大学物理学第二版下册振动

1、物质波动属性的描述物质波动属性的描述主要内容：主要内容：振动与波动振动与波动物质运动形式物质运动形式微观粒子运动规律的描述微观粒子运动规律的描述波粒二象性：粒子性和波动性波粒二象性：粒子性和波动性主要内容：主要内容：简谐振动简谐振动特征量（振幅、频率，相位特征量（振幅、频率，相位) ) 表示法（旋转矢量表示法）表示法（旋转矢量表示法） 能量能量阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动、受迫振动、共振简谐振动合成简谐振动合成同方向、同频率振动合成同方向、同频率振动合成 方向垂直、同频率振动合成方向垂直、同频率振动合成 第第1414章章 振动振动教学要求：教学要求： 1 . 掌握简谐运动的基本特征和规律掌

2、握简谐运动的基本特征和规律. 2 . 掌握描述简谐运动的旋转矢量法掌握描述简谐运动的旋转矢量法,并能用以分并能用以分 析析 问题问题,特别是相位、相位差问题特别是相位、相位差问题. 3 . 掌握描述简谐运动的三个特征量的意义和求法掌握描述简谐运动的三个特征量的意义和求法,从而建立简谐运动的运动学方程从而建立简谐运动的运动学方程.4 . 理解同方向同频率简谐运动的合成规律及合振理解同方向同频率简谐运动的合成规律及合振动振幅极大或极小的条件动振幅极大或极小的条件. 5 . 理解简谐运动的能量特点理解简谐运动的能量特点.什么是什么是振动振动？主要研究主要研究机械振动、机械振动、 电磁振动电磁振动 。

3、 广义振动：广义振动：任何一个物理量任何一个物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一量值附近随时间做周期性变化，在某一量值附近随时间做周期性变化，都称之为都称之为振动。振动。机械振动：机械振动：物体在平衡位置附近所做的来回往复运动物体在平衡位置附近所做的来回往复运动机械振动机械振动的例子在日常生活中很多，的例子在日常生活中很多，如钟表摆动；如钟表摆动；汽车发动时，发动机运转时产生的振动；汽车发动时，发动机运转时产生的振动；人为什么能说话，依靠声带的振动。人为什么能说话，依靠声带的振动。 电磁振动：电磁振动：又叫又叫电磁振荡，电磁振荡，是指电路中的电流、电压是指电路中的电流、电压以及

4、电磁场中的场量随时间做周期性变化的现象。以及电磁场中的场量随时间做周期性变化的现象。机械振动机械振动和和电磁振动电磁振动在工程技术中有着广泛的应用。在工程技术中有着广泛的应用。振动有简单复杂之分，振动有简单复杂之分，最简单、最基本的振动是最简单、最基本的振动是简谐振动简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是一切复杂的振动都可以看作是由许多由许多简谐振动简谐振动合成的。合成的。简谐振动简谐振动是学习研究的重点内容。是学习研究的重点内容。14.1 14.1 简谐振动简谐振动一一. 简谐振动简谐振动一般地，任意一个物理量满足以下微分方程一般地，任意一个物理量满足以下微分方程0222 xdtxd 为一常数

5、为一常数或物理量随时间按余弦规律变化或物理量随时间按余弦规律变化)cos(0 tAx0、A为一常数为一常数则物理量作则物理量作简谐振动。简谐振动。注意：这里的物理量可以是位移、速度等，注意：这里的物理量可以是位移、速度等， 也可以是电场强度，磁感应强度等。也可以是电场强度，磁感应强度等。 特点：特点：1) 1) 等幅振动；等幅振动； 2) 2) 周期振动周期振动 q求放置在光滑水平桌面上的求放置在光滑水平桌面上的弹簧振子弹簧振子的运动学方程的运动学方程弹簧振子：弹簧振子：一个轻质弹簧一端固定，一个轻质弹簧一端固定， 另一端连一个可以自由移动的物体。另一端连一个可以自由移动的物体。oKm如果沿水

