第四章弯曲应力(教学)

1、第四章第四章 弯曲应力弯曲应力( (Bending Stresses) )廖东斌编制廖东斌编制三、内力方程和内力图三、内力方程和内力图一、弯曲概述一、弯曲概述四、梁横截面上的正应力计算四、梁横截面上的正应力计算五、梁横截面上的切应力计算五、梁横截面上的切应力计算六、梁的合理设计六、梁的合理设计二、梁的内力（剪力和弯矩）二、梁的内力（剪力和弯矩）第四章第四章 弯曲应力弯曲应力1.1.工程实例工程实例 桥梁，屋梁，车轴都是桥梁，屋梁，车轴都是最常见梁的例子。最常见梁的例子。2.2.定义定义凡是以弯曲变形为主的杆件称为凡是以弯曲变形为主的杆件称为梁（梁（beam) )。一、弯曲一、弯曲( (bend

2、ing) )概述概述 当纵向平面上承受垂直于杆件轴线的横向力或当纵向平面上承受垂直于杆件轴线的横向力或外力偶当作用时，杆件的轴线由直线变成曲线，外力偶当作用时，杆件的轴线由直线变成曲线，此变形称为此变形称为弯曲变形弯曲变形。 平面弯曲：平面弯曲：当作用在梁上的所有外力（或合当作用在梁上的所有外力（或合力）位于纵向对称面内时，梁的轴线为一条位力）位于纵向对称面内时，梁的轴线为一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲。（于纵向对称面内的曲线的弯曲。（对称弯曲对称弯曲） 纵向对称面：纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面。构成的平面。支座的简化支座的简化固定铰支座固定

3、铰支座可动铰支座可动铰支座固定端固定端杆件的简化杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁用梁的轴线来代替实际的梁FRyFRxMRFRxFRyFRy外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁静定梁的基本形式静定梁的基本形式超超静定梁静定梁三跨连续梁三跨连续梁主跨主跨边跨边跨跨径跨径1.1.梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩二、梁的剪力和弯矩二、梁的剪力和弯矩梁横截面梁横截面m-m上的内力上的内力mmmmmm横截面上分布内力系向形横截面上分布内力系向形心简化为剪力心简化为剪力Fs和弯矩和弯矩M。符号规定符号规定: :左上右下为正。左上右下为正。上压下拉上压下拉( (上凹下凸上凹下凸) )为正。为正。或对或对微段梁微段梁内任一点

4、内任一点顺时针转动为正。顺时针转动为正。FsFs符号规定符号规定:剪力剪力Fs(shearing force)弯矩弯矩M(bending moment)FsFs简例简例1.1.求梁求梁C处左右截面上的剪力和弯矩。处左右截面上的剪力和弯矩。解：解：1.1.求支座反力求支座反力FAFB2FFFBA ABFaaCAMCA2.2.求求C左截面内力左截面内力FAFsCA2FFFAsCA 2.FaaFMACA 解：解：3.3.求求C右截面内力右截面内力BMCBFBFsCB2FFFBsCB 2.FaaFMBCB ABFaaC思考思考: :截面内力截面内力( (剪力与弯矩剪力与弯矩) )和外力的关系和外力的关

5、系, ,能否能否不画图示截面法的受力图而进行计算不画图示截面法的受力图而进行计算? ?结果比较结果比较: :C处有集中力作用时处有集中力作用时, ,左右截面弯矩不变左右截面弯矩不变; ;左右截面剪力发生突变左右截面剪力发生突变, ,变化值大小等于集中力大小。变化值大小等于集中力大小。简例简例2.2.求梁求梁C处左右截面上的剪力和弯矩。处左右截面上的剪力和弯矩。解：解： 1.1.求支座反力求支座反力FAFB2FFFBA FaAMCA2.2.求求C左截面内力左截面内力FAFsCA2FFFAsCA 2.FaaFMACA ABaaC解：解：3.3.求求C右截面内力右截面内力BMCBFBFsCB2FFF

6、BsCB 2.FaaFMBCB 思考思考: :不画图示截面法的受力图而进行计算时应注不画图示截面法的受力图而进行计算时应注意的主要事项意的主要事项? ?结果比较结果比较: :C处有集中力偶作用时处有集中力偶作用时, ,左右截面剪力不变左右截面剪力不变; ;左右截面弯矩发生突变左右截面弯矩发生突变, ,变化值大小等于集中力偶矩。变化值大小等于集中力偶矩。ABaaC ABFACF1F2F3F4qFB321FFFFFACS 4FqlFFBCS FAFBM1ABF1CF2111MdFdFMAAC 22dFdFMBBC 剪力方程：剪力方程：FS=FS（x）弯矩方程：弯矩方程：M=M（x） 以以x轴表示横

