陈殿友大学数学系列教材4.1线性方程组与向量组的线性相关第一讲

1、 第四章第四章 线性方程组与向量组的线性相关性线性方程组与向量组的线性相关性1 消元法与线性方程组的相容性消元法与线性方程组的相容性 1.1 线性方程组的相容性与线性方程组的相容性与cramer法则法则 1、线性方程组的表示法、线性方程组的表示法一般地，一般地，n个未知量个未知量m个方程的线性方程组可以表示为个方程的线性方程组可以表示为11 11221121 1222221 122,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 其中其中x1,x2, xn 是方程组的是方程组的 n 个未知量，个未知量，aij (i =1, 2, , m;j = 1, 2, , n

2、)是第是第 i 个方程中的第个方程中的第 j 个未知量的系数，个未知量的系数，bi (i =1, 2, , m) 是第是第 i 个方程的常数项。若记个方程的常数项。若记(1)111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaa12,nxxxx12,mbbbb按矩阵的乘法和矩阵相等的定义，（按矩阵的乘法和矩阵相等的定义，（1）式可以写成）式可以写成 ax = b (2)其中其中mn 矩阵矩阵 a 是线性方程组（是线性方程组（1）的）的 系数矩阵系数矩阵， m(n+1) 矩阵矩阵 b= （a，b）是方程组的）是方程组的 增广矩阵增广矩阵。 设设 a 按列分块为按列分块为 ，（，（1）也可表为

3、）也可表为12(,)na (3) 1122.nnxxxb 当当b0时，即时，即b1, b2, bm不全为零时，相应的方程组不全为零时，相应的方程组称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组。当。当b=0时，即时，即b1=b2=bm=0时，时，相应的方程组称为相应的方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，即，即 ax = 0。 (4) 2、线性方程组的解、线性方程组的解12n 为方程组（为方程组（1）的）的解向量解向量，或说，或说 是是ax=b 的的解解。x 显然，齐次线性方程组总是相容的。那末，非齐次的显然，齐次线性方程组总是相容的。那末，非齐次的线性方程组在什么条件下才相容呢？线性方程组在什么

4、条件下才相容呢？ 3、线性方程组的相容性线性方程组的相容性 当线性方程组有解时，就说该方程组是当线性方程组有解时，就说该方程组是相容的相容的，否则，否则就说它是就说它是不相容的不相容的。 若若 满足（满足（4）式，则称）式，则称 是齐次线性方程是齐次线性方程组的一个组的一个非零解非零解。x 0 x 我们先来看一种特殊的情形，设我们先来看一种特殊的情形，设 m = n，且，且 |a| 0，即方阵即方阵a可逆，由于其逆是惟一的，所以方程组有惟一解可逆，由于其逆是惟一的，所以方程组有惟一解 x = a-1b，其中其中从而从而11211122221121,nnnnnnaaaaaaaaaaa 4、 cr

5、amer法则法则记记dj为以为以 b 代替代替|a|中的第中的第 j 列所得到的行列式列所得到的行列式111,111,11212,122,12111,1,2,jj+njj+njnn,jnn,j+nnaabaaaabaad jn.aabaa112111122222121nnnnnnnaaabaaabaaabxa1112211112222211221.nnnnnnnnnb ab ab ab ab ab ab ab ab aa由于bi在dj中的代数余子式为aij，将dj按第 j 列展开，得 dj=b1a1j+ b2a2j+ bnanj, j=1,2,n.于是121,ndddxa cramer法则法则

6、 n个未知数n个方程的线性方程组ax=b ，若|a| 0，则方程组有唯一解即方程组（1）的惟一解 ， j=1,2,n 。这就是著名的cramer法则。jjdxa,1,2,jjdjn.xa其中dj为以 b 代替|a|中的第 j 列所得到的行列式。 1.2 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组 消元法消元法 线性方程组的求解过程是不断寻求化简的同解方线性方程组的求解过程是不断寻求化简的同解方程组的过程。其实质上是对方程组的增广矩阵施行初程组的过程。其实质上是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，使其变成等行变换，使其变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵。在该阶梯形矩阵。在该阶梯形矩阵非零行所对应的方程中，

