2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(一)文科数学

1、2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（一）文科数学试题祝考试顺利注意事项：1、考试范围：高考范围。2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应 当立马报告监考老师，否则一切后果自负。3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考 老师，否则一切后果自负。4、答题前，请先将自己的姓名、 准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型 A后的方框涂黑。5、 选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目

2、的答案标号涂黑。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答无效。7、 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用 0.5毫米黑色 签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。9、考试结束后，请将本试题卷、答

3、题卡、草稿纸一并依序排列上交。第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合A x|2x4,bx|x 2，则 A|(CrB)()A. (2,4)B. ( 2,4)C. ( 2,2)D. ( 2,2【答案】c【解析】集合A x2 x4 , B xx2 ， CrBx| x 2则 ACrB2,2 .故答案为C.2已知复数z满足2 i z 3 4i ,则z ()A. 2 iB. 2 iC. 2 iD. 2 i【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(2 i)z |3

4、 4i | 5，5(2 i)(2 i)(2 i)【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题. 3已知 a (1,k),b(k,4)，那么“ k 2 ”是“ a,b 共线”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件【答案】A【解析】【分析】先求出a,b共线时k的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论(k,4)，当共线时得k24,k所以“ k 2 ”是“ a,b共线”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题4古代数学著作九章算术有如下的问题：“今有女子善织，日自

5、倍，五日织五尺，问日织几何？ ”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？ ”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要A. 7 天B. 8 天C. 9 天D. 10 天【答案】C【解析】【分析】设所需天数为n天，第一天3为ai尺，先由等比数列前 n项和公式求出 印，在利用前n项和Sn 50，便可求出天数n的最小值.【详解】设该女子所需天数至少为n天，第一天织布ai尺,由题意得：1 25S51 25，5解得.31，S. 1 2n311 250解得 2n 311 , 29 =5 1 2, 28 =256 ,所以要织布的

6、总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天,故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n项和，直接两次利用等比数列前n项和公式便可得到答案.5.设长方体的长、宽、高分别为-,3a、.2a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A. 3 a2B. 6 a2C. 12 a2D. 24 a2【答案】B【解析】【分析】由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解【详解】长方体的长、宽、高分别为.3a、2a、a ,则其对角线长为.,3a2 2a2 a26a，又长方体的顶点都在一个球面上,所求的球半径R -2所以表面积为4 R26 a2.故选：B.【点睛】本题考查多面体与球的“

7、接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题6.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（A. 70B. 75C. 66D. 68【答案】D【解析】【分析】 根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解【详解】依题意该班历史平均数估计为30 0.1 50 0.2 70 0.4 90 0.3 68.故选：D.【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题n _7已知 tan3，则 cos - 23333 10A.-B.C.D.510410【答案】A【解析】【分析】,亠Ln2si ncos2t

8、a n由题意得cos2sin22sin cos22-，结合条件可得所求结果2sin2costan1n【详解】由题意得 cos 2si n22sin cos2sin cos2ta n2 3632222in2costan1?2 1105故选A .“1的代换，将所求值转化为【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用齐次式的形式，然后再根据条件求解8.圆 x22y 2x 2y 10上的点到直线x y2的距离最大值是（A. 2C. 1D. 1 2 2【答案】B【解析】【分析】先求得圆心到直线 x y 2的距离为d ,2，再结合圆的性质，即可得到最大距离为d 1，即可求解,得到答案

9、【详解】由题意，圆x2 y2 2x 2y 1 0，可得圆心坐标 0(1,1)，半径为r 1，1 1 2l则圆心0(1,1)到直线x y 2的距离为d 一产近，V2所以圆x2寸2x 2y 1 0上的点到直线x y 2的距离最大值是d 12 1.故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题1 19.在区间 ，上随机取一个x，则sinx的值介于与一之间的概率为()2 2 2 2B.C.-D.【答案】B【解析】【分析】11求解正弦不等式si nx在区间22孑2上的解集，结合

10、几何概型的概率计算公式即可容易求得【详解】因为sin x2，x n n6,6，所以满足题意的概率故选：B.【点睛】本题考查几何概型长度型问题的概率计算，涉及正弦不等式的求解，属综合基础题10. 设I是直线，是两个不同的平面()A.若 l /, l/ ，则 /B.若 l /, l ，则C.若，1 ，则 lD.若，1/ ，则 l【答案】B【解析】【分析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可【详解】由I是直线,是两个不同的平面，可知:A选项中，若I /，I/B选项中，若I /，IC选项中，若，ID选项中，若，I/故选：B.，则 ，可能平行也可能相交，错误;，由线面平行、线面垂直的性质和

11、面面垂直的判定可知，由面面垂直、线面垂直的性质可知I/ 或I，则I，可能平行也可能相交，错误，错误;，正确;【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题11.函数y (x3x)2lx的图像大致是()【答案】B【解析】试题分析：由- -，得- _- -，则 为奇函数,故其图象关于原点对称，排除&当-.时，.，._，故.* ，故排除A、D， 故选B.考点：函数的图象12已M为抛物线y 4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3,1），则| MP | |MF |的最小值为（）A. 3【答案】B【解析】【分析】B. 4C. 5D. 6过M点作抛物线的准线的垂线，垂足为

