张丘建算经高文秀

1、张丘建算经 卷上本资料是根据文渊阁本四库全书第七百九十七册录入的；在抄录时，由于原书中刘孝孙撰写的细草是用筹算解释其解法的，所以只选其中的一部分抄入。(一)以九乘二十一五分之三，问得几何。答曰：一百九十四五分之二。草曰：置二十一以分母五乘之内子三得一百八，然以九乘之得九百七十二，却以分母五而一，得合所问。【注】原文没有标点，全文之标点是注释者加上去的。“置二十一以分母五乘之内子三得一百八”的意思是：2153。若按照书中的解法是：(2153)95(二)以二十一、七分之三乘三十七九分之五，问得几何。答曰：八百四、十二分之十六。草曰：置二十一以分母七乘之内子三得一百五十，又置三十七以分母九乘之内子五

2、得三百三十八，二位相乘得五万七百为实，以二分母七九相乘，得六十三而一，得八百四余六十三分之四十八，各以三约之，得二十一分之一十六，合前问。【注】若按照书中的解法是：(2173)150，(3795)338，二数相被除数，以二分母7963为除数，得。(三)以三十七三分之二乘四十九五分之三、七分之四，问得几何。答曰：一千八百八十九、一百五分之八十三。草曰：置三十七以分母三乘之内子二得一百一十三。又置四十九于下别置五分于下右之三在左。又于五分之下别置七分三分之下。置四维乘之以右上五乘下左四得二十。以右下七乘左上三得二十一并之得四十一。以分母相乘得三十五。以三十五除四十一得一余

3、六。以一加上四十九得五十。又以分母三十五乘之内子六得一千七百五十六。以乘上位一百一十三得一十九万八千四百二十八为实。又以分母三母相乘，得一百五为法除实得一千八百八十九余一百五分之八十三。合所问。臣淳风等谨按：以前三条虽有设问而无成术可憑，宜云：分母乘全内子令相乘为实，分母相乘为法。若两有分母，各乘其全内子，令相乘为实，分母相乘为法，实如法而得一。(四)以十二除二百五十六九分之八，问得几何。答曰：二十一、二十七分之十一。草曰：置二百五十六以分母九乘之内子八得二千三百一十二为实。又置除数十二以九乘之得一百八为法除实得二十一。法与实俱半之，得二十七分之十一。合所问。(五)以二十七五分之三除一千七百六

4、十八七分之四，问得几何。答曰：六十四、四百八十三分之三十八。草曰：置一千七百六十八以分母七乘之内子四得一万二千三百八十。又以除分母五乘之得六万一千九百为实。又置除数二十七以分母五乘之内子三得一百三十八。又以分母七乘之得九百六十六为法。除之得六十四。法与实各折半得四百八十三分之三十八。得合所问。(六)以五十八二分之一除六千五百八十七三分之二四分之三，问得几何。答曰：一百一十二七百二分之四百三十七。草曰：置六千五百八十七于上。又别置三分于下右之二于左。又置四分于三下之三于左维乘之分母得十二子得一十七。以分母除子得一余五加一上位，得六千五百八十八。以分母十二乘之内子五得七万九千六十一。又以除数分母二

5、因之，得一十五万八千一百二十二。又置除数五十八于下，以二因之内子一，得一百一十七。又以乘数分母十二乘之，得一千四百四为法以除实，得一百一十二。法与余俱半之，得七百二分之四百三十七。臣淳风等谨按：此术以前三条亦有问无术，宜云：置所有之数通分内子为实。置所除之数以三分乘之为法，实如法得一。若法实俱有分及重有分者同而通之。(七)今有官猎得鹿赐围兵。初围三人中赐鹿五头。次围五人中赐鹿七头。次围七人中赐鹿九头。并三围赐鹿一十五万二千三百三十三头少半头。问围兵几何。答曰：三万五千人。术曰：以三赐人数互乘三赐鹿数并以为法，三赐人数相乘并赐鹿数为实，实如法而得一。【注】古代围猎曾是训练军队的重要手段。此题的意

6、思是：由官方组织的围猎，将所得之鹿赐给围兵。最里面的一围，每三人赐给鹿五头；中间的一围，每五人赐给鹿七头；最外面的一围，每七人赐给鹿九头。这三围的人数相等，共赐给围兵之鹿为152333 头；求每一围的围兵数。(八)今有猎围，周四百五十二里一百八十步。布围兵十步一人。今欲缩，令通身得地四尺。问围内缩几何。答曰：三十里五十二步。术曰：置围里步数一退以四因之为尺。以步法除之即得缩数。【注】猎围：打猎时形成的包围圈。北周文学家庾信(513581)和宇文内史春日游山：“戍楼侵岭路，山村落猎围”。“通身”是指人的身高为古代的6尺，1尺约为30厘米。“得地四尺”是指人坐在地上为四尺。“通身得地四尺”意思是六

7、分之四尺。此题的意思是：围猎的士兵形成的包围圈长度是452里180步，每隔十步有士兵一人。现在要缩小包围圈，变为每隔六分之四尺有士兵一人。问包围圈的长度缩成多少。按照里步法，1里300步；按照步尺法1步6尺。452里180步135780步，以四因之就是乘以4。解 13578010469052(步)30里52步。(九)今有围兵二万三千四百人以布围周，各相去五步。今围内缩除一十九里一百五十步而止。问兵相去几何。答曰：四步四分之三。术曰：置人数以五乘之，又以十九里一百五十步减之余，以人数除之，不尽平约之。【注】“相去”就是相距，这里是士兵的间隔。题目的意思是：围猎的士兵有23400人，原来士兵的间隔

