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1、第七章 波动学基础 中国石油大学远程与继续教育学院 第七章 波动学基础波动是一种重要而普遍的物质运动形式,是由振动在空间的传播过程形成的。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波。本章主要介绍机械波的形成,波函数和波的能量,惠更斯原理及其在波的衍射、反射和折射等方面的应用,波的干涉现象和驻波以及多普勒效应。7-1 机械波的产生和传播一、常见机械波现象1、水面波。把一块石头投在静止的水面上,可见到石头落水处水发生振动,此处振动引起附近水的振动,附近水的振动又引起更远处水的振动,这样水的振动就从石头落点处向外传播开了,形成了水面波2、绳波。绳的一端固定,另一端用手拉紧并使之上下振动,这端的振动引起邻近
2、点振动,邻近点的振动又引起更远点的振动,这样振动就由绳的一端向另一端传播,形成了绳波3、声波。它的振动引起附近空气的振动,附近空气的振动又引起更远处空气的振动,这样振动就在空气中传播,形成了声波二、机械波产生的条件1、波源。如上述水面波波源是石头落水处的水;绳波波源是手拉绳的振动端;声波波源是音叉。2、传播介质。如:水面波的传播介质是水;绳波的传播介质是绳;声波的传播介质是空气。说明:波动不是物质的传播而是振动状态的传播。三、横波与纵波1、横波:振动方向与波动传播方向垂直。如绳波。(7-1-1横波.swf)2、纵波:(1)气体、液体内只能传播纵波,而固体内既能传播纵波又能传播横波。(2)水面波
3、是一种复杂的波,使振动质点回复到平衡位置的力不是一般弹性力,而是重力和表面张力。(3)一般复杂的波可以分解成横波和纵波一起研究。(7-1-2纵波.swf)四、波的几何描述1、波线:沿波传播方向带箭头的线。2、同相面(波面):振动位相相同点连成的曲面。同一时刻,同相面有任意多个。3、波阵面(或波前):某一时刻,波源最初振动状态传播到的各点连成的面称为波阵面或波前,显然它是同相面的一个特例,它是离波源最远的那个同相面,任一时刻只有一个波阵面。(或:传播在最前面的那个同相面)(见图7-4)4、平面波与球面波(1)平面波:波阵面为平面。(7-1-3波阵面1.swf)(2)球面波:波阵面为球面。(7-1
4、-4波阵面2.swf)*:在各向同性的介质中波线与波阵面垂直。7-2 平面简谐波的波函数一、机械波的基本概念1、波长波长:同一波线上位相差为的二质点间的距离(即一完整波的长度)。在横波情况下,波长可用相邻波峰或相邻波谷之间的距离表示。图7-5在纵波情况下,波长可用相邻的密集部分中心或相邻的稀疏部分中心之间的距离表示。2、周期波的周期: 波前进一个波长距离所用的时间(或一个完整波形通过波线上某点所需要的时间)波动频率:单位时间内前进的距离中包含的完整波形数目。可有 (7-1)说明:由波的形成过程可知,波源振动时,经过一个振动周期,波沿波线传出一个完整的波形,所以,波的传播周期(或频率)= 波源的
5、振动周期(或频率)。由此可知,波在不同的介质中其传播周期(或频率)不变。3、波速波速:某一振动状态在单位时间内传播的距离(单位时间内波传播的距离)。 (7-2)对弹性波而言,波的传播速度决定于介质的惯性和弹性,具体地说,就是决定于介质的质量密度和弹性模量,而与波源无关。横波在固体中传播速度为:纵波速度为:(液、气、固体中)对大多数金属,式中 :固体切变弹性模量 :介质的体积弹性模量:杨氏弹性模量 :介质质量密度注意:波速与质点振动速度是不同的物理量。二、简谐波的定义一般地说,介质中各质点振动是很复杂的,所以由此产生的波动也是很复杂的,但是可以证明,任何复杂的波都可以看作是由若干个简谐波叠加而成