7、截面位置，以纵坐标表示相应截面轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力上的剪力FS、弯矩、弯矩M，分别称为剪力图、弯矩图。，分别称为剪力图、弯矩图。剪力图、弯矩图表示剪力图、弯矩图表示FS、M沿梁轴线变化情况。沿梁轴线变化情况。解：解： 1.1.求支座反力求支座反力FAFB2FFFBA ABFaaC2.2.求内力方程求内力方程2)(1FFxFAS 2)(2FFxFBS ), 01ax ), 02ax 解：解：2.2.求内力方程求内力方程FAFBABFaaC), 01ax ), 02ax 2)(111FxxFxMA 2)(222FxxFxMB 2)(1FxFS 2)(2FxFS FS0.5

8、F0.5FM0.5Fa简例简例4.4.解：解： 1.1.求支座反力求支座反力FAFB2FFFBA Fa2.2.求内力方程求内力方程ABaaC2)(1FxFS 2)(2FxFS 2)(11FxxM 2)(22FxxM FS0.5FM0.5Fa0.5Faqxl qxFS 2)(22)(xqxxlqxM ABlxq()0 xl82222lqlxq ()0 xlSFM2ql解解: :1.1.求支反力求支反力2.2.求内力方程求内力方程8/2l q2/ql 2/ql2ql简例简例4.4.画内力图画内力图剪力和弯矩与载荷集度间的微分关系剪力和弯矩与载荷集度间的微分关系 0 xdFxFdxxqxFSSS 0

9、212dxxFxMdxxqxdMxMS3.3.剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系q x( )q x( )(xFS)()(xdFxFSS )(xM)()(xMdxM xdx剪力和弯矩与载荷集度间的微分关系剪力和弯矩与载荷集度间的微分关系 0 xdFxFdxxqxFSSS dxxdFxqS 0212dxxFxMdxxqxdMxMS dxxdMxFS 22dxxdMxq 注注: :q(x)向上为正向上为正, ,反之为负。反之为负。梁上无分布荷载作用：梁上无分布荷载作用：q（x）=0 0 dxxdFxqS剪力图斜率为零，剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于）图为平行于x轴的直线。

10、轴的直线。 contxFdxxdMS contxFS 弯矩图斜率为常量弯矩图斜率为常量cont，M （x）为直线）为直线,一般为一般为斜直线斜直线。梁上作用均布荷载：梁上作用均布荷载：q（x）=cont contdxxdFxqS 剪力图斜率为剪力图斜率为cont，FS（x）图为）图为斜直线斜直线。M （x）取得极值。）取得极值。弯矩图弯矩图M （x）为二次抛物线。）为二次抛物线。 0 xFdxxdMSql / 2SFM8/2qlAFBFqll2ACB8/ l q858qlFqlFBA例例5.5.作外伸梁的内力图作外伸梁的内力图qSFl2l238qlq l838ql8ql12892ql162ql

11、M例例7.7.画出如图画出如图梁的内力图梁的内力图例例6.6.画出如图画出如图梁的内力图梁的内力图SFaaaqa22/qqaqaqaqaqa2/2qaM2/2qaqa22/qaaqqa / 2qa / 2SFqaqa / 2qa / 2例例8.8.画出如图画出如图梁的内力图梁的内力图qa22/8/qaM* *分段叠加法画弯矩图分段叠加法画弯矩图分段叠加法画弯矩图分段叠加法画弯矩图2/PalPa2/PM4/PlABlxqM8/2l q基本图形基本图形MAABMBMMAMB分段叠加法原理分段叠加法原理2qaqaa74qa54qa542qa /M例例9.9.画出如图梁的弯矩图画出如图梁的弯矩图22q

12、aq2qaa2aaACBD22qa22qaM思考思考: :如何用分段叠加法画如下弯矩图如何用分段叠加法画如下弯矩图? ? 刚架的组成刚架的组成横梁、立柱与刚节点。横梁、立柱与刚节点。立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图 弯矩的数值标在受拉边，轴力、剪力画在里弯矩的数值标在受拉边，轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需侧和外侧均可，但需 标出正负号。标出正负号。例例10.10.绘刚架内力图绘刚架内力图q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mFAxFAyFB:0AMkNFB5311818kNFFFAxAxx30114:008:0BAyyFFFkNFAy3

