场论张量坐标

1、高等流体力学高等流体力学电子课件电子课件研究对象： 研究流体在外力作用下宏观平衡及运动规研究流体在外力作用下宏观平衡及运动规律，以及流体与固体相互作用规律。律，以及流体与固体相互作用规律。研究内容：流体研究方法理论研究理论研究1) 通过实验观察对流体的物理性质及运动特性进行分通过实验观察对流体的物理性质及运动特性进行分析，分析主要问题，进行合理简化和近似，得到简析，分析主要问题，进行合理简化和近似，得到简化理论模型化理论模型2）根据已经总结的普遍定律建立描述流体运动的封闭）根据已经总结的普遍定律建立描述流体运动的封闭方程以及定解条件方程以及定解条件3）利用已有的数学工具求解方程）利用已有的数学

2、工具求解方程4）分析结果、对比结果）分析结果、对比结果抽象抽象受数学发展限制受数学发展限制研究方法数值计算数值计算n能够解决理论研究无法解决的复杂流动问题，能够解决理论研究无法解决的复杂流动问题，n时间花费少，精度高时间花费少，精度高n可以研究实验难以观测可以研究实验难以观测 现象现象n受理论模型限制受理论模型限制实验研究实验研究n结果可靠结果可靠n条件限制条件限制绕圆柱的流动（绕圆柱的流动（Kaman涡街）涡街）数值计算结果演示数值计算结果演示实验观测结果实验观测结果学习方法认识研究对象认识研究对象掌握研究工具掌握研究工具确定研究目标确定研究目标选择理论依据选择理论依据理论结果与研究对象对比

3、理论结果与研究对象对比理论的提升理论的提升/ /新现象的发现新现象的发现相关学科机翼理论机翼理论紊流理论紊流理论可压缩流体力学可压缩流体力学高速空气动力学高速空气动力学稀薄气体动力学稀薄气体动力学电磁流体力学电磁流体力学非牛顿流体力学非牛顿流体力学生物流体力学生物流体力学多相流体力学多相流体力学气动声学气动声学.由力学分析：对外力的抵抗能力由力学分析：对外力的抵抗能力1)不能承受拉力不能承受拉力2)在压力的作用下可以处于平衡状态在压力的作用下可以处于平衡状态3)静止状态的流体不能抵抗剪切力静止状态的流体不能抵抗剪切力在任何微小剪切力的持续作用下能够连续不断变形的物质在任何微小剪切力的持续作用下

4、能够连续不断变形的物质（即使撤去外力，也不能恢复到原来的形状）（即使撤去外力，也不能恢复到原来的形状） 一、流体的定义一、流体的定义 微观：流体是由大量做无规则热运动的分子所组成，微观：流体是由大量做无规则热运动的分子所组成， 分子间存有空隙，在空间是不连续的。分子间存有空隙，在空间是不连续的。 宏观：一般工程中，所研究流体的空间尺度要比分子宏观：一般工程中，所研究流体的空间尺度要比分子 距离大得多。距离大得多。1.1.问题的引出问题的引出 流体力学并不研究微观的分子运动，而只研究流体的流体力学并不研究微观的分子运动，而只研究流体的宏观机械运动，即只研究描述流体运动的宏观属性。宏观机械运动，即

5、只研究描述流体运动的宏观属性。二、连续介质模型二、连续介质模型 定义：不考虑流体分子间的间隙，把定义：不考虑流体分子间的间隙，把流体视为由无流体视为由无 数连续分布的数连续分布的流体微团流体微团组成的连续介质。组成的连续介质。 流体微团必须具备的两个条件流体微团必须具备的两个条件必须包含足够多的分子；必须包含足够多的分子；体积必须很小。体积必须很小。 流体力学所选取的最小研究对象流体力学所选取的最小研究对象流体微团流体微团2.2.连续介质模型连续介质模型 二、连续介质模型二、连续介质模型 流体及其物理性质流体及其物理性质 流体及其物理性质流体及其物理性质 二、连续介质模型二、连续介质模型 2.