6、的。因此,讨论简谐波有着特别重要的意义。1、简谐波:当波源作谐振动时,介质中各点也都作谐振动,此时形成的波称为简谐波。又叫余弦波或正弦波。波面为平面的简谐波称为平面简谐波,以下所讨论的就是这种波。(7-2-1波的图象.swf)2、简谐波的波函数:设任一质点坐标为,时刻位移为,则关系即为波动方程,也称为波函数。三、平面简谐波的波函数谐振动沿x正方向传播,与x轴垂直的平面均为同相面,任一个同相面上质点的振动状态可用该平面与x轴交点处的质点振动状态来描述,因此整个介质中质点的振动研究可简化成只研究x轴上质点的振动了。设原点处的质点振动方程为 式中,为振幅,为角频率,称为初相。设振动传播过程中振幅不变
7、(即介质是均匀无限大,无吸收的)为了找出波动过程中任一质点任意时刻的位移,我们在ox轴上任取一点p,坐标为,显然,当振动从o处传播到p处时,p处质点将重复o处质点振动。振动从o传播到p所用时间为,所以,p点在时刻的位移与o点在时刻的位移相等,由此时刻p处质点位移为 (7-3)同理,当波沿x负方向传播时,时刻p处质点位移为 (7-4)利用 由式(7-3)、(7-4)有 (7-5)式(7-5)中,“-”表示波沿x正方向传播;“+”表示波沿x负方向传播。式(7-5)称为平面简谐波的波函数。根据位相(或)关系,式(7-5)又可化为 (7-6)注意:原点处质点的振动初相不一定为0;波源不一定在原点,因为
8、坐标是任取的。四、波函数的物理意义在波动表达式中含有 x 和 t 两个自变量,即各质元振动时的位移 y 是相应质元在介质中处于平衡位置时的坐标 x 和振动时间t 的二元函数:,它描述了t 时刻经过 x 点处的波。在波传播时, 的变化由x 和t 决定。为了进一步了解上述波动表达式的意义,我们来分析 x 和 t 变化时的情形。(1)当一定时(即波线上的某一点),则y仅为时间t的函数,此时,波函数表示的是距原点o为x处的质点在不同时刻的位移,即该质点做简谐运动的位移 时间曲线,如图7-7所示。图7-7图7-8(2)当t一定时,ox轴上所有质点的位移y仅为x的函数,此时,波函数表示了给定时刻各质点的位
9、移分布情况。以y为纵坐标,x为横坐标,可得如图7-8所示的不同时刻的y-x曲线,该曲线也叫波形图。从波形图可以看出,经过一个周期的时间,波向前传播了一个波长的距离。 (3)当t和x都变化时,波函数就表达了所有质点位移随时间变化的整体情况。(7-2-2 波函数意义.swf)例7-1:横波在弦上传播,波函数为 (SI)求:(1)(2)画出时波形图。解:(1) 此题波函数可化为由上比较知: 另外:求可从物理意义上求(a)=同一波线上位相差为的二质点间距离设二质点坐标为x1、x2(设x2 x1),有,得(b)=某一振动状态在单位时间内传播的距离。设时刻某振动状态在处,时刻该振动状态传到处,有,得(2)
10、一种方法由波形方程来作图(描点法),这样做麻烦。此题可这样做:画出时波形图,根据波传播的距离再得出相应时刻的波形图(波形平移)。平移距离 图7-10例7-2:一平面简谐波沿x正方向传播,波速为,在传播路径的A点处,质点振动方程为 (SI),试以A、B、C为原点,求波函数。解:(1),以A为原点,波动方程为 (SI)(2)以B为原点 (SI) (B处质点初相为)波函数为:即 (SI)(3)以C为原点 (SI)(C处初相为)波动方程为:即 (SI)强调:建立波函数的程序 位相中加入的含义例7-3:一连续纵波沿+x方向传播,频率为,波线上相邻密集部分中心之距离为24cm,某质点最大位移为3cm。原点
