(2.6)第六节变化率问题举例及相关变化率(少学时简约型)

1、应用问题中的函数关系所涉及的变量往往应用问题中的函数关系所涉及的变量往往不止一个，这些变量及变化率之间都有着某种不止一个，这些变量及变化率之间都有着某种依赖关系和联系，这就是所谓相关变量及相关依赖关系和联系，这就是所谓相关变量及相关变化率问题。变化率问题。 几乎所有的科学领域都有变化率问题，前面对函数几乎所有的科学领域都有变化率问题，前面对函数关系及变化率问题的讨论主要以抽象形式进行的，即所关系及变化率问题的讨论主要以抽象形式进行的，即所研究的是函数及其变化率的一般性质。这些函数关系研究的是函数及其变化率的一般性质。这些函数关系及变化率问题其实都有着具体的实及变化率问题其实都有着具体的实际背景

2、和广泛的应用。际背景和广泛的应用。 为更感性地理解这种函数关为更感性地理解这种函数关系及变化率的概念，以下考察系及变化率的概念，以下考察一些具体背景及应用问题。一些具体背景及应用问题。例：例：如果如果 s = f( t )表示质点沿数轴作直线运动时的位置表示质点沿数轴作直线运动时的位置函数，由导数的物理意义可知，函数，由导数的物理意义可知， 代表质点在时刻代表质点在时刻 t 时时的瞬时速度的瞬时速度，即位移关于时间的变化率。，即位移关于时间的变化率。 设设质点位置函数的具体表达式为质点位置函数的具体表达式为 s = f( t )= t 3 - - 6 t 2 + 9 t，其中其中 t、s 的单

3、位分别为的单位分别为 s 和和 m .(1) 求速度表达式，并求速度表达式，并分别写出分别写出 2s 和和 4s 时时的速度；的速度；(2) 何时质点静止不动；何时质点静止不动；(3) 何时质点沿数轴正向运动；何时质点沿数轴正向运动；(4) 画出质点运动草图；画出质点运动草图；(5) 求出前求出前 5s 质点运动的路程。质点运动的路程。ddst2s, ,4s 速度函数是位置函数对时间的导数，给定位置函数速度函数是位置函数对时间的导数，给定位置函数 s = f( t )= t 3 - - 6 t 2 + 9 t，故求得速度函数为故求得速度函数为 当当 t = 2 时，时， v( 2 )= 3t

4、2 - - 12 t + 9 t = 2 = 3 2 2 - - 12 2 + 9 = - -3 m / /s， 当当 t = 4 时，时， v( 4 )= 3t 2 - - 12 t + 9 t = 4 = 3 4 2 - - 12 4 + 9 = 9 m / /s . . 322dd693129ddstttv ttttt . . 质点的静止不动点就是速度为零的点，于是令质点的静止不动点就是速度为零的点，于是令 v( t )= 3t 2 - - 12 t + 9 = 3( t 2 - - 4 t + 3 )= 3( t - - 1 )( t - - 3 )= 0，解得解得 t = 1 和和

5、t = 3 是质点的静止不动点。是质点的静止不动点。 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴方向一致的时间段，即方向一致的时间段，即 v( t ) 0 的情形的情形，于是令，于是令 v( t )= 3t 2 - - 12 t + 9 = 3( t - - 1 )( t - - 3 ) 0，解得解得 t 3 . . 作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，而不是位移函数的二维图形。而不是位移函数的二维图形。 由前几问的讨论知：由前几问的讨论知： 当当 t 3 时，时，质点沿数轴正向运动，质点沿数轴正

6、向运动， 当当 1 t 3 时，时，质点沿数轴反向运动。质点沿数轴反向运动。于是可作出质点运动的轨迹图如下：于是可作出质点运动的轨迹图如下：s00ts14ts30ts 因为当因为当 t 1 时，时，质点沿数轴正向运动，当质点沿数轴正向运动，当 1 t 3 时，时，质点又沿数轴质点又沿数轴正向运动。因此质点在正向运动。因此质点在 5s 内走过的路程应逐段考察。内走过的路程应逐段考察。 质点从质点从 t = 0 到到 t = 1 内走过的路程为内走过的路程为 f( 1 )- - f( 0 ) = 4 - - 0 = 4( m )； 质点从质点从 t = 1 到到 t = 3 内走过的路程为内走过的

7、路程为 f( 3 )- - f( 1 ) = 0 - - 4 = 4( m )； 质点从质点从 t = 3 到到 t = 5 内走过的路程为内走过的路程为 f( 5 )- - f( 3 ) = 20 - - 0 = 20( m )；于是求得于是求得质点在质点在 5s 内走过的路程为内走过的路程为 4 + 4 + 20 = 28( m ) . .例：例：如果金属杆是均匀的，则其线密度如果金属杆是均匀的，则其线密度 是不变的，此是不变的，此时可用单位长度的质量来定义其密度，其单位为时可用单位长度的质量来定义其密度，其单位为kg/ /m . 现考虑不现考虑不均匀杆的密度定义，假设从左端算起长度均匀杆

8、的密度定义，假设从左端算起长度为为 x 的一段杆的质量为的一段杆的质量为 m = f( x )，杆位于杆位于 x = x 1 和和 x = x 2之间部分的之间部分的质量为质量为 m = f( x 2 )- - f( x 1), ,其平均其平均线密度为线密度为 2121f xf xmxxx . .这部分质量为这部分质量为 f( ( x ) )x1x2x x 随着随着 x 0 ( 即即 x 2 x 1 ) ，平均平均线密度线密度的极限就是金属杆在的极限就是金属杆在 x = x 1 处的处的线密度线密度 ，即线密度是，即线密度是质量关于长度的变化率或导数。质量关于长度的变化率或导数。 用符号表示就