8、为5步。现在要把包围圈缩减19里150步，求缩围之后士兵的间隔。解包围圈原来为523400步117000步，19里150步(30019150)步5850步。1170005850111500步，111500234004 (步)。(十)今有封山周栈三百二十五里，甲乙丙三人同绕周栈行。甲日行一百五十里，乙日行一百二十里，丙日行九十里。问周行几何日会。答曰：十日六分日之五。术曰：置甲乙丙行里数求等数为法，以周栈里数为实，实如法而得一。草曰：置甲乙丙行里数甲行一百五十，乙行一百二十，丙行九十各求等数得六余得五，各以三十约之甲乙丙行数，乃甲得五周，乙得四周，丙得三周，合前问。【注】此题的意思是：在绕山一周

9、325里的栈道上，甲、乙、丙三人同时同地同向出发，绕山而行。三人的速度分别为：甲日行150里，乙日行120里，丙日行90里。问三人经过几日才能相会？“等数”即最大公约数。按照给出的解法150里，120里，90里的最大公约数是30，32530等于十又六分之五 (日)。(十一)今有内营周七百二十步，中营周九百六十步，外营周步一千二百步。甲乙丙三人值夜，甲行内营，乙行中营，丙行外营；俱发南门。甲行九，乙行七，丙行五。问各行几何周俱到南门。答曰：甲行十二周，乙行七周，丙行四周。术曰：以内中外周步数互乘甲乙丙行率，求等数约之各得行周。【注】此题的意思如图所示，有内中外三层营防，内营周长为720步，中营周

10、长为960步，外营周长为周步1200步。甲乙丙三人值夜，甲乙丙各自从南门按照同一方向出发，沿着各自的防线巡逻。甲、乙、丙三人速度之比为3:4:5。问各行几周才能同时到达南门。按：此下今有津、今有葭、今有木、今有城四问，俱各有形式高下进退、俯仰、线法、视法，毫不可紊。非依问绘图无以阐其立意之妙。将转疑其字句舛讹(错乱)。谨准测量法義，为补四图，各冠原问之右，庶图问参观，不至失其本义云。【说明】题中的附图，是参照原书之图重新绘制的。(十二)今有津不知其广，东岸高一丈，坐岸东去岸五十步，遥望岸上及津西畔，适与人目参合。人目去地二尺四寸。问广几何。答曰：二百八步三分之一。术曰：以岸高乘人去岸为实，以人

11、目去地为法，实如法而一。【注】此题的意思如图所示，有一条河的渡口ABx，东岸D处高DB1丈，有人从D处东去50步至C点，R是此人眼睛的位置，此人遥望D点及河的西畔A，恰好使R、D、A三点在一条直线上。此人的眼睛到地面的距离是2尺4寸。求此渡口的宽。由ABDDCR得：x:DCDB:RC，DC65尺，x:6510:2.4，x30002.41250尺。即208 步。(十三)今有葭生于池中，出水三尺；去岸一丈，引葭趋岸，不及一尺。问葭长及水深各几何？答曰：葭长一丈五尺，水深一丈二尺。术曰：置葭去岸尺数以不及尺数减之余自相乘；以出水尺数而一所得，加出水，而半之，得葭长；减出水尺数即得水深。【注】“葭”即

12、芦苇。此题的意思如图所示，有芦苇生长在池塘的中央，露出水面的部分HB3尺；芦苇和池岸的水平距离HD10尺；将芦苇拉向池岸至AC，CD1尺；求葭长x及水深。(十四)今有木不知远近高下。立一表高七尺，人去表九步，立望表头，适与木端邪平；人目去地七尺二寸；又去表三十步，薄地遥望表头，亦与木端邪平。问木去表及高几何？答曰：去表三百一十五步；木高八丈五步。术曰：以表高乘人立去表为实，以表高减人目去地为法而一得木去表。【注】“邪”即斜。“邪平”即在同一直线上。“目去地七尺二寸” 即眼睛离地面的距离7尺2寸。由此推算此人高约8尺；当时的1尺是23.1厘米，人高七尺多是正常现象。此题的意思如图所示，有人为测量

13、木杆AB的高，在C处立一根标杆CF7尺。此人站在和标杆的距离CD9步的D处，他的眼睛离地面的距离RD7尺2寸，此时R、F、B三点在同一直线上；然后他又后退30步，躺在地面上，E是他的眼睛的位置，CE30步，此时E、F、A三点也在同一直线上。求木去表的距离BC及木高AB。(十五)今有城，不知大小，去人远近。于城西北隅而立四表，相去各六丈。令左两表与城西北隅南北望，参相直。从右后表望城西北隅入右前表一尺二寸；又望西南隅亦入右前表四寸；又望东北隅亦入左后表二丈四尺。问城去左后表及大小各几何。答曰：城去左后表一里二百步；东西四里四十步；南北三里一百步。术曰：置表相去自乘，以望城西北隅入数而一，得城去表

14、。又以望城西南隅入数而一，所得减城去表，余为城之南北。以望城东北隅入左后表数减城去表，余以乘表相去，又以入左后表数而一，即得城之东西。【注】此题的意思是：有一座城ABCD。在它的西北角立四根标杆E、F、G、H，这四根标杆形构成边长为6丈的正方形，左边两根标杆与城西北角南北方向形成一条直线DF。从右后标杆G望城的西北角A，入右前表HN12寸；又望西南角D入右前标杆HM4四寸；又望东北角B入左后标杆FK24尺。求城离左后表多远，以及城的长和宽。(十六)今有甲日行疾于乙日行二十五里，而甲发洛阳七日至邺；乙发邺九日至洛阳。问邺洛阳相去几何。答曰：七百八十七里半。术曰：以甲乙所至日数相乘，又以甲日行疾里