6、平方向拉开物体一段距离如果沿水平方向拉开物体一段距离 x xo o ，然后释放，然后释放，则物体在则物体在 o o 两侧作往复运动。两侧作往复运动。0 xoKm0 xoKmx选选 o o 为原点，建立为原点，建立o xo x 坐标系。坐标系。初始条件：初始条件：0000 tdtdxxxt)(,及及，物体沿物体沿o xo x 坐轴运动，只需考虑水平方向受力，坐轴运动，只需考虑水平方向受力，忽略空气阻力，表面光滑，物体只受弹簧弹力作用。忽略空气阻力，表面光滑，物体只受弹簧弹力作用。ft t 时刻物体相对时刻物体相对o o点位移为点位移为x x ，则弹力，则弹力0 xoKmxfxKxf 根据牛顿第二

7、定律根据牛顿第二定律22dtxdmKxf 022 KxdtxdmmK 2 0222 xdtxd弹簧振子弹簧振子所满足的所满足的动力学微分方程动力学微分方程一元二阶常系数齐次微分方程，其通解为：一元二阶常系数齐次微分方程，其通解为：)cos(21ctcx 0 xoKmxfxKxf )cos(21ctcx )sin(21ctcdtdx初始条件：初始条件：0000 tdtdxxxt)(,，210cos ccx 21sin0cc0201 cxc，,解得：解得：0 xoKmxfxKxf 0222 xdtxd)cos(txx0 Kxf 弹簧振子所受合外力弹簧振子所受合外力x x 表示物体相对表示物体相对平

8、衡位置位移平衡位置位移表明：表明：合外力与物体的位移成正比方向相反合外力与物体的位移成正比方向相反 这样的力称作这样的力称作弹性回复力弹性回复力q 求求 单摆单摆的运动学方程的运动学方程lmOo小球相对平衡位置的角小球相对平衡位置的角位移位移初始条件：初始条件：0000 tdtdt)(,，logmT选择逆时针方向为正选择逆时针方向为正小球所受合外力矩为小球所受合外力矩为sinmglM GTMMM sinmglMG 0 TM由转动定律由转动定律22dtdJM sinmglM 2mlJ 222dtdmlmgl sin022 sinlgdtdgmloT0222 dtd022 lgdtd sin当当

9、很小时很小时5 令令lg 2)cos(21ctc gmloT)sin(21ctcdtd初始条件：初始条件：0)(00,0 tdtdt ，210cos cc21sin0cc解得：解得：0201 cc，,0222 dtd)cos(21ctc )cos(t 0 Kxf mglM 合外力与物体的位移成正比方向相反合外力与物体的位移成正比方向相反合外力矩与小球的角位移成正比方向相反合外力矩与小球的角位移成正比方向相反结论结论若物体所受合外力或合外力矩若物体所受合外力或合外力矩与位移（线位移或角位移）成正比而方向相反，与位移（线位移或角位移）成正比而方向相反，则物体作则物体作简谐振动。简谐振动。5 二简谐

10、振动描述二简谐振动描述运动学部分运动学部分（一）描述（一）描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量练习题下列各式显示了力下列各式显示了力F和位移和位移x的函数关系，且式中的函数关系，且式中k均均为为正正常数，问哪个方程式表示振子做简谐运动？常数，问哪个方程式表示振子做简谐运动？A.B.C.D.E. 以上均不对以上均不对kxF kxF xkF xkF #1a1001001bB下列各图所示的运动中，哪个物体是做简谐运动（忽下列各图所示的运动中，哪个物体是做简谐运动（忽略摩擦力）？略摩擦力）？多选题多选题A. (a)B. (b)C. (c)D. (a) & (b)E. (a) & (c)(a)(b)(c