9、是用符号表示就是例如例如：设设 m = f( x )= ， 则杆在则杆在1,1.2 上的平均上的平均线密线密度为度为而在而在 x = 1 处的处的线密度为线密度为 112121f xxf xf xf xmxxxx 1100dlimlimdxxf xxf xmmxxx . . x 1.211.210.48 kg m1.210.2ffmx . . 1d10.50 kg md2xmxx . . 如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之间必然也有一定的关系。具

10、有这种连带关系的变化率就间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化率往往能由其它变化率计算出来。率往往能由其它变化率计算出来。 设已知变量设已知变量 x，y 间的关系满足方程间的关系满足方程 F( x , ,y )= 0 .若变量若变量 x、y 还和另一变量还和另一变量 t 之间存在函数关系：之间存在函数关系： x = ( t )，y = ( t )，则三变量则三变量 x、y 、t 间的关系满足方程间的关系满足方程 F( x , ,y )= F ( t ), ( t )= 0 . . 将此方程

11、两边对变量将此方程两边对变量 t 求导可得方程求导可得方程 G x , ,y , , ( t ), ( t )= 0 . . 由于已知由于已知 x = ( t ), ,y = ( t )，故只要知道了故只要知道了 ( t ) ( t )中的一个，解方程就可求得另一个，由此还可进中的一个，解方程就可求得另一个，由此还可进一步求得一步求得 ddyx . .例：例：有一底半径为有一底半径为 R( cm )，高为高为 h( cm )的圆锥形容器的圆锥形容器, ,今以每秒今以每秒 A( cm 3 )的速率自顶部向容器内注水，试求：的速率自顶部向容器内注水，试求：当容器内水位达到锥高一半时，水面上升的速率

12、当容器内水位达到锥高一半时，水面上升的速率？ 容器内水位高度容器内水位高度 x 显然显然是时间是时间 t 的函数，记为的函数，记为x = x( t )，于是问题归结为求，于是问题归结为求由于由于 x = x( t )难以写出，直难以写出，直接求接求 x 对时间的变化率有困难。对时间的变化率有困难。 注意到水注入速率，即容器注意到水注入速率，即容器内水的体积内水的体积 V 的变化速率的变化速率 已知的，故考虑先求出体积已知的，故考虑先求出体积 V 与与 t 的函数关系，再间接求的函数关系，再间接求x 设圆锥形容器的容积为设圆锥形容器的容积为V 0，容器内尚未被水填充，容器内尚未被水填充 部分的体

13、积为部分的体积为 V 1，则有，则有 V = V 0 - - V 1 . . 易求得易求得 由图可得由图可得故有故有hA每每秒秒xV0V1VrR22 0111 33VR hVrhx, , , rhxhxrRRhh即即 ,2113Vrhx 213hxRhxh 2323Rhxh , , 求得容器中水的体积求得容器中水的体积 V 与液面高度与液面高度 x 的函数关系为的函数关系为 将上式两边对将上式两边对 t 求导有求导有 代入条件代入条件 232012133RV xVVR hhxh . .2322dd1dd33VRR hhxtth 222222dd03d3dRRxxhxhxthht , ,222d

14、dddxhVttRhx 即即 . .3d dVA cmt 得 得秒秒222d0dxAhxhtRhx , . , . 于是求得当于是求得当 x = h/ /2 时有时有 2211222ddxhxhAhxtRhx 2222412AhARRhh . .例：例：甲船以每小时甲船以每小时 24( km )的速度向北行驶的速度向北行驶，同时在正同时在正东东 10( km )处有乙船以每小时处有乙船以每小时 20( km )的速度向东行的速度向东行驶驶, ,问：从这一时刻起经一小时后，两船间的距离按怎样的问：从这一时刻起经一小时后，两船间的距离按怎样的速率变化速率变化？ 这是求相对速率这是求相对速率的问题。

15、由于速率是路程的问题。由于速率是路程函数对时间的导数，为求函数对时间的导数，为求速率应先确定路程函数。速率应先确定路程函数。为确定路程函数应先建立为确定路程函数应先建立适当的坐标系。适当的坐标系。ddSt 以甲船最初时刻所在位置为原点以甲船最初时刻所在位置为原点 O，以甲船行驶的，以甲船行驶的正北方向为正北方向为 y 轴方向，以乙船行驶方向为轴方向，以乙船行驶方向为 x 轴方向建立轴方向建立坐标系。坐标系。 由所设坐标系，甲船最由所设坐标系，甲船最初时刻位于原点初时刻位于原点 O，乙船最，乙船最初时刻所在位置为初时刻所在位置为 C 点。点。甲船行驶方甲船行驶方向向 乙船行驶方向乙船行驶方向C10 设设 t 小时后，甲船行驶了小时后，甲船行驶了y( km )到达到达 A 点，乙船行点，乙船行驶了驶了 x( km )到达到达 B 点，甲乙两船的距离为点，甲乙两船的距离为 S，则，则 S , ,x , ,y 都是时间都是时间 t 的函数，即有的函数，即有 OA = y = y( t )， OB = x = x( t )， AB = S = S( t ) 由条件有由条件有CB SS t10A 22 10.S txy