15、数乘之为实，以甲至日减乙至日数余为法，实如法而一。【注】邺城在今安阳市是六朝古都。此题的意思是：已知甲每日行的里数比乙多25里，而甲自洛阳出发7日至邺城；乙自邺城出发9日至洛阳。问邺城至洛阳多远。书中给出的解法是：邺城至洛阳的距离为(7925)(92)787.5 (里)。(十七)今有官，出库金五十九斤一两，赐王九人、公十二人、侯十五人、子十八人、男二十一人；王得金各多公五两，公得金各多侯四两，侯得金各多子三两，子得金各多男二两。问王公侯子男各得金几何。答曰：王一斤六两，公一斤一两，侯十三两，子十两，男八两。术曰：置王公侯子男数，王位十四之，公位九之，侯位五之，子位二之，并之以减出金两数，余以凡

16、人数而一，所得各以本差之数加之，得王公侯子男各所得金之数，不加即男之得金。【注】按照解题术，王的人数9乘以14，公的人数12乘以9，侯的人数15乘以5，子的人数18乘以2，相加得9141291551821261087536345；出金两数为16591945，相减945345600为被除数；王公侯子男人数之和75为除数，相除等于8，所得各以本差之数加之，就是说王得81422(两)，即一斤六两，公得8917(两)，即一斤一两，侯得8513(两)，子得8210(两)，男不加得8(两)。用方程解此题，设男得赏赐库金x两，则子得x2两，侯得x5两，公得x9两，王得x14两；21x18(x2)15(x5)

17、12 (x9)9 (x14)16591，解得x8。所以有男得8两；子得10两；侯得13两；公得17两，即一斤一两；王得22两，即一斤六两。(十八) 今有十等人大官甲等十人。宫赐金依次差降之。上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中央三人未到者，亦依等次更给。问各得金几何及未到三人复应得金几何。答曰：甲一斤七十八分之三十三，乙一斤七十八分之二十六，丙一斤七十八分之十九，丁一斤七十八分之十二，戊一斤七十八分之五，己七十八分之七十六，庚七十八分之六十九，辛七十八分之六十二，壬七十八分之五十五，癸七十八分之四十八；未到三人共得三斤七十八分之十五。术曰：以先入人数分所持金数为上率，以后

18、入人数分所持金数为下率，二率相减余为差实，并先后入人数而半之，以减凡人数余为差法，实如法而一得差数并一二三以差数乘之以减后入人数分所持金数余，以后入人所持金数而一；又置十人减一余，乘差数并之，即第一人所得金数。以次每减差数各得之矣。并中央未到三人得应持金数。【注】此题的意思是：宫廷将黄金依次按照等差赏赐给甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十位官人，前面的三人甲、乙和丙先进来，共领到金四斤之后，便带出门了；后面的四人庚、辛、壬、癸也按照所应领到的金三斤之后，带出门去；中间的三人丁、戊、己尚未到，也按照应分得的数量留给他们。问这十人各得金多少，并问未到三人应得金多少。此题是有一等差数列a1，a2，a10，已知其

19、前3项之和为4；最后4项之和为3，求各项以及中间3项之和。在这里张丘建给出了求公差、总和、项数的一般步骤，说明至迟在公元五世纪，中国数学已具备了系统的等差数列的理论。按照“术文”，本题解法中“以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分别持金数为下率。二率相减，余为差实。并先后入人数而半之，以减凡人数，余为差法。实如法而一，得差数。”就是求出公差。(十九)今有圆材径头二尺一寸，欲以为方，问各几何。答曰：一尺五寸。臣淳风等谨按：开方除之为一尺四寸二十五分寸之二十。术曰：置直径尺寸数以五乘之为实，以七为法，实如法而一。【注】此题的意思是：要把一根截面的直径为二尺一寸的圆木做成截面为正方形的方梁，求截面

20、的边长。按照术文，解法是21寸5715寸。按照勾股定理2122，然后开方应当是14.84924寸。李淳风给出的答案是按照九章算术提到的开平方术答案为14 14.8寸。此题给出的答案是以正方形边长与对角线之比是“方五斜七”为依据的。就是说等边直角三角形的边长为5，则其斜边为7。(二十)今有泥方一尺欲为弹丸，令径一寸，问得几何。答曰：一千七百七十七枚九分枚x之七。术曰：置泥方尺数再自乘，以十六2乘之为实，以九为法，实如法得一。【注】此题的意思是：今有一尺见方的泥块，能做成直径为一寸的泥球多少个。据题意泥块的体积是1000立方寸；弹丸数为1000169。(二十一)今有客不知其数，两人共盘，少两盘；三

21、人共盘，长三盘。问客及盘各几何?答曰：客三十人；十三盘。术曰：以二乘少盘，三乘长盘，并之为盘数，倍之又以二乘少盘数增之得人数。【注】这是盈不足问题。按照术解，盘数是223313，人数是1322230。若列方程解此题解得x30；y13。(二十二)今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月日织九匹三丈。问日益几何。答曰：五寸二十九分寸之十五。术曰：置今织尺数，以一月日而一，所得，倍之。又倍初日尺数，减之，余为实，以一月日数初一日减之，余为法，实如法得一。【注】此题的意思是：今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，已知第一日织5尺，经一月30天，共织390尺（1匹4丈，1丈10尺，1尺10寸）；问每天

22、多织多少？术解：将现在的织数除以每月的日数30，再乘2。再把第一天的尺数乘2，被前面的数去减。把这两者之差作被除数。将一月的天数减一30129作除数，即得。这是等差数列，已知首项a15，项数n30；前30项的和是S30390；求公差。(二十三)今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？答曰：二匹一丈。术曰：并初末日尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。【注】题目的意思是：有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？按照古制1匹4丈，1丈10尺，所以，90尺9丈2匹1丈。答：织布数量总共是2匹1丈。张丘建算经的