11、)角很小角很小#1b1001001cABCA. 完全弹性球在钢板上的上下跳动完全弹性球在钢板上的上下跳动B. 一小木块在半径很大的光滑凹球一小木块在半径很大的光滑凹球面上滚（设小木块所经过的弧线面上滚（设小木块所经过的弧线很短）很短）C. 长为长为l，质量为，质量为m的均质细杆，将的均质细杆，将顶端悬挂在固定顶端悬挂在固定 光滑轴上。今使光滑轴上。今使细杆稍微偏离平衡位置（细杆稍微偏离平衡位置（ 很很小），让其摆动小），让其摆动D. 一质点作匀速圆周运动，它在直一质点作匀速圆周运动，它在直径上的投影点的径上的投影点的 运动运动下列所示的运动中，哪个物体是做简谐运动（忽略下列所示的运动中，哪个物

12、体是做简谐运动（忽略摩擦力）？摩擦力）？多选题多选题选项选项B图示图示#1b1001001dBCD1. 周期、频率、角频率周期、频率、角频率由简谐振动的运动方程由简谐振动的运动方程)cos(0 tAx0、A为一常数为一常数作一次全振动的最短时间间隔称为振动的作一次全振动的最短时间间隔称为振动的周期周期记作记作T)(cos(0 TtAx经过一个周期，运动方程为经过一个周期，运动方程为)(cos()cos(00 TtAtA由简谐振动周期性有由简谐振动周期性有xx )(cos()cos(00 TtAtA余弦函数为周期函数，周期为余弦函数为周期函数，周期为2所以所以2 T2T周期的倒数称为周期的倒数称

13、为频率频率21T把把 称作称作角频率角频率 弹簧振子弹簧振子单摆单摆mK lg KmT 2 glT 2 、T都是描述简谐振动周期性的物理量，都是描述简谐振动周期性的物理量，并且只与振动系统自身性质有关。并且只与振动系统自身性质有关。2. 振幅振幅)cos(txx0 弹簧振子弹簧振子的的运动学方程运动学方程)cos(t0 单摆单摆的的运动学方程运动学方程00、x分别是弹簧振子的物体和单摆的小球分别是弹簧振子的物体和单摆的小球最大的位移和角位移，它表示了物体最大的位移和角位移，它表示了物体运动的范围，称之为运动的范围，称之为振幅振幅在简谐振动的表达式在简谐振动的表达式 中中)cos(0 tAx 表

14、示物理量所能达到的最大值，表示物理量所能达到的最大值， 它给出了物理量变化的范围，称之为它给出了物理量变化的范围，称之为振幅振幅A3. 位相、初位相位相、初位相还看振动方程还看振动方程)cos(0 tAx0 tA当当 为一常数，函数值只决定于为一常数，函数值只决定于物理上则意味着，简谐振动的振动状态物理上则意味着，简谐振动的振动状态只决定于只决定于0 t把振动表达式中把振动表达式中 ，称之为，称之为位相位相0 t当当 时，位相等于时，位相等于 称之为称之为初位相初位相0 t02,0,00或或4. 振动的比较振动的比较位相差位相差)cos(01111 tAx)cos(02222 tAx)()(0

15、11022 tt位相差位相差当当 ，同频率，同频率12 0102 同相和反相同相和反相.),.(2102 kk此时此时同频率同频率的两振动步调相同，称的两振动步调相同，称同相同相。同时达到正的最大，同时达到负的最大，同时越过同时达到正的最大，同时达到负的最大，同时越过平衡位置并且方向相同。平衡位置并且方向相同。.),.()(21012 kk此时两振动步调相反，称此时两振动步调相反，称反相反相。一个达到正的最大，另一个达到负的最大，一个达到正的最大，另一个达到负的最大，同时越过平衡位置但方向相反。同时越过平衡位置但方向相反。当当.),.(210 kk称之为称之为不同相不同相，此时就有，此时就有超