6、2.采用连续介质模型的好处采用连续介质模型的好处 可以利用数学工具来研究流体的平衡与运动规律可以利用数学工具来研究流体的平衡与运动规律 避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体的宏观运动。避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体的宏观运动。三、流体的物理性质三、流体的物理性质 在某一瞬时空间任意一点上的物理量，就是指该瞬时位于该空间点在某一瞬时空间任意一点上的物理量，就是指该瞬时位于该空间点的流体质点的物理量。的流体质点的物理量。 1. 1. 密度（密度（density）多组元混合流体质点的密度多组元混合流体质点的密度（宏观）（宏观）VMVlim0niii1流体及其物理性质流体及其物理性质 2

7、. 2. 流体的压缩性（流体的压缩性（compressibility）流体受到的压强增大时，体积将减小流体受到的压强增大时，体积将减小 Pa1or/Nm2dpddpVdVp体积压缩系数体积压缩系数p流体及其物理性质流体及其物理性质 三、流体的物理性质三、流体的物理性质 体积弹性模量体积弹性模量vEPaorm/12NddpdVdpVEpv0DtD不可压缩流体均质流体不可压缩流体均质流体 = const可压缩流体与不可压缩流体可压缩流体与不可压缩流体不可压缩流体不可压缩流体气体与液体压缩性差别气体与液体压缩性差别忽略忽略 M a = 0.3 气体流动问题的压缩性。气体流动问题的压缩性。 流体及其物

8、理性质流体及其物理性质 三、流体的物理性质三、流体的物理性质 2. 2. 流体的压缩性（流体的压缩性（compressibility）3. 3. 流体的粘性（流体的粘性（viscosity）静止流体不能承受剪切力，在任何微小剪切力的持续作用下，静止流体不能承受剪切力，在任何微小剪切力的持续作用下，流体会连续不断变形；不同流体在相同剪切力作用下，变形速流体会连续不断变形；不同流体在相同剪切力作用下，变形速度不同。度不同。 流体抵抗剪切变形的属性流体抵抗剪切变形的属性流体及其物理性质流体及其物理性质 三、流体的物理性质三、流体的物理性质 1 1）粘性）粘性2 2）粘性系数）粘性系数yu动力粘性系数

9、与流体种类有关。动力粘性系数与流体种类有关。( (压强和温度压强和温度) ) 气体与液体粘性随温度变化关系不同气体与液体粘性随温度变化关系不同粘性流体粘性流体理想流体理想流体3 3）实际流体与理想流体）实际流体与理想流体3. 3. 流体的粘性（流体的粘性（viscosity）三、流体的物理性质三、流体的物理性质 流体及其物理性质流体及其物理性质 04 4）牛顿流体与非牛顿流体）牛顿流体与非牛顿流体yu牛顿流体牛顿流体: :满足满足yu非牛顿流体非牛顿流体: :不满足不满足4. 流体的导热性（流体的导热性（thermal conductivity）原因：原因：傅立叶定律傅立叶定律流体的导热流体的

10、导热温差的存在温差的存在Tq导热系数导热系数（W/mK） 导热是一种不可逆的过程，是造成机械能耗散的原因之一。导热是一种不可逆的过程，是造成机械能耗散的原因之一。流体及其物理性质流体及其物理性质 三、流体的物理性质三、流体的物理性质 5. 流体的扩散性（流体的扩散性（diffusibility）流体的扩散是指在没有对流（混合）的情况下，流体（液体或气态流体的扩散是指在没有对流（混合）的情况下，流体（液体或气态单一相）由于分子的随机运动引起的质量传递的一种性质。单一相）由于分子的随机运动引起的质量传递的一种性质。 流体的扩散流体的扩散浓度梯度、压力梯度（压力扩散）、温度梯度（热扩散）等浓度梯度、

11、压力梯度（压力扩散）、温度梯度（热扩散）等 扩散一般有两种形式扩散一般有两种形式发生在同一种流体中，分子随机运动（微观）发生在同一种流体中，分子随机运动（微观）自扩散自扩散发生在含有发生在含有2种或种或2种以上流体混合物种，扩散的最终结果是种以上流体混合物种，扩散的最终结果是达到宏观上均匀混合物达到宏观上均匀混合物 二元或多元扩散二元或多元扩散流体及其物理性质流体及其物理性质 三、流体的物理性质三、流体的物理性质 5. 流体的扩散性（流体的扩散性（diffusibility）浓度梯度引起质量流浓度梯度引起质量流 费克定律（费克定律（Fick） 扩散是一种不可逆过程，造成机械能耗散原因之一。扩散

12、是一种不可逆过程，造成机械能耗散原因之一。 VMCivi/viiCDm单位时间内单位时间内i 组元物质通过单位面积传递的质量组元物质通过单位面积传递的质量 D 扩散系数扩散系数体积浓度体积浓度流体及其物理性质流体及其物理性质 三、流体的物理性质三、流体的物理性质 单位体积内含单位体积内含 i 组元流体的质量组元流体的质量6. 液体的表面张力（液体的表面张力（surface tension）液体表面（液体与气体接触的界面处）存在表面张力（拉力）液体表面（液体与气体接触的界面处）存在表面张力（拉力） 以以 s s 表示表面张力系数，单位长度上作用的力，（表示表面张力系数，单位长度上作用的力，（N/