11、取在波源处,且时,波源位移=0,并向+y方向运动。求:(1)波源振动方程;(2)波动方程;(3)时波形方程;(4)处质点振动方程;(5)与处质点振动的位相差。解:(1)设波源波函数为可知: 由旋转矢量知: (SI)(2)波动方程为: (SI)(3)时波形方程为: (SI)(4)处质点振动方程为 (SI)(5)所求位相差为:,x1处质点位相超前。强调:波源初相不一定为零 的含义例7-4:一平面余弦波在时波形图如7-11所示。图7-11(1)画出时波形图;(2)求o点振动方程;(3)求波函数。解:(1)时波形图即把时波形自-X方向平移个周期即可。(2)设o处质点振动方程为可知: 时,o处质点由平衡
12、位置向下振动,由旋转矢量图知, (3)波动方程为:即 注意:由波形图建立波函数的程序。7-3 平面简谐波的波动方程为了从动力学角度研究波的传播规律,这里假设一列平面纵波沿横截面为s、密度为r的均匀直棒无吸收地传播,取棒沿x轴,并将此波的波函数一般地表示为。可以证明,此波的波动方程可以表示为 (7-7)这就是纵波的波动方程。这个方程式虽然是从均匀直棒中推出的,但适用于一般的固体弹性介质。对于横波波动方程可以表示为 (7-8)上式就是横波的波动方程,它适用于能够传播横波的一切弹性介质。在推导波动方程(7-7)和(7-8)时,只是区别了波速不同的纵波和横波,至于方程(7-7)适用于何种纵波,方程(7
13、-8)适用于何种横波,振幅多大、频率多高,均未涉及。既然如此,平面简谐波波函数 必定是波动方程(7-7和(7-8)的解。先看一下平面简谐纵波的情况。将该波函数对时间t求二阶偏导数,得 再将同一波函数对坐标x求二阶偏导数,得将以上两式代入波动方程(7-7),即得 ,考虑到,于是就得到纵波波速的表达式.从上面的讨论中我们已经看到,在波动方程 (7-7)和(7-8)中, 项前的系数就是波速的平方,于是我们可以将波动方程(7-7)和(7-8)统一而写为 (7-9)这就是波动方程的一般形式。7-4波的能量波的传播过程就是振动的传播过程。波到哪里,哪里的介质就要发生振动,因而具有动能;同时由于介质元的变形
14、,因而具有势能,因此波传到哪里,哪里就有机械能。这些机械能来自于波源。可见,波的传播过程既是振动的传播过程,又是能量传递过程。在不传递介质的情况下而传递能量是波动的基本性质。一、波的能量下面以简谐纵波在一棒中沿棒长方向传播为例,推导出波的能量公式。如图7-12所示,取x轴沿棒长方向,设波动方程为图7-12在波动过程中,棒中每一小段将不断地压缩和拉伸。 在棒上任取一体积元BC,体积,棒在平衡位置时,B、C坐标分别为,即BC长为。设棒的横截面积为,质量密度为,体积元能量为动能设时刻,A、B端位移分别为、,体积元伸长量为。设在体积元端面上由于形变产生的弹性恢复力大小为,可知,协强为,协变为,由杨氏弹
15、性模量定义有: (为杨氏弹性模量)按胡克定律,在弹性限度内弹性恢复力值为 由上二式有: 应写成,可有 可得 (7-10)讨论:任一时刻体积元动能与其势能总是相等,波动中体积元的能量与单一谐振动系统的能量有着显著的不同。在单一谐振动的系统中,动能和势能相互转化,动能最大时,势能最小,势能最大时,动能最小,系统机械能守恒。在波动情况下,任一时刻任一体积元的动能与势能总是随时间变化的,变化是同步的,值也相等,这说明体积元总能量不能为常数,即能量不守恒(体积元)波动中体积元能量不守恒原因:每个体积元都不是独立地做谐振动,它与相邻的体积元间有着相互作用。因而相邻体积元间有能量传递,沿着波传播方向,某体积
16、元从前面介质获得能量,又把能量传递给后面介质,这样,通过体积元不断地吸收和不断传递能量,波动是能量传递的一种形式。波动的能量密度:单位体积内波动能量。可知,是的函数。平均能量密度: (7-11)二、能流密度如上所述,波的传播过程就是能量传播过程,因此可引进能流和能流密度概念。1、平均能流定义:单位时间内通过某一面积的能量称为能流。如图7-13所示,设为介质中垂直于波传播方向的一面积,图7-13通过的能流=以为底为高的柱体内的能量。这体积内能量是变化的。可用平均值来表示。定义:单位时间内通过某一面积的平均能量称为平均能流。由上可知,通过的平均能流为=平均能流密度柱体体积 (7-12)式中: 为平