16、前落后之分超前落后之分)cos(0111 tAx)cos(0222 tAxx1 和和 x2 到达各自同方向最大值需到达各自同方向最大值需 超前和落后超前和落后)cos(0111 tAx)cos(0222 tAx kt2011 0112 kt 0222 kt kt2022 00102 0102 21tt 则则 x2 将先于将先于x1 到达各自同方向最大值，到达各自同方向最大值，称称 x2 振动振动超前超前 x1 振动振动 ；或称或称 x1 振动落后振动落后 x2 振动振动 。00102010221tt 则则 x2 将晚于将晚于x1 到达各自同方向最大值，到达各自同方向最大值， 称称 x2 振动振

17、动超前超前 x1 振动振动 ； 或称或称 x1 振动落后振动落后 x2 振动振动 。通常把通常把 限定在限定在 ， 内内5. 速度、加速度速度、加速度)sin(0 tAdtdxv速度速度)cos(0222 tAdtxda加速度加速度)cos(0 tAx写成标写成标准形式准形式)cos(20 tAv)cos( 02tAa速度和加速度也作速度和加速度也作简谐振动简谐振动)cos(20 tAv)cos( 02tAa 比较比较avx、)cos(0 tAx一个物体做简谐运动。若其振幅增加一倍，则作用一个物体做简谐运动。若其振幅增加一倍，则作用在该物体上的在该物体上的力的最大值力的最大值是是A. 是原来的

18、四分之一是原来的四分之一B. 是原来的一半是原来的一半C. 是原来的四倍是原来的四倍D. 是原来的二倍是原来的二倍E. 和原来一样和原来一样#1a1001002aD一个物体做简谐运动。若其振幅和周期都增加一倍，一个物体做简谐运动。若其振幅和周期都增加一倍，则该物体的则该物体的最大速度最大速度：A. 是原来的四分之一是原来的四分之一B. 是原来的一半是原来的一半C. 是原来的四倍是原来的四倍D. 是原来的是原来的二二倍倍E. 和原来一样和原来一样#1a1001002bE一个物体做简谐运动。若其振幅和周期都增加一倍，一个物体做简谐运动。若其振幅和周期都增加一倍，则该物体的则该物体的最大加速度最大加

19、速度A. 是原来的四分之一是原来的四分之一B. 是原来的一半是原来的一半C. 是原来的四倍是原来的四倍D. 是原来的二倍是原来的二倍E. 和原来一样和原来一样#1a1001002cB（一）函数法（一）函数法写出振动方程写出振动方程 )cos(0 tAx已知表达式已知表达式 A、T、 o 已知已知 A、T、 o 表达式表达式两类问题：两类问题：（二）几何法（二）几何法画出振动曲线画出振动曲线时间时间 t 为横坐标，以为横坐标，以 x 为纵坐标称作为纵坐标称作振动曲线：振动曲线：txotxo已知已知 A、T、 o 画曲线画曲线已知曲线已知曲线 A、T、 o 两类问题：两类问题：等于曲线最高点或最低

20、点纵坐标的绝对值。等于曲线最高点或最低点纵坐标的绝对值。已知图示振动曲线确定已知图示振动曲线确定A、T、 o A：两个相邻最高点或最低点之间的时间间隔。两个相邻最高点或最低点之间的时间间隔。TA-A T To )cos(0 tAx00 xxt ，时时00cosAx Ax00arccos 0 确定：确定： 考察考察 0v00sinAv 00 v00 v00 sin取取“”00 sin取取“”txoA-A T T00 v质点向下振动质点向下振动质点向上振动还是向下振动质点向上振动还是向下振动可根据可根据 t=0 邻近时刻邻近时刻的振动的振动方向来判断方向来判断利用振动曲线讨论位相关系问题：利用振动

