第2章投影基本知识

1、第第2章章 投影基本知识投影基本知识第第2章章 投影基本知识投影基本知识2.1 三投影面体系三投影面体系 2.2 点、线、平面、曲面的点、线、平面、曲面的 投影基本规律投影基本规律2.3 基本形体的投影规律基本形体的投影规律第第2章章 投影基本知识投影基本知识2.1 三投影面体系三投影面体系 2.1.1投影法及其分类投影法及其分类 1. 投影法的定义 将投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形称为投影图（投影）；投影法中得到投影的平面称为投影面，如图21、图22所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图21 中心投影法 第第2章章 投影

2、基本知识投影基本知识图22 平行投影法第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2. 投影法的种类 1) 中心投影法 投影线交汇于一点的投影法称为中心投影法，如图21所示。投影线的汇交点称为投影中心。 2) 平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行投影法中，又以投射线与投影面的相对位置不同分为正投影法和斜投影法。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 投射线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法，如图22（a）所示。由此法得到的 投影图称为正投影图（正投影）。 投射线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法，如图22（b）所示。由此法得到的图形，称为斜投影图（斜投影）。 由于正投影法得到

3、的正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性好，作图也比较方便，故在机械工程中广泛应用。因此，本课程主要研究正投影法。今后除特别说明外，所述投影均指正投影。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2.1.2 正投影的特性正投影的特性 正投影具有如下特性： (1) 真实性。当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长），这种投影特性称为真实性。如图23（a）所示。 (2) 积聚性。当物体上的平面（或直线）与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为一条线（或一个点），这种投影特性称为积聚性。如图23（b）所示。 (3) 类似性。当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影

4、的面积变小（或长度变短），但投影的形状仍与原来形状类似，这种投影特性称为类似性。如图23（c）所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识图23 正投影特性第第2章章 投影基本知识投影基本知识 如图24（a）、（b）、（c）所示的三个不同物体向同一投影面正投影后，所得的投影却相同，由此说明，一面正投影是不能唯一确定物体的形状和结构的。为了唯一确定物体的结构形状，需采用多面正投影。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图24 物体的单面正投影 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2.1.3三面投影三面投影 1. 三投影面体系 通常选用三个互相垂直相交的投影面，建立一个三投影面体系，如图25（a

5、）所示。 2. 三视图的形成 如图25（a）所示，将物体正放在三投影面体系中，用正投影法向三个投影面投影，就得到了物体的三面投影。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图25物体的三视图第第2章章 投影基本知识投影基本知识 3. 三面投影体系的展开 为了画图和看图的方便，假想地将三个投影面展开、摊平在同一平面（纸面）上，并且规定：正面V不动；水平面H绕OX轴向下旋转90；侧面W绕OZ轴向右旋转90，如图25（b）所示。 三视图的配置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。如图25（c）所示。 画图时，投影面的边框线和投影轴均不必画出，同时按上述方法展开，即按投影关系配置视图时，

6、也不需要标明视图名称，最后得到的三视图如图25（d）所示。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图25 物体的三视图第第2章章 投影基本知识投影基本知识 4. 视图与物体之间的关系 物体上有上下、左右、前后六个方向的位置关系，如图26（a）所示。而每一个视图只反映四个方向的方位关系，如图26（b）所示。其中，主视图反映了物体的左右、上下之间的方位关系，即反映了物体上的长度和高度；俯视图反映了物体的前后、左右之间的位置关系，即反映物体上的宽度和长度；左视图反映了物体的前后、上下之间的位置关系，即反映了物体上的宽度和高度。如图27所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识图26 方位关系第第2章章

7、 投影基本知识投影基本知识 图27 尺寸关系第第2章章 投影基本知识投影基本知识 5. 三视图之间的投影关系 由上面的讨论可知，在三视图中（图27），主、俯视图同时反映了物体上的长度；主、左视图同时反映了物体上的高度；俯、左视图同时反映了物体上的宽度。同时，三视图又是按上述的规定方法展开的，所以，三个视图之间一定保持有这样的投影关系： 主、俯视图长对正； 主、左视图高平齐； 俯、左视图宽相等。 这个“三等”关系就是物体三视图的投影规律。它们对于物体整体是如此，同时对于物体上的直线和点也都是适用的。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 6. 画三视图举例 下面举例(图28)来说明运用三视图之间的