17、均能量密度为波速为面积2、能流密度定义:通过垂直于波传播方向单位面积上的平均能流称为能流密度或波的强度。 (7-13)能流密度越大,单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积的能量越多,波就越强,所以能流密度是波的强弱的一种量度,因而也称为波的强度。例如声音的强弱决定于声波的能流密度(声强)的大小;光的强弱决定于光波的能流密度(称为光强度)的大小。 由于波的强度与振幅有关,因此当平面简谐波在介质中传播时,若介质是均匀的,且不吸收波的能量,则其振幅将保持不变。例7-5:一简谐空气波,沿直径为的圆柱形管传播,波的强度为,频率为,波速为。求:(1)波的平均能量密度和最大能量密度;(2)每两个相邻同相面
18、间的波中含有的能量。解:(1) 能量密度为 (2)题中相邻同相面间波含能量为 7-5波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理图7-14由于介质中各点间有相互作用,波源振动引起附近各点振动,这些附近点又引起更远点的振动,由此可见,波动传到的各点在波的产生和传播方面所起的作用和波源没有什么区别,都是引起它附近介质的振动,因此波动传到各点都可以看作是新的波源。有一任意形状的水波在水面上传播,有一障碍物上有小孔,小孔的线度与波长相比甚小,这样就可以看见,穿过小孔的波的圆形波,圆心在小孔处,这说明波传播到小孔后,小孔成为波源。惠更斯分析和总结了类似的现象,于1690年提出了如下的原理。 惠更斯原理:介质中波传
19、播到的各点,都可以看作是发射子波的波源,而其后任意时刻,这些子波的包络面就是新的波前(波阵面)。说明:惠更斯原理指出了从某一时刻出发去寻找下一时刻波阵面的方法。惠更斯原理对任何介质中的任何波动过程都成立。(无论是均匀的或非均匀的,是各向同性的或是各向异性的,无论是机械波还是电磁波,这一原理都成立。)惠更斯原理并不涉及波的形成机制。惠更斯原理并没有说明各子波在传播中对某一点振动究竟有多少贡献。用惠更斯原理能够定性地说明衍射现象。但它不能定量解释波的衍射现象,也没有说明子波是否向后传播的问题。衍射现象的定量解释需运用惠更斯-菲涅尔原理。利用惠更斯原理可以由已知的波前通过几何作图方法确定下一时刻的波
20、前,从而确定波的传播方向。例如当波在均匀的各向同性介质中传播时,用上述作图法求出的波前的几何形状总是保持不变的。(7-5-1惠更斯原理.swf)二、波的衍射现象从日常生活中观察到,水波在水面上传播时可以绕过水面上的障碍物而在障碍物的后面传播,在高墙一侧的人可以听到另一侧人的声音,即声波可以绕过高墙从一侧传到另一侧,这些现象说明,水波与声波在传播过程中遇到障碍物时(即波阵面受到限制时),波就不是沿直线传播,它可以达到沿直线传播所达不到的区域。这现象称为波的衍射现象或绕射现象。简单地说,波遇到障碍物后偏离直线传播的现象即为衍射现象。下面用惠更斯原理说明水波的衍射现象。如图7-15所示,水面上障碍物
21、为有一宽缝,缝的宽度大于水波波长。用平行于波阵面的棒振动产生平行水子波。当水波到达障碍物时,波阵面在宽缝上的所有点都可以看作发射子波的波源。这些子波在宽缝的前方的包迹就是通过缝后的新的波阵面。从图上看,新波阵面(或波前)不是直线(波阵面与底面交线),只是中间一部分与原来的波阵面平行,在缝的边缘地方波阵面发生了弯曲,这说明水波绕过缝的边缘前进。衍射现象显著与否,是和障碍物(缝、遮板等)的大小与波长之比有关的,若障碍物的宽度远大于波长,衍射现象不明显;若障碍物的宽度与波长差不多,衍射现象就比较明显;若障碍物的宽度小于波长,则衍射现象更加明显。(7-5-2 波的衍射.swf)三、波的反射与折射如果介