12、N，可得|MN | |MF |，转化为求| MP | |MN |的最小值，数形结合即可求解【详解】抛物线y2 4X准线方程为X 1， 过M点作抛物线的准线的垂线，垂足为 N ,由抛物线的定义可得|MN | | MF |，|MP| |MF | |MP| |MN | |PN | 4，当且仅当P,M ,N三点共线时等号成立故选：B.VEV心-1f F,vX【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题第U卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）x y 013.设变量x,y满足约束条件 x y 1则目标函数z 5x y的最大值为x 2y 1【答案

13、】5【解析】【分析】 画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示:5x平行.目标函数z 5x y，可整理为y 5x z，与直线y数形结合可知，当且仅当目标函数过点A 1,0时取得最大值则 Zmax 5 105 故答案为：5 .【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，涉及数形结合，属基础题.20项的和为14.在等差数列an中，aia2a33,%aa?。87，则该数列前【答案】300【解析】【分析】根据已知条件结合等差数列的性质可得a2,a19，求出ai a?o，即可求解【详解】在等差数列an中，a1a?a33a?3,a?1，a18

14、a19a203a1987,乐 29，s201 a20)S202故答案为：300.102a19) 300.【点睛】本题考查等差数列的前n项和,0.5115.计算252732 04og4 516823【答案】12【解析】【分析】利用等差数列的性质是解题的关键,ln e5lg200 lg2属于基础题根据分数指数幕和对数的运算法则即可求解【详解】0.525162782 0 4叽5 In e5lg 200 lg 25 2 -（4）22 3-（3）362312故答案为:2312 .【点睛】本题考查指数幕和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题16已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f (x) 2x

15、f (1) Inx ,则f(1)【答案】 2 【解析】【分析】 对函数f(x)的解析式求导，得到其导函数，把x 1代入导函数中，列出关于f(1)的方程，进而得到f(1)的值，确定出函数f(x)的解析式，把x 1代入f(x)解析式，即可求出 f(1)的值 1 1 【详解】解：求导得：f (x) 2f (1),令x 1，得f (1) 2f (1) -，解得：f (1)1x1 f (x) 2x Inx ,f (1)2 02，故答案为-2.【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f(1)的值,从而确定出函数的解析式是解本题的关键.三、解答题(本大题共6小题，共7

16、0分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)(一)必考题(共60分)17已知函数 f x4cosxsin xa的最大值为2 .(1 )求a的值及f x的最小正周期；(2)在坐标系上作出 f X在0, 上 图像，要求标出关键点的坐标【答案】(1)a 1，T ； ( 2)图像和关键点 坐标见详解【解析】【分析】(1)先根据两角和公式对函数进行化简整理得合正弦函数的性质求得函数的最小正周期(2)依据图表，分别求得 0,12【详解】(1)f4cosxs in4cosx sinx-cosx2 2 3sin2x cos2x 1 a 2sin 2x16 f x的最大值为2，即21 a 2,2二a 1，最小

17、正周期T 2(2)因为fx 2sin 2x故可得其图像上关键点的坐标分别为:2652110,1，6,2，石,0，T 2，石,0，,1其图像如下所示:【点睛】作函数 f x Asin x图象的方法4(1)作三角函数图象的基本方法就是把x看作一个整体，利用五点法画图，此法注意在作出一个周 期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图像;(2)变换法作图象的关键是看 x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用xX 来确定平移单位.18.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查，若从抽取的6所学校中随机抽取 2所学校做进

18、一步数据分析(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2 )求抽取的6所学校中的2所学校均为小学的概率.1【答案】(1)抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所.(2)-5【解析】【分析】(1) 根据分层抽样每个个体抽取的概率相等，即可求出各层的抽取的个数；(2) 将抽取的6所学校按所在组进行编号，列出从6所学校任取2所学校的所有情况，确定出 2所学校均 为小学的抽取个数，按照古典概型概率公式，即可求解【详解】(1)因为共有学校21 14 742 (所)所以抽取学校的比例是 -427所以抽取的小学有 3所，中学有2所，大学有1所.(2)设抽取的小学为ai,a2, a3，中学为鸟山2,

19、大学为 c，则基本事件有：3|, a? ,a b|, ai, d ai c a2 a3a2 ,bi,a2 b2a2 c ,a3,b , a3,b2 , a3,c , db , d,c , b2,c，共 15种.其中是2所小学的事件有：ai,a2 , ai,a3 , a2,a3，共3种.3 1所以抽取6所学校中的2所学校均为小学的概率 P -.155【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，古典概型的概率的计算方法，属于基础题19.已知椭圆的两焦点为1F1 0,F2 0,1，离心率为-.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点P在椭圆上，且 PF1 PF?1，求 cos F1 PF2 的值2 2【答案】(1)