13、1 1）轴力图）轴力图q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mFAxFAyFBkNFADkNFDCkNFBCNNN3:1:5:321杆杆杆杆杆杆FAx=-3kNFAy=3kNFB=5kNABDEC5kN1kN3kNq=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mFAxFAyFBABDEC:1kNBC杆：取一点（水平线）杆：取一点（水平线）DC杆：取两点（水平线）杆：取两点（水平线）5kN3kNDA杆：取两点（斜直线）杆：取两点（斜直线）1kN3kNFAx=-3kNFAy=3kNFB=5kNq=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mFAxFAyFB用简易法用简易法ABD

14、EC0kN3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3m4kNmFAx=-3kNFAy=3kNFB=5kNABDEC1kN5kN3kN1kN3kNABDECABDEC0kN3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3m4kNmPPSFMaal=0=constSFM，1.1.纯弯曲：纯弯曲：00SFM ，横力弯曲：横力弯曲：PPCDABPPPa四、梁横截面上的正应力计算四、梁横截面上的正应力计算aabbmnmnmmmm ；aabbmnmnmmmm中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层z ()y dddyzdxydyyyEEydAdNAFAMzAyAdMyAzAd 0 0 Md0NAFAEyAA

15、d00dAAyE0zASydAMzAyAd00dAAzydAEAyEz0yzAIzydAMyAMzAdy EyAMAd1zMEIAzdAyI20 xyIxydAdA如果所选的正交坐标轴中，有如果所选的正交坐标轴中，有一个一个坐标轴是坐标轴是对称轴对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。1MEIzyEM yIzzWMmaxpztIyM1max, zcIyM2max, y2y1yyyy12maxmaxmax,max, ctzzWMIyM maxmax IApA2d222yxpyxIIIdAyyxxOIdp432pzyIII644dIIzy简例：求图示

16、矩形对形心轴简例：求图示矩形对形心轴z z的惯性矩。的惯性矩。zyhb解：解：dyyAzAyId2ybyhhd2/2/2123bh平行移轴公式平行移轴公式Czz1aAaIIzz214444()(1)6464ZDdDI简单截面的简单截面的Iz和和WzIdZ464332ZdWIbhZ31226ZbhW 4444()(1)6464ZDdDI34(1)32ZDWiy , iz分别称为平面图形对分别称为平面图形对y轴和轴和z轴的轴的惯性半径惯性半径2yyiAI AIiyy工程中工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即一长度平方的乘积，即2zziAI

17、AIizz80802020CziicAyyAzIIzIzIIII20 80 90 20 80 4020 80 265()mm80802020CzIzC1zC2IzCzIAII212562580201220803)(.4610051mmIIzCIIzAII222562580201280203)(.4610851mm)(.461092mmIIIzIIzIz22822qlqlaqa0.207al max maxmaxzMWmax,tt max,cc lP1PP2hzbbzh(b)(a)例例12.两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图相等，但放置如图(

18、a)、(b)。按弯曲正应力强度。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比条件确定两者许可载荷之比 P1P2？解：解：maxmax111126MWPlbhzmaxmax222226MWP lhbz由得maxmax :12PPhb12a2a2l2l2PABCDPCy1y2z解：解：1maxmax,tztIyM 2maxmax,czcIyM 21ctyy Cy1y2z9kN4kNCz52881m1m1mABCD2.5kN10.5kN解：解：M2.5kN.m4kN.mCz5288M2.5kN.m4kN.mBCMPaCt8 .2863. 7885 . 2max, MPaBt3 .2763. 7524ma

19、x, MPaBC146637884.max, max,Cc 04 . m05 . m1mPABCD402004 . m05 . m1mPABCD4020CE2001061034 120MPaMWCCzMRCA 0 5 .3.2kNP 050 4. P 02 . P640 N m640N mP2mABC2003002m1lm20kN.m maxmaxzMW 333max620 10143140 10zMWmcm 140MPa26zbhW 2172Acm332zdW22100Acm3141zWcm2326.1Acm例例17.17.我国古代营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸我国古代营造法中，对矩形截面

20、梁给出的尺寸比例是比例是 h:b=3:2=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。（如何如何使使Wz最大最大? ?）hb解解:设圆木直径为设圆木直径为d222dhb62bhWzb db()22602622bdbWzbd3hd2五、梁横截面上的切应力计算五、梁横截面上的切应力计算bISFZzs 1.1.矩形截面梁矩形截面梁zyb- -梁截面宽梁截面宽Sz- -静矩静矩)(2242yhbydASAz bISFZzs 1.1.矩形截面梁矩形截面梁zy)(2242yhbSz bhFs2