13、m）在液体与固体之间的界面上以及两种互不相溶液体的界面在液体与固体之间的界面上以及两种互不相溶液体的界面上，也会产生表面张力。上，也会产生表面张力。lJs1)1)表面张力系数表面张力系数 流体及其物理性质流体及其物理性质 三、流体的物理性质三、流体的物理性质 6. 液体的表面张力（液体的表面张力（surface tension）流体及其物理性质流体及其物理性质 三、流体的物理性质三、流体的物理性质 2) 毛细压强毛细压强由由表面张力表面张力引起的附加压强称为毛细压强引起的附加压强称为毛细压强凹凹表面压强大于凸面表面压强大于凸面压强。压强。3) )毛细现象（毛细现象（capillarity） c

14、osJgh 作用在流体表面上的力作用在流体表面上的力两类作用在流体上的力：两类作用在流体上的力：表面力和质量力表面力和质量力一、表面力一、表面力1. 1. 应力应力AFpAn0limFFAFpT 分离体以外的流体通过分离体以外的流体通过流体分离体表面作用在流体上流体分离体表面作用在流体上的力，其大小与作用面积成比的力，其大小与作用面积成比单位面积上的表面力。单位面积上的表面力。一、表面力（续）一、表面力（续）2. 2. 法向法向应力和切向应力应力和切向应力 FFAFpTdAFdAFpnnAnn0limdAFdAFpAn0lim作用在流体表面上的力作用在流体表面上的力二、质量力二、质量力 作用在

15、每个流体微团上的力，其大小与流体质量作用在每个流体微团上的力，其大小与流体质量成正比。成正比。kfjfiffzyx例如：重力、惯性力例如：重力、惯性力作用在流体表面上的力作用在流体表面上的力场论场论张量张量正交曲线坐标系正交曲线坐标系1.1.场的定义场的定义函数的空间定义域函数的空间定义域标量场标量场矢量场矢量场r( , , )x y z场的数学表示场的数学表示: :在某一空间区域内定义了相应的函数，该函数则表示了该空间的某些特性。在某一空间区域内定义了相应的函数，该函数则表示了该空间的某些特性。场指的是一个空间域。场指的是一个空间域。2.2.物理量场的定义物理量场的定义场场 论论一、场的定义

16、、表示和分类一、场的定义、表示和分类标量场：标量场：矢量场：矢量场：3.3.物理量场的表示方法物理量场的表示方法, , ,r tx y z t, , ,a r ta x y z t 温度场、密度场温度场、密度场速度场、力场速度场、力场(1)(1)函数法函数法(2)(2)图形法图形法标量场：标量场：矢量场：矢量场：等值线，疏密程度看出标量函数的变化等值线，疏密程度看出标量函数的变化大小、方向大小、方向场场 论论一、场的定义、表示和分类一、场的定义、表示和分类3.3.物理量场的表示方法物理量场的表示方法1.15110.850.550.250.850.55-0.2-0.050.40.85110.85

17、0.851. 15(a) t = 0, T0.80.80.80.920.920.920.80.560.32-0.040.80.440.921.04(b) t = T/41.050.751.051.051.051.050.91.050.91. 050.90.60.30-0.30.60.30-0.150.150.450.9(c) t = T/20.951.11.10.951.11.10.80.50.20.650.35-0.25-0.10.350.8(d) t = 3T/40 rda场场 论论一、场的定义、表示和分类一、场的定义、表示和分类4.4.物理量场的分类物理量场的分类(1)(1)按是否随空间

18、坐标变化分按是否随空间坐标变化分均匀、非均匀均匀、非均匀定常、非定常定常、非定常(2)(2)按是否随时间坐标变化分按是否随时间坐标变化分场场 论论一、场的定义、表示和分类一、场的定义、表示和分类二、梯度（二、梯度（gradientgradient）场场 论论某标量场某标量场PPPPPP)()(lims在在 P 点沿点沿 s方方向向 的变化率的变化率在在 P 点点 的最大的最大变化率变化率QPPQnPQ)()(limgradnnijkxyzzxy梯度梯度度量标量场的不均匀性度量标量场的不均匀性三、通量三、通量 散度散度场场 论论1.1.通量通量某矢量场某矢量场F矢量矢量F 通过微元面积通过微元面