23、算法是把这位女子从第1天到第30天所织的布，都加起来，然后再倒过来写，两式相加再除以2而得到的。(二十四)今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺；今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢。问减绢、买紫草各几何？答曰：减绢四匹一丈二尺十三分之四；买草一百二十九斤三两一十三分两之九。术曰：置今有绢匹数，以本绢一匹尺数乘之为减绢实；以紫草三十斤乘之为买紫草实；以本绢尺数并染尺为法；实如法得一。其一术盈不足为之亦得。【注】紫草是一种天然染料。此题的意思是：用一匹绢能买紫草30斤；30斤紫草能染25尺绢；现有7匹即28尺绢，准备去买紫草来染剩下的绢。问要拿出多少绢去买紫草，买多少斤紫草。(二十五)今有生丝一斤练

24、之折五两，练丝一斤染之出三两；今有生丝五十六斤八两七分两之四，问染丝几何。答曰：四十六斤二两四百四十八分两之二百二十三。术曰：置一斤两数以折两数减之余乘今有丝斤两之数；又以出两数并一斤两数乘之为实，一斤两数自乘为法，实如法得一两数。(二十六)今有铁十斤，一经入炉得七斤；今有铁三经入炉得七十九斤一十一两，问未入炉本铁几何。答曰：二百三十二斤五两四铢三百四十三分铢之二百八十四。术曰：置铁三经入炉得斤两数，以十斤再自乘乃乘上为实，以七斤再自乘为法，实如法而得一。【注】此题的意思是：将10斤生铁投入炉中冶炼一次能得7斤稍纯净一点的熟铁。现有生铁若干斤，经三次入炉冶炼，得熟铁79斤11两。问在未入炉冶炼

25、之前，原有生铁多少斤？这里说的古代斤两铢之间的关系是1斤16两，1两24铢。术文中的自乘指三次方。(二十七)今有丝一斤八两直绢一匹，今持一斤裨钱五十得绢三丈，今有钱一千，问得绢几何？答曰：一匹二丈六尺六寸大半寸。术曰：置丝一斤两数以一匹尺数乘之，以丝一斤八两数而一所得以减得绢尺数，余以一千钱乘之为法，除之得七百五文余十七分钱之十五。合前问。【注】此题的意思是：丝1.5斤可以换成绢帛40尺，用1斤丝另加钱50能换来丝绢30尺，现在有钱1000能换来绢帛多少？答案是6丈6尺六又三分之二寸。从此题可以看出，当时商品交换仍处于以物易物的阶段，绢帛在很大程度上行使货币的职能。(二十八)今有甲贷乙绢三匹约

26、限至不还匹日息三尺，今过限七日，取绢二匹，赏钱三百，问一匹直钱几何？答曰：七百五钱十七分钱之十五。术曰：以过限日息尺数减取绢匹尺数余为法，以赏钱乘一匹尺数为实，实如法而一。【注】此题的意思是：甲从乙处借贷丝绢3匹，约定到期不还，日息3尺，现超期7日交付贷方利息2匹，贷方又找回借方钱300。问1匹绢值多少钱。(二十九)今有金方七、银方九，秤之适相当。交易其一，金轻七两。问金、银各重几何？答曰：金方重十五两十八铢；银方重十二两六铢。术曰：金银方数相乘，各以半轻数乘之为实；以超方数乘金银方数各自为法，实如法而一。【注】1斤16两，1两24铢。此题的意思是：黄金7立方寸和白银9立方寸的重量相同。把1立

27、方寸白银和1立方寸黄金交换之后，黄金6立方寸加上白银1立方寸比白银8立方寸加上黄金1立方寸的重量轻7两。问金、银各重多少。九章算术和孙子算经都说黄金1立方寸重一斤即16两；孙子算经说白银1立方寸重14两。黄金比重：九章算数(西汉)中黄金比重(g/cm3)为19.63，而孙子算经(晋)中为16.83，张丘建算经(南朝)中黄金比重为15.68g/cm3，今测值为19.32。白银比重：孙子算经中为14.37，张丘建算经中为11.98，今测值为10.49。这是由于西汉1寸2.325cm，晋1寸2.44 cm，南朝1寸2.5 cm，西汉1斤246.66克，晋和南朝1斤244.61克。(三十)今有器容九斗

28、，中有米不知其数，满中添粟舂之，得米五斗八升，问满粟几何？答曰：八斗。术曰：置器容九斗，以米数减之，余以五之二而一，得粟斗数。草曰：置九斗以五斗八升减之得三斗二升，以粟数五因之得一石六斗，以糠率二斗除之得八斗为粟。合前问。【注】此题的意思是：一容器的容量是9斗，里面原来有一些加工去糠的粝米；用粟米(谷子)把它添满，添上去的粟米加工成的粝米，连同原有的粝米共5斗8升，问添上的粟米是多少？(三十一)今有七百人造浮桥九日成，今增五百人，问日几何？答曰：五日四分之一。术曰：置本人数，以日数乘之为实；以本人数今增人数并之为法；实如法而一。【注】此题的解法是：7009(700500)(三十二)今有与人钱。

29、初，一人与三钱；次，一人与四钱；次，一人与五钱；以次与之，转多一钱。与讫还敛聚与均分之人，人得一百钱。问人得几何？答曰：一百九十五人。术曰：置人得钱数以减初人钱数，余倍之，以转多钱数加之，得人数。【注】此题的意思是：现在要发给一些人钱，给第一个人钱3，给第二个人钱4，此后每人加钱1；把钱分完之后，再收回来平均分配，这时每人得钱100。求人数。按照术解为：人数为：(1003)21195(人)。用现在的数学语言解释，这是一个等差数列，a13，a24，；这里的“转多一钱”就是公差d1，项数(人数)为n，S100n。张丘建算经卷中本资料是根据文渊阁本四库全书第七百九十七册录入的；在抄录时，由于原书中刘