22、质是均匀的,波在传播途中波速不变,因此波的传播方向是不会改变的。而当波从一种介质传到另一种介质时,波速在两种介质的分界面上要发生突变。结果,在波速突变的分界面上,波的传播方向要发生改变,入射波的一部分被反射,形成反射波;另一部分穿过分界面透射入第二种介质后,改变了传播方向,形成折射波。上述现象分别叫做波的反射和折射。根据实验结果,可得到波动的反射定律和折射定律。现在我们应用惠更斯原理来解释波的反射和折射。1、波的反射(7-5-3 波的反射.swf)设有平面波向着两种介质(和)的分界面以波速速度传播。当波传播到分界面上后,将发生反射,即波从分界面上返回到原来的介质中传播。应用惠更斯原理可以确定反
23、射波的波面及波线,因而确定了反射波的传播方向。声波在传播过程中遇到障碍物(其线度大于声波波长)时,将按照波的反射定律,发生反射。例如,人们在山区大声说话时,声波在远处的高山反射,使人们听到回声;又如,下雷雨时,雷声经天空的浓密云层多次反射,回声不绝,故可听到雷声轰鸣。而在室内有人讲话时,由于声源离墙壁不远,原声波与反射声波传入听者耳朵的时间相差甚短,听者不易感受两波到达的前后,故察觉不到回声。根据实验,可得到反射定律:(1)反射线、入射线和界面的法线在同一平面内;(2)反射角等于入射角,即 。2、波的折射(7-5-4 波的折射.swf)当入射波在两种介质的分界面上发生反射的同时,另一部分入射波
24、从一种介质透入另一种介质。由于在两种不同的介质中,波速是不相同的,因此,在分界面上要发生折射现象,即波的传播方向有所偏折。应用惠更斯原理也可以方便地确定折射波的波面及波线,据此可确定折射波的传播方向。应该指出,当波从波速大的介质折入波速小的介质中时,折射线折向法线;当波从波速小的介质折入波速大的介质中时,折射线折离法线。 波的反射和折射,在日常生活和生产中应用甚广。例如,在地震勘探中,由爆破(即人为制造的波源)激发的地震波在地壳中传播时,根据所产生的反射和折射情况,可以勘探各种矿藏、储油、气层或地层构造。根据实验,折射定律为:(1)折射线、入射线和界面法线在同一平面内;(2)入射角的正弦与折射
25、角的正弦之比,等于波在第一种介质中的波速与在第二种介质中的波速之比,即7-6波的干涉一、波的叠加原理(7-6-1波的叠加.swf)现在我们来讨论两个或两个以上的波源发出的波在同一介质中传播情况。把两个小石块投在很大的静止的水面上邻近二点,可见从石头落点发出二圆形波互相穿过,在他们分开之后仍然是以石块落点为中心的二圆形波。说明了他们各自独立传播。当乐队演奏或几个人同时讲话时,能够辨别出每种乐器或每个人的声音,这表明了某种乐器和某人发出的声波,并不因为其他乐器或其他人同时发声而受到影响。通过这些现象的观察和研究,可总结出如下的规律:几列波在传播空间中相遇时,各个波保持自己的特性(即频率、波长、振动
26、方向、振幅不变),各自按其原来传播方向继续传播,互不干扰。在相遇区域内,任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动的位移的矢量和。这个规律称为波的叠加原理或波的独立传播原理。二、波的干涉(7-6-2波的干涉.swf)一般地说,频率不同、振动方向不同的几列波在相遇各点的合振动是很复杂的,叠加图样不稳定;我们来研究最简单而又最重要的情况。产生干涉的条件:(1)振动方向相同(2)频率相同(3)位相差恒定这样两列波叠加问题。当两列波在空间中某点相遇时,各个波在该点引起的振动位相是一定的(当然在不同点的这个位相可能不同),因此该点的合振动的振幅是恒定的。由此可知,如果两列波在空间某点相互加强(即合