21、曲线讨论位相关系问题：已知两同频率已知两同频率简谐振动简谐振动 x1 、 x2 ，txoA1-A1A2- A2x1x2同相时振动曲线同相时振动曲线txox1x2A1-A1A2- A2反相时振动曲线反相时振动曲线x1x2txoA1-A1A2- A2思考？思考？画出沿画出沿 x 方向作简谐振动的质点的方向作简谐振动的质点的位移位移、速度速度、加速度加速度的振动曲线。的振动曲线。x2 先于先于x1 到达各自同方向最大值，到达各自同方向最大值， x2 振动振动超前超前 x1 振动振动 /2 ；或或 x1 振动落后振动落后 x2 振动振动 /2 。（三）（三）旋转矢量法旋转矢量法AM t )cos(0t

22、AxPM0Ox0A自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量，作一矢量，使其模等于振幅使其模等于振幅A，使，使A绕点绕点O作逆时针的匀角速转动作逆时针的匀角速转动。看矢量看矢量A的矢端的矢端M0 t00, Mtt 0, tM矢量矢量A在在Ox轴上投影轴上投影)cos(0 tAx恰是沿恰是沿Ox轴作简谐运动的物体在轴作简谐运动的物体在t时刻相对于原点时刻相对于原点O的位移。的位移。因此，旋转矢量因此，旋转矢量A的矢端的矢端M在在Ox轴上的投影点轴上的投影点P的运的运动，可表示物体在动，可表示物体在Ox轴上的简谐运动。矢量轴上的简谐运动。矢量A以角以角速度速度 旋转一周，相当于物体在旋转一周，相当于物体在

23、x轴上作一次完全振轴上作一次完全振动。动。txoxA t+ 旋转矢量法旋转矢量法与与振振动曲线法动曲线法相对照相对照旋转矢量本身并不作简谐运动，而是利旋转矢量本身并不作简谐运动，而是利用矢量端点在用矢量端点在Ox轴上的投影点的运动轴上的投影点的运动，来形象地展示简谐运动的规律。来形象地展示简谐运动的规律。注意：注意：x轴正方轴正方向竖直向上。向竖直向上。 矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不同振动状态同振动状态。 例如例如分析两个简谐振动分析两个简谐振动的位相关系。的位相关系。设有两个同频率的设有两个同频率的简谐振动简谐振动x1 和和 x2 A1 分别用

24、两个旋转矢量分别用两个旋转矢量 和和 来表示来表示A2 1Axo2Ax2 振动振动超前超前 x1 振动振动 /2 ；注意：注意：旋转矢量法形象地表示出简谐振动的特征量旋转矢量法形象地表示出简谐振动的特征量如振幅、角频率、位相、初位相。如振幅、角频率、位相、初位相。一质量为一质量为10g的物体沿的物体沿x作作谐振动谐振动振幅振幅A=20cm，周期，周期T=4s， t=0时物体的位移为时物体的位移为-10cm且向且向 x轴负向运动。轴负向运动。该振子初始时刻旋转矢量可表示为：该振子初始时刻旋转矢量可表示为：#1a1001007aA. xO xOB. xOC.D. xO xOED一质量为一质量为10

25、g的物体沿的物体沿x作作谐振动谐振动振幅振幅A=20cm，周期，周期T=4s， t=0时物体的位移为时物体的位移为-10cm且向且向 x轴负向运动。轴负向运动。该振子的初相：该振子的初相：320 A. B. C. D. 30 20 20 #1a1001007bC例：例：一物体沿一物体沿X作作谐振动谐振动振幅振幅A=20cm,周期周期T=4s, t=0时物体的位移为时物体的位移为-10cm且向且向 X轴负向运动。轴负向运动。求：（求：（1 1）t=1s t=1s 时物体的位移；时物体的位移；（2 2）何时物体第一次运动到）何时物体第一次运动到x=10cmx=10cm处；处；（3 3）再经多少时间物体第）再经多少时间物体第二次运动到二次运动到x=10cmx=10cm处；处；2A