30、孝孙撰写的细草是用筹算解释其解法的，所以只选其中的一部分抄入。(一) 今有户出银一斤八两一十二铢。今以家有贫富不等，令户别作差品，通融出之。最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何?答曰：一十二户。草曰：置一户出银两铢数，以最下户出银两铢数减之，余倍之；以差多两铢数加之为实；以差多两铢数为法；实如法而一。【注】题目的意思是：平均每户应交纳税银1斤8两12铢，即(168)2412588(铢)，若按照富的差别，家最贫者交8两即192铢；公差为3两即72铢。按照术解：“差多”就是公差d。户数n等于(平均一户税银数588最下户税银数192)2727212。(二)今有人盗马乘去已行三十七里，马主人乃觉

31、悟，追之一百四十五里，不及二十三里而还；今不还追之，问几何里及之。答曰：二百三十八里一十四分里之三。术曰：置不及里数，以马主追里数乘之为实；以不及里数减已行里数余为法；实如法而一。【注】题目的意思是：有贼盗马已经跑了37里，主人才发觉。马主人追了145里，还差23里就回去了。问如果继续追，还要再走多远才能追上此盗马贼。(三)今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里。问日行几何？答曰：初日行三百五十二里一百二十七分里之九十六；次日行一百七十六里一百二十七分里之四十八；次日行八十八里一百二十七分里之二十四；次日行二十二里一百二十七分里之六；次日行一十一里一百二十七分里之三；次日行五里一百二十七分里

32、之六十五。术曰：置六十四、三十二、一十六、八、四、二、一为差副并为法；以行里数乘未并者，各自为实；实如法而一。【注】这是一个等比数列问题。(四)今有驽马日初发家，良马日以七分之一发家，日乃五分之二，行四十五里及驽马；问良驽马一日不止各行几何？答曰：良马日行一百七十五里，驽马日行一百一十二里一百五十步。术曰：置五分之二、七分之一相减，余为良马行率；增七分日之一，为驽马行率；各以为法，以及里数乘二母为实，实如法而一。【注】驽马就是稍差点的马。(五)今有迟行者五十步，疾行者七十步；迟行者以先发，疾行者以后发答曰：二十五里。术曰：以迟行者步数减疾行者步数，余以乘及步数为实；实如法而一。【注】题目的意思

33、是：有甲乙二人，甲的速度为70，乙的速度为50；乙先行若干里之后，甲开始追，甲走了87.5里追上乙；求乙先行多少里。(六)今有甲日行七十里，乙日行九十里；甲日以五分之一乃发，乙日以三分之二乃发；问乙行几何里及甲？答曰：一百四十七里。术曰：以五分日之一减三分日之二，余以甲行里数乘之，又以乙行里数乘之为实；以甲乙行里数相减余以乘二分母为法；实如法而一。(七)今有筑城，上广一丈，下广三丈，高四丈；今已筑高一丈五尺，问已筑上广几何？答曰：二丈二尺五寸。术曰：置城下广以上广减之，又置城高以减筑高余相乘，以城高而一；所得加城上广即得。【注】题目的意思是：现正修筑城墙，其截面为等腰梯形，(八)今有筑墙，上广

34、二尺，六尺，高二丈；今已筑上广三尺六寸，问已筑高几何？答曰：一丈二尺。术曰：置已筑上广及下广，各减墙上广，以筑上广减余以减下广减余，余乘墙高为实；以墙上广减下广余为法；实如法而一。(九)今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问斩高几何？答曰：九尺。术曰：令上方尺数乘高尺数为实，以下方尺数为法；实如法而一。臣淳风等谨按：此术下方为勾率，高为股率；上方为今有见勾数，以见勾乘股率，如勾率而一，即得。【注】方锥即正四棱锥；方亭即正四棱台。题目的意思如图所示，已知：正四棱锥下底边长为AB20尺，高GE30尺；今欲从上面截去一段，使之成为正四棱台，且使正四棱锥上底边长为6尺，求小正四棱锥的高

35、。GF:GB6: 20，GF:306: 20，GF9(尺)。(十)今有方亭下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，欲接筑为方锥；问筑高几何？答曰：一丈二尺五寸。术曰：置上方尺数以高乘之为实，以上方尺数减下方尺数余为法；实如法而一。【注】按照给出的解法列式为：上方尺数10高25为被除数，以上、下方尺数之差2为除数，结果为125寸。(十一)今有堢壔方四丈，高二丈；欲以砖四面单壘之；砖一枚广五寸、长一尺一寸、厚二寸。问用砖几何？答曰：一万四千七百二十七砖一十一分砖之三。术曰：置堢壔方丈寸数，以砖广增之，而以四乘之，以高乘之为实；以砖长厚相乘为法，实如法而一。【注】堢即古体堡字，堡壔即土堡或城堡。“壔”，音d

36、o，堡壔是指底为正方形的长方体。题目的意思是：有一土堡，其底面为边长40尺的正方形，高为20尺；现在要用单砖把它垒上外墙，已知砖的长宽厚为1152(立方寸)；问需用多少砖。由于砖的长为11寸，底面为边长是400寸，36块砖的长是396寸，稍差一点，所以要用36块砖长着放，再竖着放上一块。所以术中说把底边垒成405寸；垒上一圈砖用砖(4054200)(112)。(十二)今有筑圆堢壔，周九丈六尺，高一丈三尺；问用壤土几何？答曰：一万六千六百四十尺。术曰：周自相乘，以高乘之，又以五乘为实；以三乘十二为法；实如法而一。【注】圆堡壔就是圆柱体土堡。题目的意思是：此圆柱体土堡底面的圆周长为96尺，高为13