21、3max最大值发生在中性轴上的点最大值发生在中性轴上的点腹板腹板翼缘翼缘bISFZ*Zs8822h)bB(BHbIFZsmax8822hBBHbIFZsminmaxminssF).(F9709501bhFsbBhHyAFS34maxSFzyAFS02.max max例例18.圆形截面梁受力如图所示。已知材料的圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径试求最小直径dminABm4mkN /20ABm4mkN /20解解: :作内力图作内力图SFMmkN .40kN40 kN40kN,40maxSFmaxmaxMWzmkN40maxM由正应力强度

22、条件：由正应力强度条件：63310160321040d即即mm137d得得AFmaxsmax34623101004104034d即即mm126.d得得由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：mm137mind所所以以例例20.20.两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。梁长为荷载如图所示。梁长为l。若材料许用应力为若材料许用应力为 ，其许可载荷其许可载荷 P 为多少？如将两个梁用一根螺栓联成为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？一体，则其许可荷载为多少？b2h2hPPb2h2hPl解：解：1、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲

23、两梁都、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两梁都有自己的中性层。有自己的中性层。每梁各承担一半弯矩。每梁各承担一半弯矩。12WMmaxmax2462221bhhbW 21122bhPlWMmaxmaxlbhP1222 2、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个。 62bhPlWMmaxmaxlbhP62b2h2hPz六、梁的合理设计六、梁的合理设计提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力maxmax MWZ因此应使因此应使Mmax尽可能地小，使尽可能地小，使WZ尽可能地大。尽可能地大。1

24、 1、梁的合理截面、梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。AW为指标。为指标。dAW1250.hAW1670.aAW1670.hAW310270.qqMMql28002142.qlxl 0207.xxll2 2、合理安排梁的受力情况、合理安排梁的受力情况PMPl / 4al2l2PPl /8Ml2l2l2a2a221maxmaxctctyyy1Pzy2CPl2l2)()(maxxWxM3 3、采用变截面梁、等强度梁的概念、采用变截面梁、等强度梁的概念梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用梁的各横截面上的最大正应力都等于材

25、料的许用应力应力时，称为时，称为等强度梁等强度梁。三、内力方程和三、内力方程和内力图内力图一、弯曲概述一、弯曲概述四、梁横截面上的四、梁横截面上的正应力计算正应力计算五、梁横截面上的五、梁横截面上的切应力计算切应力计算六、梁的合理设计六、梁的合理设计二、梁的内力（二、梁的内力（剪力和弯矩剪力和弯矩）第四章第四章 弯曲应力重点弯曲应力重点选择题练习选择题练习1、下列说法错误的有下列说法错误的有( )。A、图形对其主惯性轴（即主轴）的惯性积为零、图形对其主惯性轴（即主轴）的惯性积为零。B、图形对其形心主轴的惯性积为零、图形对其形心主轴的惯性积为零。C、图形对其形心轴的静矩为零、图形对其形心轴的静矩

26、为零。D、图形对其主轴的静矩为零、图形对其主轴的静矩为零。D2、下列错误的有下列错误的有( )。A、C Cyz z1 b h y1 y2 hbIIyy321 B、3411bhIIzz C、3311bhIz D、21yyII DA、80802020CzB、C、-D、C422513005 .32* zS分析：分析：aaa2qaqqaB、A、C、D、B 分析：约束反力不变，剪力图不变。分析：约束反力不变，剪力图不变。5.5.静定梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图静定梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图示，则正确的为（示，则正确的为（ ）。）。ql/2sF8/ l qA AB BC C A、

27、B、A A端和端和B B端为支座端为支座C、A A端和端和C C端为支座端为支座D、B B端和端和C C端为支座端为支座B ql / 2sFAFBFqll2ACB8/ l q外伸梁外伸梁分析：分析：6.6.梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图示，梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图示，则正确的为（则正确的为（ ）。）。ql/2sF8/ l qA AB BC C A、B、C、ABBCD、C ql / 2QFM8/2qlAFBFqll2ACB8/ l q外伸梁外伸梁分析：分析：CABaqaaaDA、B、C、D、C MmkN.20ACDBm2m1m2mkN.20A、B、C、D、D 分析：分析：按按D,B处剪力突变处剪力突变排除排除A， B B。再按。再按C C处弯矩，处弯矩，排除排除C 。qll22qlACBA、0,22 C右B左MqlMB、2,222qlMqlMC右B左 C、2,222qlMqlMC右B左 D、0,22 C右B左MqlMD 分析：分析：按按C处弯矩为零，处弯矩为零，排除排除B ，C 。再按简易法可。再按简易法可知知B B左截面弯矩为负，排除左截面弯矩为负，排除A 。qlll2qlACBA、qlFFSC右SC左 , 0B、C、D、qlFFSC右SC左 , 0qlFqlFSC右SC左 ,qlFqlFSC右SC左 ,D 分析：分析：按按C处突变值