8、位置关系和投影关系画出三视图的方法和步骤。 (1) 分析物体。分析物体上的面、线与三个投影面的位置关系，再根据正投影特性判断其投影情况，然后综合出各个视图。 (2) 确定图幅和比例。根据物体上最大的长度、宽度和高度及物体的复杂程度确定绘图的图幅和比例。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 (3) 选择主视图的投影方向。以最能反映物体形状特征和位置特征且使三个视图投影虚线少的方向作为正投影方向。 (4) 布图、画底图。画作图基准线、定位线；画三视图底图。从主视图画起，三个视图配合着画图。 (5) 检查、修改底图。 (6) 加深图线，完成三视图。如图28所示。 第第2章章 投影基本知识投影基本知

9、识图28 三视图绘图步骤第第2章章 投影基本知识投影基本知识图28 三视图绘图步骤第第2章章 投影基本知识投影基本知识 画三视图时，作图所需尺寸可在模型（或轴测图）上去量，每个尺寸测量一次就够了。相邻视图之间相应的投影尺寸关系可用丁字尺来保持高相等，用三角板与丁字尺配合起来保持长相等，用分规或作45斜线来保持宽相等。 为了使读者进一步掌握物体三视图的画法，图29（a）、（b）再举两例，希读者仔细体会。第第2章章 投影基本知识投影基本知识图29 模型的三视图举例第第2章章 投影基本知识投影基本知识图29 模型的三视图举例第第2章章 投影基本知识投影基本知识2.2 点、线、平面、曲面的投影基本规律

10、点、线、平面、曲面的投影基本规律 通过上一节的学习及画图实践，可以体会到画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱线是由两个端点决定的。如图210所示。因此，为了迅速而正确地画出物体的视图，还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的投影。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图210 三棱锥的三视图 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2.2.1 点的投影点的投影 如图211（a）所示，设有一空间点A，由点A分别向H、V和W面投影，可得到点A的水平投影a、正面投影a和侧面投影a。图中每两条投影线确定一个平面，它们与三根投影轴分别相交于点ax、ay和a

11、z，以空间点A、三个投影a、a和a以及ax、ay、az和原点O为顶点可构成一个长方体。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图211 点的三面投影 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 将各投影面展开（展开方法同上一节）可得点A的投影图，如图211（b）所示。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称和投射线与投影轴的交点ax、ay、az等，而只画出坐标轴OX、OY、OZ（简称X、Y、Z轴）及点的投影a、a、a，如图211（c）。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 根据上述分析，可以得到点在三面投影体系中的投影规律： (1) 点的正面、水平投影连线垂直于OX轴，即aaOX

12、轴。 (2) 点的正面、侧面投影连线垂直于OZ轴，即aaOZ轴。 (3) 点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aax=aaz=YA。为了表示aax=aaz=YA的关系，常用过原点O的45斜线或以O为圆心的圆弧把水平投影和侧面投影之间的投影连线联系起来，如图211（c）所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 例2.1 已知空间点A（20、10、15），试作它的三面投影图。作图步骤： (1) 如图212所示，在展开的三面投影体系中，由原点O向左沿轴OX量取20 mm得ax，过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向前量取10mm得水平投影a，向上量取15mm得正面投影a。 (2

13、) 过a作OZ轴的垂线交OZ轴于az，在垂线上自az向前量取10mm得a（a也可由a通过作圆弧或45斜线求得）。则a、a、a即为A点的三面投影，可记为A（a、a、a）。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图212 根据坐标作点的三面投影 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 例2.2 如图213所示，已知点B的正面投影b和水平投影b，求该点的侧面投影b。 分析： 由点的投影规律可知：正面投影和侧面投影连线垂直于Z轴，即bbOZ轴，所以b一定在过b且垂直于OZ轴的直线上，又因为水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，便可以求得b。 作图： 如图213，由b作OZ轴的垂线与OZ轴相交于b