37、尺，问用土多少。(十三)今有率户出绢三匹，依贫富欲以九等出之，令户各差除二丈。今有上上三十九户，上中二十四户，上下五十七户；中上三十一户，中中七十八户，中下四十三户；下上二十五户，下中七十六户，下下一十三户，问九等户各出绢几何？答曰：上上户，户各出绢五匹；上中户，户出绢四匹二丈；上下户，户出绢四匹；中上户，户出绢三匹二丈；中中户，户出绢三匹；中下户，户出绢二匹二丈；下上户，户出绢二匹，下中户，户出绢一匹二丈；下下户，户出绢一匹。术曰：置上八等户各求积差，上上户十六(即28)，上中户十四(即27)，上下户十二(即26)，中上户十(即25)，中中户八(即24)，中下户六(即23)，下上户四(即22

38、)，下中户二(即21)，各以其户数乘而并之，以出绢匹丈数乘，凡户所得，以并数减之，余，以凡户数而一，所得即下下户。递加差，各得上八等户所出绢匹丈数。【注】张丘建虽为北魏人，但从文中所述的“率户出绢三匹”来看，他是在追述西晋时的“户调”制度。按户征收的赋税称为“户调”，规定以丁男为户主的户，每年交纳一定的赋税。西晋征收户调的办法是“九品混通”，即在征收各农户的户调以前，地方政府要对各农户进行评资，依据各农户资产的多少，把民户分为上、中、下三级，每级之中又分为上、中、下三等，共计是九等，然后再依照户等的高下征收户调。上上等最多，以下逐级减少，下下等征收的最少。题目的意思是：现有上上39户，上中24

39、户，上下57户；中上31户，中中78户，中下43户；下上25户，下中76户，下下13户，共计386户。按照规定，每户平均交纳赋税为绢3匹，但下下等交的最少，向上依次每高一等多交2丈；问九等户各交纳多少绢。给出的解法是，先把下下等之上的八等的户数分别乘以比下下户多交的部分，即：上上3916624(丈)，上中2414316(丈)，上下5712684(丈)；中上3110310(丈)，中中788624(丈)，中下436258(丈)；下上244100(丈)，下中762152(丈)；然后求它们之和，就得到比下下户多交的总和为39162414571231107884362447626243366843106

40、242581001523088(丈)，共386户，每户平均交纳赋税为绢3匹即12丈；从而求出下下户所交之数：(386123088)3864(丈)，即下下户应交1匹。然后依次增加2丈，即为所求。(十四)今有粟米三千斛，六百人食之；其一百人食糳米八斛，二百人食粺米十四斛，三百人食粝米十八斛。问粟得几何日食之。答曰：四十一日四十九分日之十六。术曰：置粟数为实，以三等日食米积数，各求为众之数，并以为法；实如法而一。【注】这里说：有粟米3000斛，分给三类共600人。A类人100，每天分得凿米8斛；B类人200，每天分得粺米14斛；C类人300，每天分得粝米18斛。问多少天分完这些粟米。注意：粟米加工成

41、为粝米、粺米和凿米之后的比例是：粟米:粝米:粺米:凿米50:30:27:24。(十五)今有三女各刺文一方，长女七日刺讫，中女八日半刺讫，小女九日太半刺讫；今令三女共刺一方，问几何日刺讫？答曰：二日一千二百五十六分日之九百三十九。术曰：置日数以互乘数并为法，日数相乘为实。实如法而一。【注】题目的意思是：有三个女子各绣一块花样，长女用7天时间绣完，次女用8.5天绣完，小女用九又三分之二天绣完.现在三个女子一起来绣一块花样，得用多少天时间绣完。(十六)今有车运麦输太仓，去三十七里十六分里之十一；重车日行四十五里，七日五返。问空车日行几何。答曰：日行六十七里。术曰：置麦去太仓里数，以返数乘之；以重车日

42、行里数而一，所得为重行日数，以减凡日数为空行日数，余为空行日数以为法，以返数乘麦去太仓里数为实。实如法而一。【注】参见九章算术均输章第九题乘传委输。“太仓”是京城里的大谷仓；“重车日行四十五”，是指马车满载时每日只能走45里路；“七日五返”，是指驾车人所驾的马车7天内可以往返5次。(十七)今有人持钱之洛，贾利五之。初返归一万六千，第二返归一万七千，第三返归一万八千，第四返归一万九千，第五返归二万，凡五返归本利俱尽。问本钱几何？答曰：三万五千三百二十六钱一万六千八百七分钱之五千九百一十八。术曰：置后返归钱数以五乘之；以七乘第四返归钱数加之，以五乘之；以四十九乘第三返归钱数加之，以五乘之；以三百四

43、十三乘第二返归钱数加之，以五乘之；以二千四百一乘初返归钱数加之，以五乘之；以一万六千八百七而一；得本钱数。一法盈不足术亦得。【注】此题的意思是：有人持钱至洛阳经商，每去一趟得利润为五成，即50%。第一趟带回的钱数为16000，第二趟带回的钱数为17000，第三趟带回的钱数为18000，第四趟带回的钱数为19000，第五趟带回的钱数为20000，这五趟带回的钱数之和恰好等于本金和利润。求本金是多少。(十八)今有清酒一斗，直粟十斗。醑酒一斗，直粟三斗。今持粟三斛，得酒五斗。问清醑酒各几何答曰：醑酒二斗八升七分升之四；清酒二斗一升七分升之三。术曰：置得酒斗数，以清酒值数乘之，减去持粟斗数，余为醑酒实

