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程。14. 根据下列条件求圆的方程：（1）与圆O：x2y24外切于点P（1，），且半径为4的圆C的方程；（2）求经过已知圆C1：x2y24x2y0和C2：x2y22y40的交点，且圆心在直线l：2x4y1上的圆C的方程。*15. 已知圆C过点P（1

25、,1），且与圆M：（x2）2（y2）2r2（r0）关于直线xy20对称。（1）求圆C的方程；（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由。1. D 2. C 3. B4. D解析：设圆心C（3,0），kCP，由kCPkMN1，得kMN2，所以弦MN所在直线方程是y12（x1），即2xy10。5. B解析：圆心到直线的距离，所以点P在圆外。6. A解析：圆心O（0,0）到直线x0xy0yr2的距离为d.因为P（x0，y0）在圆内，所以r，则有dr，故直线和圆相离。7. C解析：设圆上的点为（x0，y0），其中x00，y00，则切线方程为x0xy0y1，分别令x0，y0得A（，0），B（0，），|AB|2。8. C解析：如图，当PQ与O相切，且时，|OP|=2，当即时，圆C上存在点Q，使。故选C。9. x+y3=0 10. ；解析：设k，则k表示点P（x，y）与点（2,1）连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值，由1，解得k。11. 解析：依题设可知点A1、A关于折痕对称，即折痕为线段A1A的垂直平分线，其方程为y2x3，同时它也是B1B的垂直平分线，于是，解得，故mn。12. （2）（4）解