14、z，在此垂线上自bz向前量取bzb=bbx，即得点B的侧面投影b。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图213 由点的两面投影作第三面投影 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 例2.3 如图214所示，已知空间点A（15、10、20），B（15、10、10），点C在点A的左方5、前方5、下方5，点D在点B的正右方5，求作点A、B、C、D的三面投影。 分析： 点A、B的投影可根据投影与直角坐标之间的关系及点的三面投影规律作出。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图214 作点的三面投影 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 例2.4 如图215（a）、（b）所示，根据立体图，完成立体上点的

15、投影及立体的三面投影图。 作图： 根据点的投影规律，可由点A水平投影a、正面投影a作出点A的侧面投影a；由点B正面投影b、侧面投影b作出点B的水平投影b；由点C水平投影c、侧面投影c作出点C的正面投影c，然后连线完成立体三视图。如图215所示。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图215 作立体上点的投影第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2.2.2 直线的投影直线的投影 常见的直线是平面立体的棱线，即两平面的交线，如图210所示。直线的投影一般仍为直线。根据直线的基本性质，即两点确定一条直线，在作直线的投影时，可作出确定该直线的任意两点的投影，将这两点的同面投影相连，便可得直线的三面投影

16、。如图216（a）、（b）所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图216 直线的投影 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 1. 各类直线的投影 根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：一般位置线；投影面平行线；投影面垂直线。后两类线统称为特殊位置线。 空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角，本书中分别用、表示。如图216（a）所示。 1) 一般位置直线 ab=ABcos， ab=ABcos， ab=ABcos第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2) 投影面平行线 直线在所平行的投影面上的投影反映实长和对另两个投影面的真实倾角。

17、直线的另两个投影分别平行于相应的投影轴，且均小于实长。 3) 投影面垂直线 2. 直线上的点 直线上的点有以下特性：第第2章章 投影基本知识投影基本知识 点在直线上，则点的各投影必在该直线的各同面（名）投影上，且点分割直线为两线段，两线段长度之比等于各投影长度之比；反之，如果点的各投影均在直线的各同面投影上，且分割直线各投影长度成相同比例，则该点必在此直线上，如图217、图218（b）所示。否则点不在直线上，如图218（c）所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识图217 直线上点的投影第第2章章 投影基本知识投影基本知识图218 判断点K是否在直线AB上第第2章章 投影基本知识投影基本知识

18、 3. 两直线的相对位置 两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行和相交的两直线均属于同一平面（共面）的直线，而交叉两直线则不属于同一平面（异面）的直线。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2.2.3 平面的投影平面的投影 1. 平面的表示法 如图219中直观图和投影图所示，平面有如下5种表示方法： (a) 不在同一条直线上的三点确定一个平面； (b) 一条直线与直线外一点确定一个平面； (c) 相交两直线确定一个平面； (d) 平行两直线确定一个平面； (e) 任意平面图形如三角形、四边形、圆形等确定一个平面。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2. 各种位置平面的投影特性

19、 根据空间平面对三个投影面的相对位置，平面可分为三类：投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面。前两类平面称之为特殊位置平面。 1) 投影面平行面 平行于一个投影面而垂直于另外两个投影面的平面称为投影面的平行面。投影面平行面分为水平面、正平面和侧平面三种。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图219 平面的表示法第第2章章 投影基本知识投影基本知识 平面在所平行的投影面上的投影反映空间平面的实形。 平面的另两个投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。 2) 投影面垂直面 垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面的垂直面。投影面垂直面分为铅垂面、正垂面和侧垂面三种。 平面在所垂直的投