20、 + -4 3【解析】【分析】(1)根据焦点坐标以及离心率，即可求得 a,b,c方程，求解方程，即可得到椭圆方程;(2)根据椭圆定义，结合已知条件，利用余弦定理解三角形即可2 2【详解】（1）设椭圆方程为-y- x- 1 （a b 0） a2 b2c 1由题设知c 1 ,a 2- a 2,b2 a2 c2322所求椭圆方程为+x 1.43(2)由椭圆定义知 PF1PF2 2a 4，又 PF1 PF2PF13，又 F1F2 2c 22由余弦定理cos F1PF22PF1PF2I2 IF1F2I2252 PF1 PF2I3故 cos F1PF235【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的

21、几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识 的掌握水平和分析推理能力20.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形， ABE为等腰三角形，AE BE . 2，平面ABCD 平 面 ABE.（1）求证：平面ADE 平面BCE ；（2 ）求三棱锥D ACE的体积2【答案】（1）证明见解析（2）-3【解析】【分析】（1）根据已知可证 AD 平面ABE，得到AD BE，再由AE,BE, AB长度关系，得到 AE BE，进而 有be 平面ADE，即可证明结论；（2） 取AB中点O,连接0E，根据已知可证 OE 平面ABCD，利用 V ACE VE ACD，即可求解【详解】（1）四边形ABCD是正方形，AD

22、 AB.又平面ABCD 平面ABE，平面ABCDp|平面ABE AB，AD 平面ABCD， AD 平面ABE，而BE 平面ABE. ADBE.又:AE BE , 2, AB 2 ,AB2AE2 2BE ,AE BE而ADAEA, AD、AE 平面 ADE ,BE平面ADE，而 BE 平面 BCE ,平面 ADE平面BCE .（2）如图，取AB中点O，连接OE :占ABE是等腰三角形，OE AB.又,平面ABCD 平面ABE,平面ABCD平面ABE AB , OE 平面ABEOE 平面ABCD，即OE是三棱锥D ACE的高又;AE BE . 2, AB 2 OE 1当x ( 1,1)时，f (x

23、)0，所以f (x)在(1,1)上单调递减【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直、求椎体的体积，空间垂直关系的相互转化是解题的关键，属于中档题 1 31221.设 a 实数，函数 f(x) x (a 1)x ax(x R).32(1 )当a 1时，求f(x)的单调区间；(2)求f (x)在R上的极大值与极小值.11【答案】(1)单调区间有(,1),(1, ),( 1,1);当a 1时，f(x)的极大值是a3a2，极小62111113 12值是一 a ；当a 1时，f (x)无极值；当a 1时，f (x)的极大值是一 a，极小值是a a .26266 2【解析】【分析】(1 )当

24、a 1时，求出f(x),f x，求解f x f x 0，即可得出结论；(2)求出f (x)，进而得到f (x) 0的根，按照根的大小对a分类讨论，求出单调区间，即可求解【详解】(1)当a 1时，f (x) lx3 x32* fxx 10 x11)上单调递增;当 x(, 1)时，f (x)0，所以f(x)在(当x (1,)时，f (x)0，所以f(x)在(1,)上单调递增;所以f(x)的单调区间有(，1),(1,),( 1,1)；(2)* f x x2 (a 1)x a (x 1)(x a) 0x 1 或 x a ,当 a 1 时，f x (x 1)20所以f(x)在(，)上单调递增，所以f (

25、x)在R上无极值.当a1时，随x的变化f x , f (x)变化如下：x(,a)a(a, 1)1(1,)f (x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增1 31 2所以f(x)的极大值是f(a) a3 a2，6 21 1 极小值是f( 1)-a -2 6当a 1时，随x的变化f x , f (x)变化如下:x(,1)1(1,a)a(a,)f (x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增1 3 1 2 所以f (x)的极小值是f (a) a a ，6 21 1 极大值是f( 1)-a -.2 61 3 1 2综上，当a 1时，f(x)的极大值是a3a2，6 21 1极小值是一a -；2 6当a 1时

26、，f (x)无极值；1 1当a 1时，f (x)的极大值是一a -，2 61312极小值是 a -a .6 2【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理、数学计算能 力，属于中档题(二)选考题(共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分)22.在极坐标系中，过曲线L : psin2 0二2a cosO(a0)外的一点A(2、5,卄0)(其中tan 2， 为锐角)作平行于4( R)的直线1与曲线分别交于B，C -(I )写出曲线L和直线1的普通方程(以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系)；(n )若| AB|,| BC |,| AC |成等比数列，求a的值.【答案】(I )曲线L和直线|的普通方程分别为 y2二2ax，y=x. 2(n) a 1【解析】【分析】(I )根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程(n)写出直线I的参数方程，代入曲线L的普通方程得t2 2. 2(4 a)t 8(4 a) 0，利用韦