44、。又置得酒斗数以醑酒值数乘之，以减持粟斗数余为清酒实。各以二值相减余为法；实如法而一，即得。以盈不足亦得。【注】题目的意思是：粟米10斗可以换得1斗清酒；粟米3斗可以换得1斗醑酒一斗。现在用粟米30斗换得5斗醑酒和清酒，问换来的醑酒和清酒各是多少。(十九)今有田积十二万七千四百四十九步，问为方几何？答曰：三百五十七步。术曰：开方除之即得。【注】题目的意思是：现在有一块正方形的田地，面积为127449平方步，求边长。(二十)今有田方一百二十一步，欲为圆，问周几何？答曰：四百一十九步八百二十九分步之一百三十一。术曰：方自乘又以十二乘之为实，开方除之即得。【注】题目的意思是：现在有一块正方形的田地，

45、边长为121步，和它面积相等的圆形田地的周长是多少步。(二十一)今有圆田，周三百九十六步，欲为方，问得几何？答曰：一百一十四步二百二十九分步之七十二。术曰：周自相乘，十二而一，所得开方除之，即得方。【注】题目的意思是：现在有一块圆形的田地，周长是396步，和它面积相等的正方形的田地的边长是多少步。给出的解法是：先求得圆面积(圆周长)212，再开平方即得。(二十一)今有弧田，弦六十八步五分步之三，为田二亩三十四步四十五分步之三十二，问矢几何？答曰：矢一十二步三分步之二。术曰：置田积步倍之为实，以弦步数为从。按：此下阙(缺的古体字)。【注】弧田指弓形的田，矢指弓形的高h，弦指弓形的底b。张丘建算经

46、卷下本资料是根据文渊阁本四库全书第七百九十七册录入的；在抄录时，由于原书中刘孝孙撰写的细草是用筹算解释其解法的，所以只选其中的一部分抄入。(一)今有甲、乙、丙、丁、戊五人，猎获鹿。约以甲六、乙五、丙四、丁三、戊二分之；今获鹿五，问各得几何？答曰：甲得一鹿四分鹿之二；乙得一鹿四分鹿之一；丙得一鹿；丁得四分鹿之三；戊得四分鹿之二。术曰：列置甲六、乙五、丙四、丁三、戊二各为差，副并为法；以鹿数乘未并者，各自为实；实如法而一。【注】题目的意思是：有甲、乙、丙、丁、戊五人去猎鹿；事先约定分配比例是：甲:乙:丙:丁:戊6:5:4:3:2。现在猎得鹿头，如何分配？(二)今有鹿直西走，马猎追之，未及三十六步。

47、鹿回直北走，马俱斜逐之，走五十步未及一十步，斜直射得鹿。若鹿不迴，马猎追之；问几何里而及之。答曰：三里。术曰：置斜逐步数，以射步数增之，自相乘；以追之未及步数自相乘减之，余，以开方除之所得，以减斜逐步数余为法；以斜逐步数乘未及步数为实；实如法而一。【注】鹿向西行，有一猎人骑马追之，当猎人追至(A)与鹿(B)还相差36步时，鹿突然转向北；此时骑马猎人就斜着追去，追了50步(至D)时，与鹿(C)还差10步，此时猎人射得鹿。问如果鹿不向北转，而继续向西，猎人需追多远才能追上此鹿。(三)今有垣高一丈三尺五寸，材长二丈二尺五寸，倚之于垣末与垣齐；问引材却行几何材末至地。答曰：四尺五寸。术曰：垣高自乘，以

48、减材长自乘，余开方除之；所得以减材，余即却行尺数。【注】题目的意思是：有一根长木CB，长22.5尺，一头B在墙根；墙高13.5尺，现要将长木CB的C端向前移，使长木移至DA斜靠在墙上。求CD的长度。(四)今有仓东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺；问受粟几何？答曰：得四百四十斛二十七分斛之二十。术曰：并南北壁高而半之，以广袤乘之为实，实如斛法而一，得斛数。【注】题目的意思是：有一粮仓，纵截面是直角梯形，尺寸如图所示；问能储存多少粟米。计算方法是先求出其体积为：(98)/2712714(立方尺)；再除以1.62即得。这里用的数据与九章算术不一致，书中把1斛粟米的容积当成1620立方

49、寸1.621立方尺。而九章算术卷五商功中说，根据王莽律嘉量斛，粟1斛积2700立方寸；米1斛积1620立方寸。(五)今有圆圌，上周一丈八尺，下周二丈七尺，高一丈四尺，问受几何？答曰：三百六十九斛四斗九分斗之四。术曰：上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之，以三十六而一。所得为实，实如斛法而一，得斛数。【注】圌读chun，粮囤。题目的意思是：有一圆台形状的粮囤，上周长是1丈8尺，下周长是2丈7尺，高1丈4尺，问它可以储存多少粟米。(六)今有窖上广四尺，下广七尺，上袤五尺，下袤八尺，深一丈；问受粟几何？答曰：得二百二十五斛三斗八十一分斗之七。术曰：倍上袤、下袤從之，各以其广乘之，并，以深乘之为实；实如

50、斛法而一，得斛数。【注】这里说的是“刍童”，即上下底面都是长方形的拟台体，如图所示。其体积公式为：V (2上袤下袤)上广(2下袤上袤)下广高 (528)4(825)710365然后再除以1.62即得到答案。(七)今有窖上方五尺，下方八尺，深九尺，问受粟几何？答曰：二百三十八斛九分斛之八。术曰：上下方相乘，又各自乘，并，以深乘之，三而一，所得为实，实如斛法而一，得斛数。【注】这里说的窖，即正四棱台，古代称之为方亭。其体积：V1/3 (上底边长 上底边长下底边长下底边长 )高387。然后再除以1.62即得到答案。(八)今有仓，东西袤一丈四尺，南北广八尺，南壁高一丈，受粟六百二十二斛九分斛之二；问北