20、影面上的投影积聚为一斜直线，该投影与投影轴的夹角分别反映平面与另两个投影面的真实倾角。 平面的另两个投影均为类似形。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 3) 一般位置平面 对三个投影面都倾斜的空间平面称为一般位置平面。其投影特性为：三个投影都为缩小的类似形，如图220所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图220 一般位置平面 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 3. 平面上的直线和点 1) 平面上的直线 具备下列条件之一的直线，必在给定平面内： 直线上有两点在平面内； 直线上有一点在平面内，且直线平行于平面内某一条直线。 若欲在平面上取直线，须通过该平面内的两点，过两点连一条直线

21、如图221（a）所示；或通过该平面上的一点作直线平行于该平面内的任一直线，如图221（b）所示。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图221 平面上的直线第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2) 平面上的点 满足如下条件的点，必位于给定的平面内：点在平面内的直线上。 若欲在平面上取点，须先在该平面内作直线，然后在直线上取点。如图222（a）所示。投影图中辅助线的作法及线上作点如图222（b）、（c）所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图222 在平面上求点 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2.2.4 曲面的投影曲面的投影 1. 曲面的形成 曲面可看成是一动线在空间运动的轨迹。

22、该动线称为母线，母线的每一位置称为曲面的素线，而控制母线运动的一些不动的线（或面）称为导线（或导面）。如表26中的圆柱面，可看成是直线AA绕轴线OO回转而成。则AA线称为母线，OO线称为导线，母线在曲面上的任何一个位置都称为曲面的素线。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2. 曲面的分类按母线运动有无规律，曲面可分为：规则曲面母线按一定规则运动。不规则曲面母线作不规则运动。按母线的形状，曲面可分为：直线面母线为直线的曲面，例如圆柱面、圆锥面。曲线面母线为曲线的曲面，例如球面、环面。 凡是由一直线或一曲线绕一轴线回转而形成的曲面统称为回转曲面，简称回转面，如圆柱面、圆锥面、球面、环面等。第第2

23、章章 投影基本知识投影基本知识 3. 曲面的表达方法 在投影图上表示一个曲面时应满足两个要求： (1) 根据投影图能作出曲面上任意点和任意直线的投影； (2) 能够清楚地表达曲面的形状。 因此，画曲面投影图时应注意： 画出决定曲面的几何要素（如母线、导线、导面等）的投影。 画出曲面的投影轮廓线以确定曲面的投影范围。 对于复杂的曲面应画出曲面上一系列的素线等。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图223 斜圆柱面的投影 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图224 一般回转面的形成及投影画法 第第2章章 投影基本知识投影基本知识2.3 基本形体的投影规律基本形体的投影规律 2.3.1平面体的投

24、影平面体的投影 由于平面体的表面是由若干个多边形平面所围成，因此，绘制平面体的投影可归结为绘制它的各平面的投影。平面体各表面的交线称为棱线。 1. 棱柱 棱柱是由两个全等的多边形底面、顶面和矩形（直棱柱时）或平行四边形（斜棱柱时）的侧棱面围成的。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图225所示为一正置正六棱柱的直观图及投影图。正六棱柱由上、下两个相同的正六边形底面、顶面和六个相同的矩形侧棱面围成。前后两个棱面放置为平行于V面，上下两底面平行于H面。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 图225 正六棱柱 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 1) 投影分析和画法 由于正六棱柱的顶面和底面为水

25、平面，所以其水平投影重合为反映实形的正六边形，正面投影和侧面投影分别积聚为平行于相应投影轴的水平直线段；前、后两个侧棱面为正平面，其正面投影反映实形且重合，水平投影和侧面投影分别积聚为平行于相应投影轴的水平直线段和铅垂直线段；其余侧棱面都为铅垂面，它们的水平投影分别积聚成斜线段并重合在正六边形的边上，正面投影和侧面投影均为类似形（矩形）。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2) 棱柱表面取点 在棱柱表面上取点的原理和方法与在平面上取点的原理和方法相同。 2. 棱锥 棱锥由几个三角形的侧棱面和一个多边形的底面围成。各侧棱面为共顶点的三角形。 图226所示为一正三棱锥，底面为等边三角形，三个侧面