27、振幅最大),则这些点上始终是相互加强的,如果两列波在空间中某些点相互减弱(即合振幅最小),则在这些点上始终是相互减弱,可见叠加图样是稳定的。这种现象称为波的干涉现象,相应的波称为相干波,相应的波源称为相干波源。干涉加强与减弱的条件设有相干波源、,其振动方程为 如图7-16所示,由波的叠加原理知,两波在p点引起的合振动=这两列波单独存在时在p点引起位移的代数和(在此振动方向一致)此二波频率相同、而又在同一介质中传播(即波速相同),二波波长相同,设为。此二波在p点引起的振动分别为图7-16 p点合成振动: (7-14)对同方向、同频率振动合成,结果为 其中:=在p处二振动的相位差 (很重要)讨论:
28、 时,(振幅最大,即振动加强) 时,(振幅最小,即振动减弱)(=波源初相相同)时, 时,(振动加强) 时,(振动减弱);表示二波源到考察点路程之差,称为波程差。由上可知,时,波程差等于半波长的偶数倍时,干涉加强,波程差等于半波长奇数倍时,干涉减弱。说明:干涉加强与减弱,不仅与波源振动初相差有关,而且也与波程差 引起的位相差有关。例7-6:如图7-17所示,A、B为同一介质中二相干波源,其振幅均为,频率为。A处为波峰时,B处恰为波谷。设波速为。试求p点干涉结果。解:p点干涉振幅为由题意知:(B比A位相落后)图7-17 即干涉静止不动。强调:干涉加强与减弱条件。例7-7:如图7-18所示,A、B为
29、同一介质中二相干波源,振幅相等,频率为,为B波峰时,A恰为波谷。若A、B相距,波速为。求:A、B连线上因干涉而静止的各点的位置。图7-18解:选取坐标如图7-18所示。(1)A、B间情况。任一点p,两波在此引起振动位相差为 当 时坐标为的质点由于干涉而静止。(二振幅相同),即 (2)在A左侧情况,对任一点Q,两波在Q点引起振动位相差为:可见,A外侧均为干涉加强,无静止点。(3)在B点右侧情况。对任一点S,两波在S点引起的振动位相差为可见,在B右侧不存在因干涉静止点。7-7 驻 波一、驻波的定义1、实验(7-7-1驻波实验.swf)我们可以在一根紧张的弦线上观察到驻波。将弦线的一端系于电动音叉的
30、一臂上,弦线的另一端系一砝码,砝码通过定滑轮对弦线提供一定的张力,刀口的位置可以调节。当音叉振动时,在弦线上激发了自左向右传播的波,此波传播到固定点时被反射,因而在弦线上又出现了一列自右向左传播的反射波。这两列波是相干波,必定发生干涉,于是在弦线上就形成了一种波形不随时间变化的波,这就是驻波。2、定义两列振幅相同的相干波,在同一直线上反向传播时叠加的结果称为驻波。说明:驻波是干涉的一种特殊情况。(7-7-2驻波的形成.swf)二、驻波方程以纵波为例,设有两相干波叠加后成驻波,由驻波定义知 他们分别沿方向传播,相干波频率相同又在同一介质中传播(即波速相同),。另外,为方便,在此取初相(处)=0驻
31、波方程为:即 (7-15)如上可知,驻波方程是2个因子和的乘积。讨论:(7-7-3驻波分解.swf)由驻波方程知,给定时,则驻波方程变成了坐标为处质点的振动方程,振幅为,位相为。不同点振幅可能不同。波节坐标:当振幅时,对应的质点始终不动,这些点称为波节。位置如下式决定: 相邻波节距离=波腹:当时,对应的质点振动最强,这些点称为波腹,其位置为 即 相邻波腹距离=驻波中各点位相 对应的各点振动位相均为 对应的各点振动位相均为) 同号:位相相同异号:位相相反由驻波方程可画出波形图:(如:)相邻波节间同号,相邻波节间各点位相相同;一波节两边异号,波节两边质点位相相反由图7-20可知,相邻波节间质点同步
