三重积分概念和计算PPT学习教案

1、会计学1三重积分概念和计算三重积分概念和计算第1页/共43页.叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv,.iiiivxyz 在直角坐标系中，如果用三族分别平行于坐标面的平面来划分则直角直角坐标坐标系系下下三重积三重积分分记为记为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz第2页/共43页x0z yabcdz=gz=eNMPzyxzyxfIddd ),( =a ,b ; c ,d ; e ,gI = gezzyxfd),(积分区域是长方体积分区域是长方体. D同理，也有其同理，也有其它它 积分顺序积分顺

2、序. Dyxdddd( , , )dbdgacexyf x y zzdd( , , )dbgdaecxzf x y zydd( , , )ddgbceayzf x y zx第3页/共43页x0z yz2(x,y) 为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体I = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf DyxddPNM.积分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 Dz1(x,y)zyxzyxfIddd ),( 第4页/共43页x0z yz2(x,y)I =D积分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体z1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( ),(),(d),(yxzyxzz

3、zyxf Dyxdd这种计算方法叫投影法这种计算方法叫投影法（先一后二法）（先一后二法） 第5页/共43页注意注意1:zS这种累次积分是平行于轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面相交不多于两点情形注意注意2： 三重积分的累次积分的积分次序除了先对z、后对y、再对x外，还有其他次序。累次积分次序的选择要考虑几何体的形状和被积函数的特性（主要是几何体的形状，即往哪个坐标面投影利于解题）。一般的，若给定积分次序时： 1、积分次序为 zyx； 投影到xoy面； 2、积分次序为 yzx； 投影到xoz面； 3、积分次序为 xy z； 投影到yoz面。第6页/共43页z =0y = 0 x =00y

4、 x ：平面平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域所围成的区域 . 先画图先画图x0z y1121Dxy 是是曲曲顶顶柱柱体体 Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成：上上顶顶yxz21 ：下底下底z = 0121 yxxzyxx21021 010ddd481 .x + 2y + z =1DxyzyxxIddd yxDzxyxxy210dddI =x+2y =1第7页/共43页 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.0y x6241 找出上顶、下底及投

5、影区域找出上顶、下底及投影区域 .2 画出投影区域图画出投影区域图.Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成围成.yxz 6z = 0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy yxDzz , y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd. 是是曲曲顶顶柱柱体体 ：上上顶顶：下底下底zyxz , y,xfIddd )( 计计算算第8页/共43页666x+y+z=63x+y=62例例2.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x

6、+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.第9页/共43页666x+y+z=63x+y=62x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2.第10页/共43页666x+y+z=63x+y=62x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2.第11页/共43页3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42zyxz

7、 , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2.第12页/共43页3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2.第13页/共43页z = 0y = 042x+y+z=6x0z y666zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y

8、=12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.例例2.第14页/共43页42x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd.D0y x624D2 6 4 63002 3dd( , , )dyx yyIyxf x y zz .例例2.第15页/共43页0y x 2 xy 1 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy:x

9、z 2 z = 0 xDzz , y,xfyxIxy2 0)d(dd xxzzyxfyx2 002 0d),(dd围成围成 2 , 0 , xyxy。Dxy当当 f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ?21162 。是是曲曲顶顶柱柱体体 ：上上顶顶：下底下底 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : I =试计算：试计算：？zyxz , y,xfIddd )( 计计算算第16页/共43页y2=xxyzo 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )(

10、计计算算例例3.第17页/共43页 zx2 2 2 y2=xxyzo 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算例例3.第18页/共43页z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxIxxd ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算D例例3.第19页/共43页 所所围围成成的的区区域域 与与 : z

11、,yxxyzDxy:xyz 围围成成 yx,y,xz =00y x11 xyDzz , y,xfyxIxy 0)d(dd xyxzzyxfyx 01 01 0d),(dd。Dxy：上顶上顶：下底下底是是曲曲顶顶柱柱体体 双曲抛物面双曲抛物面zyxz , y,xfIddd )( 计计算算第20页/共43页1x+ y=1yozx1z=xy 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算例例4.4.第21页/共43页z =01x+ y=1ozx1yz=xy 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算

12、算例例4.4.第22页/共43页11z =0ozxx+ y=1y Dxyzz ,y,xfyxI0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=xy 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算例例4.4.第23页/共43页解解: 由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx第24页/共43页故故 ： 22222221111xzyxxyxx,22222112112( , , ).xxxxyIdxdyf x y z dz第25页/共43页解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图

13、， 1101222),(yxxdzzyxfdydxI. 220( , , )xyDIdxdyf x y z dzoxy12xy x第26页/共43页 x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其其中中 c1c2z Dz截面法截面法第27页/共43页 zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其其中中 c1c2 3. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDz截面法截面法x0z y第28页/共43页 zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,

14、x )()(21 其其中中 c1c2 I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(3. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDz截面法截面法x0z y第29页/共43页zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其其中中 c1c23. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用） I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(截面法截面法x0z y第30页/共43页z第31页/共43页21( , , )( , , )ccDf x y z dxdydzdzf x y

15、z dxdy12( , , )|( , ),zx y zx yD czc zD设空间有界闭区域设空间有界闭区域 ，其中，其中 是竖标为是竖标为 Z的平面截闭区域的平面截闭区域 得到得到的平面闭区域。的平面闭区域。则有计算三重积分的则有计算三重积分的“先二后一公式先二后一公式”第32页/共43页例例7.1222222的体积求椭球czbyax解解2222221czcxyzabc 由题：dvvcczdcczdz)1 (22czabz而)(d vvccdzczab)1 (22.34abc, 11122222222czbyczaxoxz)(xyyzzdz第33页/共43页解解（一）（一） zdxdydz

16、,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111第34页/共43页 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111投影到投影到yoz面面第35页/共43页zyxzIddd2 所围成的闭区域所围成的闭区域 是由是由 其中其中 1222222 czbyaxx0yzbcaD0 2222221)(czbyax, czc|z , y,x第36页/共43页 cczz d2 zDyxdd2d d dIzx y z

17、 Dz 所围成的闭区域所围成的闭区域 是由是由 其中其中 1222222 czbyax.bczyxzIddd2 cczzczabd)1(222.3154abc =x0yzD0a1)1()1(22222222 czbyczax. 2222221)(czbyax, czc|z , y,xz例例9. 例：例： 计算计算2d d d ;Ixx y z2d d dIyx y z第37页/共43页2V2222 ( ),.Iz dvxyvzzhab计算三重积分，其中由所围例例10 xyzoh分析分析22222( , , ); :0,.f x y zzzvzhzzxyzab首先仅与 有关 同时且用去截截面为椭

18、圆所以可用截面法)(z2dvzvhzdzz02abzzbyzaxz,12222的面积hzdzzI02.414abhhabzdzz02解解第38页/共43页三重积分的定义和计算：三重积分的定义和计算：dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分的两种形式（计算时将三重积分化为三次积分的两种形式）21( , )( , )( , , )dzx yzx yf x y zz 先一后二 Dyxdd( , , )d d df x y zx y z( , )f x y z dxdydz()d dzDf x,y,zx y 先二后一21dccz第39页/共43页oxyabc解法一解法一).()(zVzz得平面去截用 )(zz可求得其面积22)(2zccab)(2dvvzcdz0czdzz02cdzzczcab0222)(2.60302352abcccab练习练习.1: )( ,d:)(2与三坐标面所围由解三重积分用两种积分次序分别求czbyaxvvzvz)(2dzz第40页/共43页oxyabc解法二解法二).()(xyxo