19、积 dS 的通量为：的通量为：dSFdSnFSdFndSznFynFxnFzyx),cos(),cos(),cos(dxdyFdzdxFdydzFzyx矢量通过有限面积矢量通过有限面积S S的通量为：的通量为：SnSSdSFdSnFSdFSzyxdSznFynFxnF),cos(),cos(),cos(SzyxdxdyFdzdxFdydzF三、通量三、通量 散度散度场场 论论2.2.散度散度SndSF矢量场中包围矢量场中包围M点作一微元体积点作一微元体积V，其其表面积为表面积为S，则则通过通过封封闭曲面闭曲面S S 的通量为：的通量为：0divlimnSVF dSFV如果如果存在，则该极限为矢

20、量存在，则该极限为矢量 在在M点处的散度，记为：点处的散度，记为：VdSFSnV0limF三、通量三、通量 散度散度场场 论论2.2.散度散度VdSFFSnV0limdiv高斯定理：高斯定理：divyxzFFFFxyz无源场无源场 0divF特例：特例： =()nSVF dSF dV000()divlimlimlimyxzVnySVxzVVVFFFdVF dSF dVFxyzFFFVVVxyz四、环量四、环量 旋度旋度场场 论论1.1.环量环量某矢量场某矢量场FLzyxLdzFdyFdxFrdF矢量矢量F 沿曲线沿曲线L 的线积分为：的线积分为：矢量矢量F 沿封闭曲线沿封闭曲线L 的线积分为环

21、量：的线积分为环量：LrdF矢量场中包围矢量场中包围M点作点作微元面积为微元面积为S S，其边界线其边界线L L ，则则通过封闭通过封闭边界线边界线L L 的环量为：的环量为：如果如果存在，则该极限为矢量存在，则该极限为矢量 在在M点处的环量面密度。点处的环量面密度。SrdFLS0limF过过M点所有方向中存在一个环量面密度最大的方向。点所有方向中存在一个环量面密度最大的方向。LzyxLdzFdyFdxFrdF四、环量四、环量 旋度旋度场场 论论2. 2. 旋度旋度旋度：方向为环量面密度最大方向，大小旋度：方向为环量面密度最大方向，大小最大环量面密度的矢量。最大环量面密度的矢量。记为：记为：F

22、rotzyxFFFzyxkjiFrotkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz无旋场无旋场 rot0F 特例：特例： 五、拉普拉斯算子五、拉普拉斯算子 哈密顿算子哈密顿算子场场 论论222222zyxzkyjxiLaplacian HamiltonianzkyjxigradFFkFjFizkyjxizFyFxFFzyxzyxdivkyFxFjxFzFizFyFFrotxyzxyzFFkFjFizkyjxizyx六、基本运算公式六、基本运算公式场场 论论)() 1gradgradgradgradgradgrad)()2gradGGgrad)()()3babadivdiv)(div)4agrad

23、aadiv)(div)5baabbarotrot)(div)6babarotrot)(rot)7aaagradrot)(rot)8abbabaabbadivdiv)()()(rot)9六、基本运算公式六、基本运算公式场场 论论abbabaabbarotrot)()()(grad)10aaaaarot)()2(grad)112gradgrad2)(17)gradgrad)grad div(16)0rotrot )150gradrot 14)0rot div)13grad div)12aa一、标量一、标量 矢量矢量 张量张量张量初步张量初步流体力学中遇到的各种物理量：流体力学中遇到的各种物理量：标

24、量：标量： 密度，温度密度，温度矢量：矢量：速度速度kvjvivvzyx张量：张量：应力：应力：即有大小，又有方向。即有大小，又有方向。由三个坐标轴方向的由三个坐标轴方向的3个分量组成。个分量组成。由由9个分量组成。个分量组成。zyzxzzyzyxyyxzxyxxppp,二、指标表示法二、指标表示法 求和约定求和约定张量初步张量初步1.1.求和约定求和约定张量表示法中通常将三个坐标方向用下标张量表示法中通常将三个坐标方向用下标1 1、2 2、3 3区分，区分，矢量的三个分量：矢量的三个分量：321aaa、三个单位矢量：三个单位矢量：321eee、则：则：332211eaeaeaa求和约定：求和

25、约定： 为简化书写，约定公式中为简化书写，约定公式中同一项中同一项中如有两个指标相同时，如有两个指标相同时，就表示该指标从就表示该指标从1 1到到3 3求和。求和。332211eaeaeaaiiea二、指标表示法二、指标表示法 求和约定求和约定张量初步张量初步2.2.哑指标（求和指标）哑指标（求和指标）公式中公式中同一项中同一项中出现出现两次两次的指标为哑指标。的指标为哑指标。由于哑指标在作求和后将消失，因此哑指标字母的选取不影响由于哑指标在作求和后将消失，因此哑指标字母的选取不影响表达式的内容。表达式的内容。iieaajjea3.3.自由指标自由指标公式中公式中同一项中同一项中出现出现一次一