32、一齐振动,波节两边质点反方向振动。驻波中,分段振动,每段间为一整体同步振动。图7-20说明:驻波每时都有一定波形,波形不传播驻波是一种特殊形式的振动,它不传播能量。三、进一步讨论的两个问题1、半波损失(7-7-4 半波损失.swf)在音叉实验中,波是在固定点处反射的,在反射处形成波节。如果波是在自由端反射,则反射处为波腹,一般情况下,两种介质分界面处形成波节还是波腹,与波的种类、两种介质的性质及入射角有关。当波从一种弹性介质垂直入射到另一种弹性介质时,如果第二种介质的质量密度与波速之积比第一种大,即,则分界面出现波节。第一种介质称波疏介质,第二种介质称波密介质。因此,波从波疏介质垂直入射到波密
33、介质时,反射波在介质分界面处形成波节,反之,波从波疏介质反射回到波密介质时,反射波在反射面处形成波腹。在反射面处形成波节,说明入射波与反射波位相相反,反射波在该处位相突变。在波线上相差半个波长的两点,其位相差为,所以,波从波密介质反射回到波疏介质时,相当于附加(或损失)了半个波长的波程。通常称这种位相突变的现象叫做半波损失。 波密介质波疏介质2、形成驻波的条件(7-7-5简正模式.SWF)对于两端固定的弦线,不是任何频率(或波长)的波都能在弦上形成驻波,只有当弦长等于半波长整数倍时才有可能。即 或: (:波速)7-8 多普勒效应一、多普勒效应(7-8-1多普勒效应.swf)图7-21当波源和观
34、察者都相对于介质静止时,观察者所观测到的波的频率与波源的振动频率一致。当波源和观察者中之一,或两者以不同速度同时相对于介质运动时,观察者所观测到的波的频率将高于或低于波源的振动频率,这种现象称为多普勒效应。多普勒效应在我们日常生活中经常可以遇到。例如,当火车由远处开来时,我们所听到的气笛声高而尖,当火车远去时气笛声又变得低沉了。图7-21是振动源向右运动时产生的水波多普勒效应。二、多普勒效应中频率表达式为简单起见,我们仅对观察者与声源沿同一直线运动的特殊情况,来讨论声波的多普勒效应。如图7-22所示。为波源,运动速度为,为波在介质中传播速度,为观察者,为观察者速度。设为、相对静止时测得的频率,
35、为、相对运动时测得的频率。分几种情况讨论。图7-221、相对静止:此时,单位时间内发出的波长个数等于观察者在单位时间内接收到的波长个数。即有 (7-16)2、不动,动:(7-8-2多谱勒效应1.swf)如图7-23所示,观察者以速率向着波源运动。这时观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目要比他静止时多。在单位时间内他除了观测到由于波以速率u传播而通过他的u/l个波以外,还观测到由于他自身以速率运动而通过他的/l个波。所以,观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目为图7-23 (7-17)显然,当观察者以速率离开静止的波源而运动时,在单位时间内他所观测到的完整波的数目要比他静止时少。因此,他所
36、观测到的完整波的数目为 (7-18)3、静止,动:(7-8-3多谱勒效应2.swf)现在假设观察者相对于介质静止,而波源以速率向着观察者运动。如图7-24所示,这时在波源的运动方向上,向着观察者一侧波长缩短了,而背离观察者一侧波长伸长了。这样,观察者所观测到的波的频率为 (7-19)显然,当波源以速率vs离开观察者而运动时,观察者所观测到的波的频率应为 (7-20)4、都运动:把以上假设的两种情况综合起来,即观察者以速率Vo、波源以速率Vs同时相对于介质运动,观察者所观测到的频率可以表示为. (7-21) 此式可把上面所有情况统一起来。式中的符号是这样选择的:分子取正号、分母取负号对应于波源和