51、壁高几何？答曰：八尺。术曰：置粟积尺以仓广袤相乘而一；所得倍之，减南壁高尺数，余为北壁高。【注】“积尺”的意思是体积的立方尺数。解法参考第四题。(九)今有圆圌，上周一丈五尺，高一丈二尺，受粟一百六十八斛五斗二十七分斗之五；问下周几何？答曰：一丈八尺。术曰：置粟积尺以三十六乘之，以高而一；所得以上周自相乘，减之，余以上周尺数從，而开方除之；所得即下周。【注】解法参考第五题。(十)今有窖上方八尺，下方一丈二尺，受粟九百三十八斛八十一分斛之二十二；问深几何？答曰：一丈五尺。术曰：置粟积尺以三乘之为实；上下方相乘，并；又各自乘以为法；实如法而一。【注】解法参考第七题。(十一)今有窖上广五尺，上袤八尺，

52、下广七尺，深九尺，受粟三百一斛八斗八十一分斗之四十二；问下袤几何？答曰：一丈。术曰：置粟积尺以六乘之，深而一，所得倍上袤，以上广乘之；又以下广乘上袤，并，以减之余，以倍上广从之而一，得下袤。【注】解法参考第六题。(十二)今有上锦三匹、中锦二匹、下锦一匹，直绢四十五匹；上锦二匹、中锦三匹、下锦一匹，直绢四十三匹；上锦一匹、中锦二匹、下锦三匹，直绢三十五匹。问上、中、下锦各直绢几何？答曰：上锦一匹直绢九匹；中锦一匹直绢七匹；下锦一匹直绢四匹。术曰：如方程。【注】“锦”泛指具有多种彩色花纹的丝织物。锦的生产工艺要求高，织造难度大，所以它是古代最贵重的织物。释名云：“绵，金也，作之用功重，其价如金。”

53、古人把色看成和黄金等价。当时商品交换仍处于以物易物的阶段，绢在很大程度上行使货币的职能。根据题意，设上锦一匹要用绢x匹换得；中锦一匹要用绢y匹换得；下锦一匹要用绢z匹换得。(十三)今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢不知匹数；大兄谓二弟曰：“我得汝等绢各半，得满七十九匹”；中弟曰：“我得兄弟各半，得满六十八匹”；小弟曰：“我得二兄绢各半，得满五十七匹”。问兄弟本持绢几何？答曰：孟五十六匹；仲三十四匹；季一十二匹。术曰：大兄二、中弟一、小弟一合一百五十八匹；大兄一、中弟二、小弟一合一百三十六匹；大兄一、中弟一、小弟二合一百一十四匹。如方程而求得。【注】西周初年起，一家有兄弟数人，习惯上，在给他们起名字

54、的时候，用“孟（或伯）、仲、叔、季”等字，以示长幼有序。术意思是：将方程组中的三个方程两边都乘以2，使系数化为整数。(十四)今有甲乙丙三人，持钱不知多少。甲言：“我得乙大半，得丙少半，可满一百”；乙言：“我得甲大半，得丙半，可满一百”；丙言：“我得甲乙各大半，可满一百”。问甲乙丙持钱各几何？答曰：甲六十；乙四十五；丙三十。术曰：三甲、二乙、一丙，钱三百；四甲、六乙、三丙，钱六百；二甲、二乙、三丙，钱三百。如方程即得。【注】“大半”即三分之二。设甲有钱x，乙有钱y，丙有钱z，可用方程组解(十五)今有甲乙怀钱各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍；乙得甲十钱，适等；问甲乙怀钱各几何？答曰：甲三十八钱

55、；乙钱十八。术曰：以四乘十钱，又以七乘之，五而一，所得半之，以十钱增之，得甲钱数；以十钱减之，得乙钱数。【注】题目的意思是：甲乙两人各带钱若干，若乙给甲10个钱，则甲比乙多的钱，是乙余下来的钱数的5倍；若甲给乙10个钱，则两人的钱数恰好相等。求两人原来各带的钱数。若用算术来解：由于乙得甲10钱，甲乙钱数相等，所以甲本来就比乙多钱20。现在乙再给甲10个钱，这样，甲又增多了10钱，乙又减少了10钱。所以，两人钱数之差就是20(102)202040；然而，这甲比乙多的40个钱，正好是乙现在剩下的钱数的5倍。故乙剩下的钱数就是4058；再进一步，便可知道，乙原来所有的钱数就是81018。甲原来所有的

56、钱数就是182038。答：甲所带钱数为38，乙所带钱数为18。(十六)今有车五乘，行道三十里，雇钱一百四十五；今有车二十六乘，雇钱三千九百五十四、四十五分钱之十四，问行道几何？答曰：一百五十七里少半里。术曰：置今有雇钱数，以行道里数乘之，以本车乘数乘之为实；以本雇钱数乘今有车数为法；实如法得一。【注】题目的意思是：原来雇车5辆，行30里，用的钱数是145；这次雇车26辆，用的钱数是三千九百五十四又四十五分钱之十四；问这次雇车化了多少钱？(十七)今有恶粟一斛五斗，舂之得粝米七斗；今有恶粟二斛，问为粺米几何？答曰：八斗四升。术曰：置粝米之数，求为粺米所得之数，以乘今有恶粟为实；以本粟为法；实如法得一。臣淳风等谨按：此术置粝米十斗，以粺米率九乘之，以十而一，得六斗十分斗之三，是为恶粟十五斗，得作粺米六斗十分斗之三，此今有术恶粟二十斗为所有数；粺米六斗十分斗之三为所求率；恶粟十五斗为