26、次的指标为自由指标。的指标为自由指标。jjin在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。lijlkjikijndcba二、指标表示法二、指标表示法 求和约定求和约定张量初步张量初步4.4.举例举例 -坐标转换坐标转换),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(333232131332322212123132121111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx333322311323322221121331221111xxxxxxxxxxxx3, 2, 1,33221

27、1ixxxxiiiiijjixx思考：思考：Fdiv的张量形式的张量形式三、克罗内克符号三、克罗内克符号 置换符号置换符号张量初步张量初步1.Kronecker 1.Kronecker 符号符号jijiij01 100010001333231232221131211ijijijaa ijijaaaaaaaa321321100010001ijnjinTT jjjjnjnjjjjnjnjjjjnjnTTTTTTTTTTTTTTT333323213132323222121213132121111三、克罗内克符号三、克罗内克符号 置换符号置换符号张量初步张量初步2.2.置换符号置换符号ksjtktjs

28、istijk132321213312231123,1,1,0为奇排列为偶排列中有两个指标相同时kjikjikjiijk27个元素个元素ijije e ijkijklljkliljkiijkeeeee ijijkkeee3.3.ijijk的相关运算的相关运算ktijtijk262kkijkijk3332211kk三、克罗内克符号三、克罗内克符号 置换符号置换符号张量初步张量初步3.3.ijijk的相关运算的相关运算321321321bbbaaaeeeebabaeeebeabakjiijkjijijjiijiijjijijijjiibabaeebaebeaba321321321cccbbbaaac

29、bacbaeecbaecebacbakjiijkklljiijklkljiijkllkjiijk四、对称张量四、对称张量 反对称张量反对称张量 张量分解定理张量分解定理张量初步张量初步1.1.共轭张量共轭张量333231232221131211ppppppppppPij112131122232132333cjipppPpppppppP 和和 Pc 互为互为共轭张量。共轭张量。2.2.对称张量对称张量若二阶张量若二阶张量P的分量满足：的分量满足：jiijpp 一般表示为：一般表示为：332313232212131211ssssssssssSij6个独立分量个独立分量四、对称张量四、对称张量 反对

30、称张量反对称张量 张量分解定理张量分解定理张量初步张量初步3.3.反对称张量反对称张量若二阶张量若二阶张量P的分量满足：的分量满足：jiijpp一般表示为：一般表示为：000233123123112aaaaaaaAij3个独立分量个独立分量对角线各元素均为对角线各元素均为04.4.张量分解定理张量分解定理二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。ccPPPPP2121五、二阶张量的代数运算五、二阶张量的代数运算张量初步张量初步1.1.张量相等张量相等ijijba BA 2.2.张量加减张量加减CBAijijijcba3.

31、3.张量数乘张量数乘BAijijba3.3.张量点积张量点积 双点积双点积lijlijlijkklijlkkljiijeebaeebaeebeeaBAijijjlikklijlkkljiijbabaeebeeaBA:0212121:ijijijijjiijijijijjiijijijijasasasasasasasAS0ijijks六、张量的微分和积分运算六、张量的微分和积分运算张量初步张量初步1.1.梯度梯度iiexgrad标量的梯度标量的梯度矢量矢量矢量的梯度矢量的梯度二阶张量二阶张量jiijjjiieexaeaexFFgradn阶张量的梯度阶张量的梯度n+1阶张量阶张量ijxaFFgra

32、d六、张量的微分和积分运算六、张量的微分和积分运算张量初步张量初步2.2.散度散度矢量的散度矢量的散度标量标量二阶张量的散度二阶张量的散度矢量矢量iiijijjjiixaxaeaxeFFdivn阶张量的散度阶张量的散度n-1阶张量阶张量kjjkkijijkkjjkiiexpexpeepxePdivP六、张量的微分和积分运算六、张量的微分和积分运算张量初步张量初步三三. .旋度旋度矢量的旋度矢量的旋度矢量矢量二阶张量的旋度二阶张量的旋度矢量矢量iikijkijjijjiixaexaeeeaxeFFrotn阶张量的散度阶张量的散度n阶张量阶张量lkijlijklijljikjjkiieexpexpeeeepxeProtP一、直线坐标系一、直线坐标系 曲线坐标系曲线坐标系 正交曲线坐标系正交曲线坐标系正交曲线坐标系正交曲线坐标系直线坐标系直线坐标系( (x, ,y,z,z) ) 曲线坐标（曲线坐标（q1, ,q2, ,q3）),(),(),(321321321qqqzzqqqyyqqqxx),(),(),(332211zy