26、为全等的等腰三角形。底面放置成水平位置，并使棱锥左右对称（后棱面垂直于W面）。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图226 正三棱锥第第2章章 投影基本知识投影基本知识 1) 投影分析和画法 因为底面ABC为水平面，故其水平投影abc反映实形，正面投影和侧面投影均积聚为水平线段。棱面SAB和SBC为一般位置平面，三面投影均为缩小的类似三角形。因该两棱面左、右对称，故侧面投影重合。棱面SAC为侧垂面，所以侧面投影sac积聚为斜线段，水平投影和侧面投影为缩小的类似三角形，如图226（b）所示。第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2) 在棱锥表面取点 凡属于棱锥特殊位置表面上的点，可利用表面投影

27、的积聚性直接求得，而属于一般位置表面上的点，可通过在该面上作辅助线求得。如已知棱锥表面上点M的正面投影m，试求其另两面投影m和m。由于m可见，所以点M在棱面SAB上，其水平投影m可在该面上过点M作辅助线（12）或S（s3）求得（即在正面投影中过点m作辅助线12或s3及辅助线的水平投影12或s3，然后根据点的投影规律，在辅助线上作出点M的水平投影m。）。然后由m、m可求出侧面投影m。由于点M所在棱面SAB的三面投影都可见，所以点的水平投影m和侧面投影m也都可见。如图226（b）所示。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2.3.2 回转体的投影回转体的投影 回转体由回转面或回转面与平面围成。最

28、常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球等。 画回转体的投影时，一般应画出曲面各方向转向轮廓线的投影和回转轴线的三个投影。转向轮廓线就是在某一投影方向上观察曲面立体（如回转体）时可见与不可见部分的分界线。 1. 圆柱 圆柱是由圆柱面和顶圆平面、底圆平面围成的。圆柱面是由一条直母线绕与其平行的轴线旋转而成的。 图227（a）、（b）为轴线处于铅垂线位置时的圆柱直观图及投影图。第第2章章 投影基本知识投影基本知识图227 圆柱的投影 第第2章章 投影基本知识投影基本知识 1) 投影分析和画法 圆柱的顶圆平面、底圆平面为水平面，其水平投影反映实形且重合，正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线段，且直

29、线段长度等于顶圆和底圆的直径。 2) 在圆柱表面上取点 当圆柱轴线处于垂直线位置时，其圆柱面在轴线所垂直的投影面上的投影有积聚性，其顶圆、底圆平面的另两个投影有积聚性。 例如，在图228中，已知点M的正面投影m、点N的侧面投影n和点K的水平投影k，试求各点的另两面投影。第第2章章 投影基本知识投影基本知识图228 圆柱表面上点的投影第第2章章 投影基本知识投影基本知识 2. 圆锥 圆锥是由圆锥面和底圆平面围成的。 图229为轴线处于铅垂线位置时的圆锥直观图及投影图。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图229 圆锥的投影第第2章章 投影基本知识投影基本知识 1) 投影分析和画法 圆锥的底圆平

30、面为水平面，其水平投影为圆，且反映实形；其正面投影和侧面投影均积聚为直线段，长度等于底圆的直径。 2) 在圆锥表面取点 由于圆锥面的三面投影均无积聚性，因此在圆锥面上作一般点（即不在圆锥面转向轮廓线上的点）的投影时，必须先过点作辅助线素线或纬圆，然后在辅助线的投影上作出点的投影。 例如，在图230中，已知点M的正面投影m，试求其另两面投影m、m。 第第2章章 投影基本知识投影基本知识图230 圆锥表面上点的投影第第2章章 投影基本知识投影基本知识 素线法：如图230（a）所示，连接点s、m并延长，与圆锥底面的正面投影交于点e，se即为过点M所作的素线SE的正面投影，求出其水平投影se和侧面投影se，便可根据直线上点的投影特性由m求出m和m。 纬圆法：如图230（b）所示，在圆锥面上过点M作垂直于轴线的纬圆，则点M的另两面投影必在纬圆的同面投影上。 第第2章章 投影基本知