7、越下面的方程所含的未知量非零行所对应的方程中，越下面的方程所含的未知量个数越少。正是利用这一点，最后求出方程组的解。个数越少。正是利用这一点，最后求出方程组的解。这种求解线性方程组的方法称之为这种求解线性方程组的方法称之为消元法消元法。当m不等于n时怎么办？3、线性方程组的相容性、线性方程组的相容性 设非齐次方程组设非齐次方程组ax=b ，其中，其中a=(aij)mn，且，且r(a)=r。 不妨设矩阵不妨设矩阵a的前的前r列中有列中有r阶的非零子式，对增广矩阵阶的非零子式，对增广矩阵b=(a,b)施以初等行的换法变换，将非零子式所在的行调整施以初等行的换法变换，将非零子式所在的行调整到前到前r

8、行，再经过若干次初等行变换将行，再经过若干次初等行变换将b化为化为行最简型矩阵行最简型矩阵1,1111,11,1,11100101( , ),00000000r+nr- r+r- nr-r r+rnrr+ccdccdccddba bc d初等行变换它所对应的与原方程组它所对应的与原方程组ax=b 的同解方程组为的同解方程组为111111221122111,0,00,00.rrnnrrnnrrrrrnnrrxcxc xdxcxc xdxcxc xdd 由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由于初等变换不改变矩阵的秩，所以r(a) = r(c) = r,从而从而 r( , )r( , )a bc d+1

9、+1= 01,0rrr,drd当时当时，.显然，当显然，当dr+10 时，时，r(a,b)r(a)，等价方程组中的第，等价方程组中的第r+1个方程是矛盾方程，即等价方程组无解，进而方程组（个方程是矛盾方程，即等价方程组无解，进而方程组（1）无解。当无解。当dr+1=0 时，时，r(a,b)=r(a)= r，若，若r = n，方程组（，方程组（1）有唯一解有唯一解xj=dj (j=1,2,n)。若。若r n，等价方程组可改写成，等价方程组可改写成111,111222,112,11,.rrnnrrnnrrr rrrnnxdcxc xxdcxc xxdcxc x由此可见，任给由此可见，任给xr+1，

10、xr+2，xn的一组值，就可以确定的一组值，就可以确定x1，x2， ，xr的值，从而得到方程组的一个解。此时方的值，从而得到方程组的一个解。此时方程组有无穷多个解。其解的表达式为程组有无穷多个解。其解的表达式为1111122122111.100010rnrnrrnrrrnrrnxccdxccdxxxccdxx 上述表达式称为方程组的上述表达式称为方程组的通解通解， xr+1，xr+2，xn称称为一组为一组自由的未知量自由的未知量。 综合以上的讨论，得出如下的定理。综合以上的讨论，得出如下的定理。 定理定理1.1 n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组ax=b 有解的充分必要有解的充分必要条件是

11、条件是r(a) = r(a,b)。 定理定理1.2 n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组ax=b 有无穷多解有无穷多解的充的充分必要条件是分必要条件是r(a) n。 推论推论1.1 n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组ax=b 有惟一解有惟一解的充分的充分必要条件是必要条件是r(a) =n。 定理定理1.1主要用于判别方程组主要用于判别方程组ax=b 是否有解，而定理是否有解，而定理1.2则主要用于判别相容的线性方程组则主要用于判别相容的线性方程组ax=b 有多少解。特有多少解。特别当别当b =0时，定理时，定理1.2仍然成立。成为判别齐次线性方程组仍然成立。成为判别齐次线性方程组ax=0

12、 有非零解的条件有非零解的条件 。 定理定理1.3 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组ax=0 有非零解有非零解的充分必的充分必要条件是要条件是r(a) n。 推论推论1.2 n个未知数个未知数n个方程的齐次线性方程组个方程的齐次线性方程组ax=0 仅有零解仅有零解的充分必要条件是的充分必要条件是|a| 0 。 例例3 试判明非齐次线性方程组试判明非齐次线性方程组123412341234231,3532,2223xxxxxxxxxxxx是否有解？是否有解？ 解解 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵b施以初等行变换施以初等行变换12311( , )3153221223ba b1231105401054011231105401