对坐标曲线积分2

1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 4) 4) 取极限取极限. .定积分定积分 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1) 1) 大化小大化小. . （分割）（分割）2) 2) 常代变常代变. . （直代曲）（直代曲）3) 3) 近似和近似和. .niiAA1niiixf1)(01lim()( ) dnbiiaiAfxf xx 定义定积分定义定积分xabyO1xix1ixiiA微积分学的微积分学

2、的基本思想基本思想目录 上页 下页 返回 结束 xzyoD),(yxfz i),(ii3)“近似和近似和”1)“大化小大化小” 分割分割“底底”2)“常代变常代变” 平代曲平代曲二重积分二重积分 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积4)“取极限取极限”01lim(,)( , )dnkkkDkff x y 曲顶柱体曲顶柱体的底面的底面曲顶柱体的顶面曲顶柱体的顶面的方程的方程目录 上页 下页 返回 结束 01lim(,)( , )dnkkkDkVff x y zxyabDO),(yxfz 二重积分的几何意义二重积分的几何意义: :( , )0,( , )dDf x yf x yV 曲顶柱体体积曲顶柱体体积

3、曲顶柱体曲顶柱体的底面的底面曲顶柱体的顶面曲顶柱体的顶面的方程的方程定义定义目录 上页 下页 返回 结束 设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的轴的截面面积截面面积为为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间则对应于小区间d,xxx的的体积元素体积元素为为xxAVd)(d因此所求因此所求立体体积立体体积为为xxAVbad)(xabxxxd( )A x上连续上连续,目录 上页 下页 返回 结束 如果积分区域为如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分X型

4、型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.目录 上页 下页 返回 结束 为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法, ,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy得得yyxfxxxbad),(d)()(21xbad DyxfVd),(yyxfxxd),()(

5、)(21baxxAd )(目录 上页 下页 返回 结束 .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.目录 上页 下页 返回 结束 xyOxyDO说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是 X - 型区域又是型区域又是Y - 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必

6、要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD则 目录 上页 下页 返回 结束 xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图目录 上页 下页 返回 结束 121221d y例例2. 计算计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及y yx x 所围的闭区

7、域所围的闭区域. . 解法解法1. 将D看作X - 型区域, 则:DI21dxyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算计算,dDyx其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845

8、Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线及直线则 目录 上页 下页 返回 结束 例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算计算,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.OxyDxxy 解解

9、: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222Rz

10、xDxyzRRO目录 上页 下页 返回 结束 ( , )d dDf x yxy )(2xyxoyDbax)(1xy21( )( )( , )dxxf x yy dbax 二重积分化为二次积分的方法二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 若积分区域为若积分区域为X型型区域区域被积函数不变，被积函数不变，分解区域分解区域对对y积分，上下限积分，上下限是关于是关于x的函数的函数目录 上页 下页 返回 结束 ( , )d dDf x yxy xoyD)(1yx)(2yxdcy21( )( )( , )dyyf x yx ddcy 为计算方便为计算方便, ,可选择积分序可选择积分序. .

11、二重积分化为二次积分的方法二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 若积分区域为若积分区域为Y型型区域区域被积函数不变，被积函数不变，分解区域分解区域对对x积分，上下限积分，上下限是关于是关于y的函数的函数目录 上页 下页 返回 结束 822 yx2D22yxo21D221xy 2:D282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy例例7. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分解解:逆向思维：逆向思维：先求二重积分的区域先求二重积分

12、的区域D，然后作图，由图，然后作图，由图形确定二次积分形确定二次积分。目录 上页 下页 返回 结束 复习极坐标系：复习极坐标系：O( (极点极点) )x( (极轴极轴) )极坐标系极坐标系的概念：的概念：极点、极轴、极点、极轴、单位长度单位长度角度的正方向、角度的正方向、(逆时针方向逆时针方向)M ( , ) (极坐标极坐标)极角极角极径极径|OM|= a( (单位长度单位长度) )二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分 =a（a为常数）为常数） 表示什么图形？表示什么图形？ =b（b为常数）表示什么图形？为常数）表示什么图形？ =a（a为常数）为常数） 表示同心圆；表示同心

13、圆； =b（b为常数）表示射线。为常数）表示射线。目录 上页 下页 返回 结束 在极坐标系下在极坐标系下, 用同心圆用同心圆 =常数常数及射线及射线 =常数常数分划区域分划区域D 为为则除包含边界点的小区则除包含边界点的小区域外域外,小区域的面积小区域的面积(1,2, )kkn AoDk k kk kk k 2211()22kkkkkk 01( , )dlim(,)nkkkDkf x yf 两个扇形面积之差两个扇形面积之差目录 上页 下页 返回 结束 2211()22kkkkkk 1(2)2kkkk ()2kkkkk ,kkk 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分AoDk

14、k kk kk k 212() 2kkkk .kkkk 即即目录 上页 下页 返回 结束 01lim(cos,sin)niikkiikkf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分 cos,sin.kkkkkk 对应有直角坐标对应有直角坐标 为为在在k (,),kk内取点内取点(,)kk01( , )dlim(,)nkkkDkf x yf (cos ,sin ).Dfd d .kkkk 一点的极坐标和一点的极坐标和直角坐标的关系直角坐标的关系被积函数被积函数目录 上页 下页 返回 结束 d( , )dDf x yxy Do1( ) 2( ) 21( )( )(cos ,sin

15、) df (cos ,sindd)Df d 被积函数被积函数( , )dDf x y 确定极坐标系中确定极坐标系中的变化范围的变化范围二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分将二重积分化为二次积分：将二重积分化为二次积分：目录 上页 下页 返回 结束 ( ) oD特别特别, 对对0( ):02D (cos ,sindd)Df ( )0(cos ,sind)f 20d 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分将二重积分化为二次积分将二重积分化为二次积分：目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴

16、相切于原点,试试答答: ;0) 1 ( ) Doyx( ) Doyx问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)22)2(二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分目录 上页 下页 返回 结束 1 yx122 yx解解cossinxy Ddxdyyxf),(2110sincos(cos ,sin ).dfd 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 计算计算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下在极坐标系下0:,02aD 原式原式D20dae 20122ae 2(1)ae 2e dd 20d 故故2xe的原函数不是的原函数不是初等函数初等函数

17、,故本题故本题无法无法用直角坐标计算。用直角坐标计算。注：注：由于由于凑微分法凑微分法目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2de02xx事实上, 222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxxayxxadelim2222故式成立 .)e1 (lim2aa222Rddeyxyx又目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)

18、sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目录 上页 下页 返回 结束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为dd