37、观察者沿其连线相向运动;分子取负号、分母取正号对应于波源和观察者沿其连线相背运动。值得注意的是,无论观察者运动还是波源运动,虽然都能引起观察者所观测到的波的频率的改变,但频率改变的原因却不同:在观察者运动的情况下,频率的改变是由于观察者观测到波数增加或减少;在波源运动的情况下,频率的改变是由于波长的缩短或伸长。三、多普勒效应的应用根据多普勒效应制成的雷达系统可以十分准确而有效地跟踪运动目标(如车辆、舰船、导弹和人造卫星等)。利用超声波的多普勒效应可以对人体心脏的跳动以及其他内脏的活动进行检查,对血液流动情况进行测定等。多普勒效应不仅仅适用于声波,它也适用于所有类型的波形,包括光波。科学家Edw
38、in Hubble使用多普勒效应得出宇宙正在膨胀的结论。他发现远处银河系的光线频率在变高,即移向光谱的红端。这就是红色多普勒频移,或称红移。若银河系正移向他,光线就成为蓝移。在移动通信中,当移动台移向基站时,频率变高,远离基站时,频率变低,所以我们在移动通信中要充分考虑多普勒效应。当然,由于日常生活中,我们移动速度的局限,不可能会带来十分大的频率偏移,为了避免这种影响造成我们通信中的问题,我们不得不在技术上加以各种考虑。内容概要一、理论框架和逻辑关系简谐振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。产生机械波的条件是:(1)要有波源;(2)要有弹性媒质。机械振动是波源的振动状态在弹性媒质中的传播。本章
39、主要研究平面简谐波的传播。研究平面简谐波的传播核心是要寻找平面简谐波表示方法,特别是数学表示方法平面简谐波的波函数,并根据波函数研究波的特征和作用。在有平面简谐波传播的媒质中各点都在作简谐振动。所以,波函数是能够表示媒质中任意点的振动状态的振动表达式。平面简谐波的传播是振动状态的传播,而相位是表示振动状态的物理量。所以,波动是相位的传播。寻找波函数首先要分析相位传播的特点。平面简谐波的传播特点是:(1)平面简谐波的波面同相面是平面。波线和波面正交,与每一个波面有唯一的交点。所以波线上任意的振动表达式就是平面简谐波的波函数。(2)沿波传播方向(沿波线方向)各点的振动相位依次落后,而波速是相位传播
40、的速度,所以只要已知波线上某一点的相位,通过任意点与该点相位的比较即可求出任意点的相位。(3)在忽略媒质的吸收作用的情况下,媒质中各点的振幅相等。所以,波线上各点的振幅与已知振动表达式的点的振幅相等。根据上述分析,确定平面简谐波的波函数的条件是:(1)已知波线上某一点的振动表达式:(2)已知平面简谐波的波度 p 设点的坐标为,点的振动表达式为;平面简谐波沿轴正方向传播,速度为,如图所示。波线上任意点的坐标为。则点的振动比点落后的时间为,点比点落后的相位为,点的相位是。点的振幅为,所以,点的振动表达式为也可以根据点比点落后的相位是:点到点的距离()中包含几个波长(),就落后多少个。即。如果已知原
41、点处的振动表达式为,上述格式中的。利用波函数可以计算各质点的动能势能 总能量 以及能量密度 由上面四式可以看出,波动也是能量传播的过程。能量密度在一个周期内的平均值 为了表示波传播能量的能力,定义单位时间通过垂直波传播方向单位面积的平均能量称为能流密度。能流密度 根据能量守恒可以导出球面波的振幅与质元到点波源的距离成反比。所以求面简谐波的波函数可以表示为 若空间有两列或两列以上的波同时传播,它们遵守波的叠加原理。两列同振动方向、同频率、在相遇点有恒定的相位差的波会发生波动特有的现象波的干涉。干涉加强(相长干涉)的条件是:。干涉减弱(相消干涉)的条件是:。其中相位差中是相干波源的相位差,是因传播距离不同而造成的相位差。如果相干波源是同相位的,干涉加强的条件是:,或。干涉减弱的条件是:,或 驻波是
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