精品课程数字信号处理PPT课件06

1、第第2 2章章 z z变换变换 v z变换的定义、典型序列的变换的定义、典型序列的z变换变换v z变换的收敛域变换的收敛域v z逆变换逆变换v z变换的基本性质变换的基本性质v 拉普拉斯变换、傅里叶变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换与z变换变换v 系统函数系统函数2.5 z2.5 z变换的基本性质变换的基本性质1. 1. 线性线性z z变换是线性变换，满足叠加原理变换是线性变换，满足叠加原理12 ( )( )xxz x nx zrzr12( )( ) yyz y ny zrzr12( )( )( )( ) z ax nby nax zby zrzr2. 2. 位移性位移性 （双边（双边z z变换）

2、变换）若序列若序列 的双边的双边z z变换为变换为12( )( ),xxz x nx zrzr( )x n右移序列的右移序列的z z变换为变换为12()( ),mxxz x nmzx zrzr左移序列的左移序列的z z变换为变换为12()( ),mxxz x nmz x zrzr右移序列的右移序列的z z变换的证明变换的证明证明：证明：()()nnz x nmx nm z令令nmk()( )m kkz x nmx k z( )mkkzx k z( )mzx z3. 3. 序列线性加权（序列线性加权（z z域微分）域微分）若序列若序列 的的z z变换为变换为12( )( ),xxz x nx z

3、rzr( )x n则则 1121dd( )( ),ddxxx zx znx nzzrzrzz 111121d( )d( ) d()d( )1d( )dd()dd()dx zx zzx zx zzzzzzzzzzz 证明：证明：交换求和与求导的次序交换求和与求导的次序12d ( )d( )|ddnxxnx zx n zrzrzz11d ( )d( )()( )( )ddnnnnx zx nzznx n zz z nx nzz 12d ( )( )|dxxx zz nx nzrzrz 所以所以推广推广d( )( )dmmz n x nzx zz 解解例例2.13 2.13 求序列求序列 的的z z

4、变换。变换。 nna u n ( ),nzz a u nzaza 22d( ) d()()nzzazzazaz na u nzzzzaza za4. 4. 序列指数加权（序列指数加权（z z域尺度变换）域尺度变换）若序列若序列 的的z z变换为变换为12( )( ),xxz x nx zrzr( )x n则则12z( )nxxzza x nxrraa( )( )( )nnnnnnzzz a x na x n zx nxaa 证明证明121( )nxxx nxzrzr12z( )nxxzza x nxrraa12( ) nxxax nx azrazr另外另外5. 5. 复序列的共轭复序列的共轭若

5、序列若序列 的的z z变换为变换为12( )( ),xxz x nx zrzr( )x n证明证明则则*12( )()|xxz x nxzrzr*12( )( ) ( )()( )()()|nnnnnxxnz x nx n zx n zx n zxzrzr6. 6. 翻褶序列翻褶序列若序列若序列 的的z z变换为变换为12( )( ),xxz x nx zrzr( )x n则则证明证明21111 ()( )|xxz xnxzzrr11 ()()( )( )()nnnnnnz xnxn zx n zx n zxz112|xxrzr收敛域2111|xxzrr即7. 7. 因果序列因果序列的初值定理

6、的初值定理证明证明若因果序列若因果序列( )0,0 x nn 0nnx zz x nx n z则则(0)lim( )zxx z120( )( )(0)(1)(2)nnx zx n zxxzxzlim( )(0)zx zx8. 8. 因果序列因果序列的终值定理的终值定理若因果序列若因果序列( )0,0 x nn 0nnx zz x nx n z则则1lim ( )lim (1)( )nzx nzx z且且 的极点除在的极点除在z=1z=1可以有一个一阶极点外，其余极点都在单位圆内可以有一个一阶极点外，其余极点都在单位圆内( )x z证明：证明：(1)( )1( )(1)( )nnz x nx n

7、zx zx nx nz1(1)( )nnx nx nz除在除在z=1z=1可以有一个一阶极点外，其余极点都在单位圆内可以有一个一阶极点外，其余极点都在单位圆内( )x z1( )zx z能抵消在能抵消在z=1z=1处的极点，可以取处的极点，可以取 的极限的极限1z1111lim1( )lim(1)( )(1)( )nzznnzx zx nx nzx nx n(0)( 1)(1)(0)(2)(1)(1)( )( )xxxxxxx nx nx1lim ( )( )lim (1)( ) nzx nxzx z( 1)( )xx 0( )x11( )(1)( )nnzx zx nx n z9. 9. 时

8、域卷积定理时域卷积定理12 ( )( )xxx zz x nrzr12( )( )hhh zz h nrzr( )* ( )( )( )z x nh nx z h z则则时域卷积对应时域卷积对应z z变换相乘变换相乘证明：证明：( ) ( )( ) ( )( )( ) ()( )()( )( )( )( )nnnnmnmnmmy zz x nh nx nh n zx m h nm zx mh nm zx m zh zx z h z 解解例例2.16 2.16 设设( )( )nx na u n1( )( )(1)nnh nb u nabu n( )( )* ( )y nx nh n 求求( )

9、 ( )| |zx zz x nzaza( ) ( )| |zazah zz h nzbzbzbzb( )( )( )|zy zx z h zzbzb1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nzy zb u n10. 10. 序列乘积（序列乘积（z z域复卷积定理）域复卷积定理）12 ( )( )xxx zz x nrzr12( )( )hhh zz h nrzr则则111( ) ( )( )d2 jczz x n h nxh v vvv或或 211( ) ( )d2 jczz x n h nx v hvvv11. 11. 帕塞瓦尔（帕塞瓦尔（parsevalparseval）定理

10、）定理其中其中c c：闭合围线，在：闭合围线，在 和和 的公共收敛域内的公共收敛域内( )x v*1()yv122111max,| min,xxyyrvrrr即即12( )( )xxx zz x nrzr12( )( )yyy zz y nrzr11221,1xyxyr rr r若有若有*1*11( )( )( )d2 jcnx n y nx v yvvv则则12 ( )( )xxx zz x nrzr12( )( )yyy zz y nrzr证明：证明：*( )( )( )( )nnz x n y nx n y nz 2*1*1d2 jczx v yvvv*12( )() yyzy nyzr

11、zr1122xyxyr rzr r由于假设条件中有由于假设条件中有1122xyxyr rzr r11221 xyxyr rr r而而z z的收敛域为的收敛域为*( )( )z x n y n在单位圆上收敛在单位圆上收敛所以所以 在收敛域内，在收敛域内，1z*11( )( )( )( )nznzz x n y nx n y nz*( )( )nx n y n 2*1*11d2 jczzx v yvvv 2*1*11d2 jcx v yvvvjve*j*j1( )( )()()d2nx n y nx eye 都绝对可积，即都绝对可积，即 在单位圆上都收敛，在单位圆上都收敛，积分路径选择单位圆积分路径选择单位圆( )( )x ny